人教A版必修5不等式习题.doc

一、选择题.
1. 若 a∈R，则下列不等式恒成立的是(　 　)
A. a2 + 1＞a B.＜1
C. a2 + 9＞6a D. lg（a2 + 1）＞lg|2a|
2. 下列函数中，最小值为 2 是(　 　)
A. y =，x∈R，且 x≠0 B. y = lgx +，1＜x＜10
C. y = 3x + 3-x，x∈R D. y = sin x +，

3. 不等式组 表示的平面区域的面积等于(　 　)

A. 28 B. 16 C. D. 121
4. 不等式 lgx2＜lg2x 的解集是(　 　)
A. B. （100，＋∞）
C. ∪（100，＋∞） D. （0，1）∪（100，＋∞）
5. 不等式（x4 - 4）-（x2 - 2）≥0 的解集是(　 　)
A. x≥，或 x≤- B. -≤x≤
C. x＜-，或 x＞ D. -＜x＜
6. 若 x，y∈R，且 x + y = 5，则 3x + 3y 的最小值是(　 　)
A. 10 B. C. D.
7. 若 x＞0，y＞0，且 ，则 xy 有(　 　)
A. 最大值 64 B. 最小值
C. 最小值 D. 最小值 64

8. 若 则目标函数 z = 2x + y 的取值范围是(　 　)

A. [0，6] B. [2，4] C. [3，6] D. [0，5]
9. 若不等式 ax2 + bx + c＞0 的解是 0＜α＜x＜β，则不等式 cx2 - bx + a＞0 的解为(　 　)
A. ＜x＜ B. -＜x＜-
C. -＜x＜- D. ＜x＜
10. 若 a＞0，b＞0 ，且 ，则的最小值是(　 　)
A. 9 B. 8 C. D. 6
二、填空题.
1. 函数 的定义域是 .

2. 若 x，y 满足 则的最大值为____________________，最小值

为________________
3. 函数 的最大值为 .
4. 若直角三角形斜边长是 1，则其内切圆半径的最大值是 .
5. 若集合 A = {(x，y）| |x| + |y|≤1}，B = {(x，y）|（y - x）（y + x）≤0}，M = A∩B，则 M 的面积为___________.
6. 若不等式 2x - 1＞m(x2 - 1)对满足 -2≤m≤2 的所有 m 都成立，则 x 的取值范围是 .
三、解答题.
1. 若奇函数 f（x）在其定义域（-2，2）上是减函数，且 ＜0，求实数 a 的取值范围.

2. 已知 a＞b＞0，求的最小值.

3. 设实数 x，y 满足不等式组

（1）作出点（x，y）所在的平面区域；
（2）设 a＞-1，在（1）所求的区域内，求f（x，y）= y – ax 的最大值和最小值.

4. 某工厂拟建一座平面图形为矩形，且面积为 200 m2 的三级污水处理池（平面图如图）. 如果池外圈周壁建造单价为每米 400 元，中间两条隔墙建筑单价为每米 248 元，池底建造单价为每平方米 80 元，池壁的厚度忽略不计. 试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价.

参考答案
一、选择题.
1. A【解析】A：a2 - a + 1 = a2 - a += +＞0. a2 + 1＞a 恒成立.
B：当 a = 0 时，左 = 右.
C：当 a = 3 时，左 = 右.
D：当 a = 1 时，左 = 右.
2. C
【解析】A：当 x＞0 时，y≥2，x = 5 时，ymin = 2；
当 x＜0 时，y≤-2，x = -5 时，ymax = -2.
B：∵ 1＜x＜10，
∴ -1＜lgx＜0.
∴ y≤-2.
x =时，ymax = -2.
所以此时取不到最值.
C：∵ 3x＞0，
∴ y = 3x +≥2.

x = 0时，ymin = 2.
D：∵ 0＜x＜，
∴ sin x＞0.
∴ y≥2.
当 sin x =时，此时 sin x = 1，x =，不符合 0＜x＜.
3. B【解析】由不等式组，画出符合条件的平面区域（下图阴影部分）.

