1、基本不等式及其简单应用
一．基础知识
1．算术平均数，几何平均数
a>0，b>0时，称 为a，b的算术平均数；称 为a，b的几何平均数．
2．基本不等式及其变形：
（1）基本不等式： ≥ （a,b>0）(当且仅当________时取“＝”号）即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
（2）常见变形：① (a,b>0) (当且仅当 时 取“＝”号）
② (a,b>0) (当且仅当 时 取“＝”号）
③a2＋b2 2ab (a、bR）(当且仅当 时 取“＝”号）
④a2＋b2
2、 2|ab| (a、bR) (当且仅当 时 取“＝”号)
⑤(a、bR)(当且仅当 时 取“＝”号)
⑥ (ab>0) (当且仅当 时 取“＝”号)
⑦ (k>0) (当且仅当 时 取“＝”号)
问：k<0 ?
3．利用基本不等式求最值
已知x、y，x＋y＝P，xy＝S. 有下列命题：
(1) 如果S是定值，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值 ．
(2) 如果P是定值，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值 ．
4.利用基本不等式求最值时，必须满足三个条件：①____
3、②_______；③________
即：第一注意：a>0,b>0;第二注意：积为定值或和为定值；第三注意：等号成立的条件。
例1．（1）若x>0,则的最小值是_________;若x<0,则的最大值是________
（2）已知x>2,则的最小值是__________；若，则的最小值是____________
（3）已知a>0,b>0,且4a+b=1,则ab的最大值是___________________；
（4）已知x>0,y>0,且x+y=1,则的最小值是___________________。
(5)已知的最小值为________________
4、
(6)已知两正数x,y满足x+y=1,求的最小值.
(7)已知的最小值及此时的x,y的值。
例2．若正数a，b满足ab = a + b +3，求ab的取值范围。
练习：1.设x，y∈R+，且xy－(x＋y)＝1，则的取值范围是_________；的取值范围是_________
2.设a,b,c,a+b+c=10,a+bc-1=0,则a的范围是______________
例3.某建筑的金属支架如图所示，根据要求至少长2.8m，为的中点，到的距离比的长小0.5m，，已知建筑支架的材料每米的价格一定，问怎样设计的长，可使建造这个支架的成本最低？
5、
B
A
C
D
地面
例4.甲、乙两地相距240千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过60千米/时.已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比,比例系数为b；固定部分为a元.
⑴全程运输成本把y(元)表示为速度v(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域;
⑵为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?
课后作业：
1．若x>0,y>0且，则xy的最小值是
2．若x、y且x+3y=1，则的最大值
3．
6、点（x，y）在直线x+3y-2=0上，则最小值为
4．若数列{}的通项公式是则数列{}中最大项
5．设a，b，a+2b=3 ，则最小值是
6．当x>1时，则y=x+的最小值是
7．已知不等式（x+y）对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为
8．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x= 吨.
7、
9.若，且，求的最小值。
10.设满足且则的最大值是 。
11. 某厂用98万元引进设备投入生产，第一年需各种费用12万元，从第二年开始，费用会比上一年增加4万元，而利润为50万元。⑴引进该设备多少年后开始盈利？
⑵引进该设备若干年后，有两种处理方案：①年平均盈利最大时，以26万元的价格卖出；②盈利总额最大时，以8万元的价格卖出，那种方案合算，说明理由。
12.某游泳馆出售冬季游泳卡，每张240元，使用规定：不记名，每卡每次只限1人，每天只限1次．某班有48名同学，老师们打算组织同学们集体去游泳，除需要购买若干张游泳卡外，每次游泳还要包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的包车费均为40元，若使每个同学游泳8次，每人最少交多少钱？
4
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