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平行四边形的知识点汇总

平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。
平行四边形性质1：平行四边形的两组对边分别相等。
平行四边形性质2：平行四边形的两组对角分别相等。
平行四边形性质3：平行四边形的两条对角线互相平分。
平行四边形判定1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
平行四边形判定2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
平行四边形判定3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
平行四边形判定4：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
平行四边形判定5：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
平行线之间的距离及特征
平行线之间的距离定义：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离。
平行线之间的距离特征1：平行线之间的距离处处相等。
平行线之间的距离特征2：夹在两条平行线之间的平行线段相等。

矩形

矩形定义1：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
矩形定义2：有三个角是直角的四边形叫做矩形
矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是各边的垂直平分线。
矩形性质1：矩形的四个角都是直角。
矩形性质2：矩形的对角线相等且互相平分。
（注意：矩形具有平行四边形的一切性质）
直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
矩形判定1：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
矩形判定2：有三个角是直角的四边形是矩形。
矩形判定3：对角线相等的平行四边形是矩形。

菱形

菱形定义1：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱形定义2：四条边都相等的四边形叫做菱形。
菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是对角线所在的直线。
菱形性质1：菱形的四条边都相等。
菱形性质2：菱形的对角线互相垂直平分。
菱形性质3：菱形的每一条对角线平分一组对角。
菱形的面积：菱形的面积等于对角线乘积的一半。
推广：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半。
菱形判定1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
菱形判定2：四条边都相等的四边形是菱形。
菱形判定3：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
菱形判定4：每条对角线平分一组对角的四边形是菱形。
（注意：菱形具有平行四边形的一切性质）

正方形

正方形定义1：有一组邻边相等的矩形叫做正方形。
正方形定义2：有一个角是直角的菱形叫做正方形。
正方形定义3：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
正方形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是各边的垂直平分线和对角线所在的直线。
正方形性质1：正方形的四个角都是直角。
正方形性质2：正方形的四条边都相等。
正方形性质3：正方形的两条对角线互相垂直平分且相等。
正方形判定1：有一组邻边相等的矩形是正方形。
正方形判定2：有一个角是直角的菱形是正方形。
正方形判定3：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
正方形判定4：对角线垂直平分且相等的四边形是正方形。
（注意：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质）

四边形的典型题目精编

1，如图1，在平行四边形ABCD中，下列各式不一定正确的是（ ）
A.∠1+∠2＝180° B.∠2+∠3＝180°
C.∠3+∠4＝180° D.∠2+∠4＝180°
2，如图2，在□ABCD中，EF//AB，GH//AD，EF与GH交于点O，则该图中的平行四边形的个数共有( )　　
A.7 个 　　　 B.8个 　　　 C.9个 　　　 D.11个
E
F
A
B
C
D
图3

图4
图2

图1

3，如图3，在平行四边形ABCD中，∠B=110°，延长AD至F，延长CD至E，连接EF，则∠E+∠F=（ ）
A. 110° 　　 B .30° 　　 C.50° 　　D.70°
4，对角线互相垂直平分且相等的四边形一定是( 　 )　
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．等腰梯形
5，下列说法中，正确的是（　　）
A. 正方形是轴对称图形且有四条对称轴
B.正方形的对角线是正方形的对称轴
C.矩形是轴对称图形且有四条对称轴
D.菱形的对角线相等
6，菱形、矩形、正方形都具有的性质是( )
A.对角线相等　B.对角线互相垂直　C.对角线互相平分　D.对角线平分一组对角
7，已知：如图4，菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,OE∥DC交BC于点E，AD=6cm，则OE的长为（　　）
A.6 cm B.4 cm C.3 cm D.2 cm
A
B
C
D
图7
图6
1m
1m
30m
20m

图8
平行四边形
矩形
正方形
图5

8，在学习“四边形”一章时，小明的书上有一图因不小心被滴上墨水（如图5），看不清所印的字，请问被墨迹遮盖了的文字应是( 　 )
A．等边三角形 　 B．四边形 C．等腰梯形　 　　D．菱形
9，如图6，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地. 根据图中数据，计算耕地的面积为( 　)
A．600m2　　　　　　　B．551m2　　C．550 m 2　　 　　　D．500m2
10，如图7，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是 （ ）B
A.3∶4 　　　 B.5∶8 　　　 C.9∶16 　　　 D.1∶2
二、填空题（每题3分，共24分）
11，如图8，AB∥DC，AD∥BC，如果∠B =50°，那么∠D＝＿＿＿度.
图10
12，已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC＝60°,BD＝2,AE是梯形的高,且BE＝1,则AD＝＿＿＿.
A
E
B
C
D
F
C1
图11
C
图12
H
D
A
E
B
F
G
图9

