1、《2.2 导数的几何意义》 同步练习
一、选择题
1．函数f(x)在x＝x0处的导数可表示为( )
A．f′(x0)＝
B．f′(x0)＝[f(x0＋Δx)－f(x0)]
C．f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)
D．f′(x0)＝
【解析】 由导数的概念易知A正确．
【答案】 A
2．下列点中，在曲线y＝x2上，且在此点处的切线倾斜角为的是( )
A．(0，0) B．(2，4)
C．(，) D．(，)
【解析】 首先计算曲线y＝x2在点x0处的导数f′(x0)＝2x0，然后令f′(x0)＝2x0＝tan＝1得x0＝，可知答案为D.
【答
2、案】 D
3．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与直线2x＋y＋1＝0垂直，则f′(x0)＝( )
A．－2 B．－
C. D．2
【解析】 切线斜率为f′(x0)，故f′(x0)·(－2)＝－1.∴f′(x0)＝.
【答案】 C
4．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是( )
【解析】 启动过程速度变化缓慢；加速过程速度变化越来越快；匀速行驶速度不变；减速行驶后停车，速度越来越慢至到速度为0.而路程函数s(t)的导数即瞬时速度，故选A.
【答案】 A
5．(2013·
3、延安高二检测)曲线y＝x2＋2在点(1，)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )
A. B.
C. D.
【解析】 首先利用定义求曲线在点(1，)处的导数y′(1)＝，得切线斜率k＝，则切线方程为y＝x＋，然后利用数形结合可求得答案为.
【答案】 A
二、填空题
6．若f(x)＝x，则f′(0)＝________.
【解析】 ＝＝1，
∴f′(0)＝1.
【答案】 1
7．曲线y＝x2在点P处的切线斜率为k，当k＝2时，点P的坐标为________．
【解析】 设切点P(x0，x)，又y′＝2x，
∴令2x0＝2，得x0＝1，故点P的坐标为(1，1)．
【
4、答案】 (1，1)
8．如图2－2－4所示，函数y＝f(x)的图像在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＝__________，f′(5)＝________.
图2－2－4
【解析】 设P(5，f(5))，
∵P在直线y＝－x＋8上，
∴f(5)＝－5＋8＝3.
由导数的几何意义知f′(5)＝－1.
【答案】 3 －1
三、解答题
9．一质点的运动路程s(单位：m)是关于时间t(单位：s)的函数：s＝－2t＋3，求s′(1)，并解释它的实际意义．
【解】 ＝＝
＝－2.
当t趋于1，即Δt趋于0时，趋于－2，则s′(1)＝－2 m/s，导数s′(1)＝－2 m
5、/s表示该质点在t＝1时的瞬时速度是－2 m/s.
10．已知函数y＝f(x)＝－x2＋1，求：
(1)f′(2)；
(2)曲线y＝－x2＋1在点(2，－3)处的切线方程．
【解】 (1)＝
＝＝－4－Δx，
当Δx趋于0时，趋于－4，
∴f′(2)＝－4.
(2)由(1)可知，在点(2，－3)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝－4，
则切线方程为y＋3＝－4(x－2)，
即4x＋y－5＝0.
11．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1，0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2，求直线l2的方程．
【解】 f′(1)＝ ＝3，
即l1的斜率为k1＝3，
∴直线l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3.
设直线l2过曲线y＝x2＋x－2上的点P(x0，x＋x0－2)，
∴f′(x0)
＝
＝ (2x0＋Δx＋1)＝2x0＋1，
则直线l2的斜率为k2＝f′(x0)＝2x0＋1.
又∵l1⊥l2，∴k1k2＝－1，
即3(2x0＋1)＝－1，
∴x0＝－，y0＝(－)2－－2＝－.
∴切点为(－，－)，斜率k2＝－，
∴直线l2的方程为y＋＝－(x＋)，
∴3x＋9y＋22＝0.
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