联立三个方程 可得 A（3，5），B（3，-3）， C（-1，1）.

∴ S阴 =· |AB| · |xA - xc| = ×8×4 = 16.
4. D

【解析】∵

∴ x＞0.
∵ lgx2＜lg2x，
∴ lg2x - 2lgx＞0.
∴ lgx＞2 ，或 lgx＜0，
∴ x＞100 ，或 0＜x＜1.
5. A
【解析】∵（x4 - 4）-（x2 - 2）≥ 0，∴ x4 - x2 - 2≥0，∴（x2 - 2）（x2 + 1）≥0.
∴ x2≥2.
∴ x≥，或 x≤-.
6. D
【解析】 3x + 3y≥2= 2，
∴ 3x + 3y≥2×9×= 18，当 x = y时，等号成立.
7. D
【解析】 ≥2= 8，当，即 时，8取最大值，即 xy 取最小值 64.
8. A
【解析】 据不等式组画出可行域.
易知 A（-1，2），B（2，2）.
将 y = -2x 进行平移，当直线过 A 点时，zmin = 0，
当直线过 B 点时，zmax = 6.
9. C

【解析】由题知， 且 a＜0.

∴ b = -a（a + b），
c = a（ab）.
∴ 所求不等式可代为 a（ab）x2 + a（a + b）x + a＞0.
∴（ab）x2 +（a + b）x + 1＜0.
∴（ax + 1）（ bx + 1）＜0.
∵ 0＜a＜b，
∴ -＜-.
∴ -＜x＜-.
10. A
【解析】 =+ 1 =+ 1 =+1≥+ 1 = 9. ∴ 当 a = b=时，原式取最小值 9.
二、填空题.
1. （-8，8）.
【解析】∵ 64 - x2＞0 ∴ x2＜64，-8＜x＜8，即（-8，8）.
2. 2，0.
【解析】 据不等式组画出可行域.

由图可知，，0.
3. .
【解析】设 x = cosθ，θ∈[0，π].
∴ y = cosθsinθ
=sin 2θ.
∵ θ∈[0，π]，∴ 2θ∈[0，2π]，
∴ ymax =，此时θ=.
4. .
【解析】

如图，r ==≤==. 当且仅当 a = b 时， rmax =.
5. 1.
6. .
【解析】令 f（m）= m（x2 - 1）-（2x - 1）（x≠±1），把它看作关于 m 的一次函数.
由于 -2≤m≤2 时，f（m）＜0 恒成立，

解得 1＜x＜，或＜x＜1，x = 1 时，亦符合题意.
∴ ＜x＜.
三、解答题.
1. 由f(1 - a)+ f(1 - a2)＜0，得 f(1 - a)＜- f(1 - a2). 又因为函数f（x）为奇函数，所以- f(1 - a2) = f(a2 - 1).
∴ f(1 - a)＜ f(a2 - 1). 又∵ 函数 f(x) 在其定义域(-2，2)上是减函数，

∴ a∈（-1，1）.
2. 由 a＞b＞0 知，a - b＞0，
∴ b（a - b）≤.
∴ a2 +≥a2 +≥2= 16.
当且仅当 a2 =，b = a - b，
即当 a = 2，b =时，a2 +取得最小值 16.

3. （1）略.（2） 最大值为7+3a，最小值为

4. 【解】设污水池总造价为 y 元，污水池长为 x m. 则宽为（m），水池外圈周壁长2x + 2 · （m），中间隔墙长2 · （m），池底面积200（m2）.
∴ y = 400+ 248 · · 2 + 80×200 = 800+ 16 000
≥1 600+ 16 000 = 44 800.
当且仅当 x =，即 x = 18，=时，ymin = 44 800.
答：当污水池长为 18 m，宽为m 时，总造价最低，最低为 44 800元.