模型-正方形中的半直角.doc

模型,正方形中的半直角
模型——正方形中的半直角
0. 模型简介
数学是以数量关系与空间形式为主要研究对象的科学.是一门有多概念、多定义、多定理、多公理、多公式、多法则的学科。而几何是研究“形”的分支，初中阶段是几何的入门，历来被许多学生认为是一门较难学好的学科。笔者认为对于几何，只有站得“高”,才能看得“远"。将平时常见的图形进行归纳，得到一些几何基本模型，然后以不变应万变。
1. 活动探究：(折纸活动）

结论:①全等：,对应边、对应角相等；
②角度：；
③线段长度计算：，。
2. 模型提炼:
如图,正方形ABCD中，E在BC上，F在AB上，连接EF，过D作DH⊥EF。①DH=AD；②∠FDE=45º；③C△BFE=C正；④AF=FH；⑤EH=CE；⑥∠ADF=∠HDF;⑦∠CDE=∠HDE。以上7个结论，任意一个成立，其余都成立.

3.模型应用
例1 如图，在直角坐标系中，点P(3，3）,两坐标轴的正半轴上有M、N两点，且∠MPN=45°，则△MON的周长等于 。

图1
例2如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC，∠B=90°，若AD=4，AB=3，且∠ACD=45°，求BC的长。
如图8，以BC为边在梯形ABCD同侧作正方形BCGE，延长CD交EG于点F，连结AF，根据基本模型可得:AB+GF=AF,∠GFC=∠AFC.
而∠GFC=∠AFC，

设BC=x，则
在Rt△AEF中，解得：或（舍）
图7
图8
图9

4.模型应用
定义：有一个内角为45°的三角形叫做半直角三角形．已知正方形DABC绕D点顺时针旋转（0°＜＜180°）至，边所在直线与边AB、BC所在直线分别交于P、Q，连接OP、OQ;
①当0°＜＜90°时（如图1)，△DQP一定为半直角三角形；那么当90°＜＜180°时(如图3）,在旋转的过程中△DQP仍然一定是半直角三角形吗？请说明理由;
E
②当90°＜＜180°时（如图2)，设PD、BQ交于E，若CE=12，CQ=5，求△DQE的面积．
图1
图2

解：①
∴PD、PQ分别是的角平分线，

∴△DQP仍然一定是半直角三角形．
②将△CED沿ED翻折至△MED,延长ME交PQ于N，易得是正方形,设正方形的边长为x,
则EN=x—12,NQ=x-5,EQ=12+5=17，
在Rt△CED中，，解得:
∴．