13，一个平行四边形被分成面积为S1、S2、S3、S4的四个小平行四边形(如图9),当CD沿AB自左向右在平行四边形内平行滑动时, S1·S4与S2·S3与的大小关系是＿＿＿.
14，如图10，已知AB∥DC，AE⊥DC，AE＝12，BD＝15，AC＝20, 则梯形ABCD的面积为＿＿＿.150
15，矩形纸片ABCD中，AD＝4cm ，AB＝10cm，按如图11方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE＝＿＿＿cm.　　
16，矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,∠AOB＝2∠BOC.若AC＝18cm,则AD＝＿＿＿cm.　　
17，如图12，矩形ABCD的相邻两边的长分别是3cm和4cm，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，则四边形EFGH的周长等于＿＿＿cm，四边形EFGH的面积等于＿＿＿cm2.
图13
18，在直线l上依次摆放着七个正方形(如图13所示).已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝＿＿＿.

三、解答题（共40分）
19，如图14，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB＝4BC＝7.求∠B的度数.
20，如图15，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，过点O画直线EF分别交AD、BC于点E、F.求证：OE＝OF.
图14
A
C
D
B
图17
A
B
C
D
O
E

图16
E
D
C
O
B
F
A

21，如图17，在□ABCD中，∠ABC＝5∠A，过点B作BE⊥DC交AD的延长线于点E，O是垂足，且DE＝DA＝4cm，求：（1）□ABCD的周长；（2）四边形BDEC的周长和面积（结果可保留根号）.
22，如图18，□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F.求证：四边形AFCE是菱形.
图21
图19
图18

23，如图20，正方形ABCD中，P是CD边上一点，DF⊥AP，BE⊥AP.求证：AE＝DF.
24，如图19，在矩形ABCD中，P是形内一点，且PA＝PD.求证:PB＝PC.
25，如图，在梯形中，，，，于点E，F是CD的中点，DG是梯形的高．
（1）求证:四边形AEFD是平行四边形;
（2）设，四边形DEGF的面积为y，求y关于x的函数关系式．

图20

参考答案：
一、1，D；2，C；3，D；4，A；5，A；6，C；7，C；8，D；9，B；10，B.
二、11，50；12，2；13，S1·S4＝S2·S3；14，150；15，；16，9；17，10、6；18，4.
三、19，过A点作AE∥CD，有□AECD,则△ABE为等边三角形. 即∠B=60°；20，因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，AO＝CO，即∠EAO＝∠FCO，又∠AOE＝∠COF，则△AOE≌△COF，故OE＝OF；21，在□ABCD中，因为∠ABC＝5∠A，又∠A+∠B＝180°，所以∠A＝30°，而AB∥DC，BE⊥DC，所以BE⊥AB，在Rt△ABE中，∠ABE＝90°，AE＝2AD＝8cm，∠A＝30°，所以BE＝AE＝4cm，由勾股定理，得AB＝＝4（cm），所以□ABCD的周长＝（8+8）cm；（2）因为BC∥AD，BC＝AD，而AD＝DE，所以DE＝BC且DE∥BC，即四边形BDEC是平行四边形，又BE⊥DC，所以□BDEC是菱形，所以四边形BDEC的周长＝4DE＝16（cm），面积＝DC·BE＝8（cm2）；22，易证△AOE≌△COF，所以OE＝OF，所以四边形AFCE是平行四边形，又AC⊥EF，所以四边形AFCE是菱形；23，证△ABE≌△DAF即得；24，证△PBA≌△PCD即得；
25，【答案】：（1） 证明： ∵，∴梯形ABCD为等腰梯形．∵∠C=60°，∴，又∵，
∴．∴．∴．
由已知，∴AE∥DC．
又∵AE为等腰三角形ABD的高， ∴E是BD的中点，
∵F是DC的中点， ∴EF∥BC． ∴EF∥AD．
∴四边形AEFD是平行四边形．
（2）解：在Rt△AED中， ，∵，∴．
在Rt△DGC中 ∠C=60°，并且，∴．
由（1）知： 在平行四边形AEFD中，又∵，∴，
∴四边形DEGF的面积，
∴ ．