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浅谈数学教学中“新中有旧，旧中生新”
由圆的教学的想到
     黄陂区288小学           袁苒莳
摘要：人们认识新知识总是通过相应的一些旧知识来完成的，但是新的知识毕竟不是旧知识。新知识与旧知识之间有本质的不同，要认识新知识必须紧抓住新知识是怎样通过旧知识产生的矛盾转化来的。这是非常关键的。
关键词：圆 “新中有旧，旧中生新”
圆的教学是在学生掌握了长方形，正方形，平行四行形，三角形，梯形等图形的概念。周长和面积的计算基础上展开的。它是学生学习曲线图形的开始。通过教学要使学生初步掌握研究曲线图形的基本方法-----化曲为直等积变形和取极限的方法。从而揭示曲线图形与直线图形的内在联系。毫不夸张地说整个“圆”单元的教学过程集中的体现了“曲中有直，直能生曲”。“新中有旧，旧中生新”的辩证思想。
首先，在“认识圆”的教学中，除了直观认识圆是平面曲线图形外，重点是认识圆的基本特征。认识圆心，半径，直径，同一圆内半径与直径的数量关系。为此，在课堂上，学生列举出许多自己见到的圆形实例后，我在黑板上画了几个大小不等的圆，让学生用尺去量，圆周上一些点到圆心的线段的长度。通过圆心的圆周上的两点的线段长度采用一系的启发归纳。通过对学生已认识的线段长度，两点的距离的就知识，来认识圆这新的曲线图形。从中得到：圆的基本特征（圆心和圆上任点的距离都是相等）。同一圆的所有半径都相等，同一圆的所有直径都是半径的2倍。即d=2r或r=1/2d，以及圆心决定一个圆的位置，圆的半径决定圆的大小等。
在圆的画法教学中，不论是古人用绳子画圆，还现在人用圆规画圆，其基本思想是逆用圆的基本特征来画图的。即用“圆是到已知一个定点（圆心），距离（半径）相等的动点的轨迹（或所有点的集合）这一概念来进行的。这里两点的距离（线段长度）都是学生学的直的概念，属于旧的知识，而绕定点转动就生成了学生未认识的曲线图形---圆，这就是直能生曲，曲中有直的道理，即新中有旧，旧中生新的理念。
人们知道“新”与“旧”是两个相对的概念。所谓旧（知识）是指已经出现或被人们已经认识的知识，而所谓的新（知识）则是指正在出现或正在被人们去认识的知识，旧事物是由内部的矛盾运动，使事物不断发展变化，由量变到质变就产生了新的矛盾，就出现了新的事物所以旧的事物中孕育着新事物，新事物是由旧事物中变化产生的。所有的新事物中总有旧事物中的因素和成份，这便是人们所说的“新中有旧，旧中生新”的道理。
在圆的周长和面积的教学中，更能体现出“新中有旧，旧中生新”的辩证思想。这一思想集中体现在“曲中有直，直能生曲”数学思想和方法。课堂上，当学生明白什么是圆的周长之后，我便提出：你们知道怎样求圆的周长？学生热烈讨论就出现有两种类型的意见：一种是用软尺，绕圆纸盘围一周来求。二种是让圆纸盘在桌面上沿直线滚动一周来求。我及时肯定学生们的想法。同时提出：我们用的圆纸盘不大，可以像大家说的这样去求圆的周长。如果是很大的圆大家用上面两种方法行吗？还有你们不觉得每次求圆的周长像大家这样做，不麻烦吗？有学生就说要是有个公式来计算圆的周长就好。我说：前面大家说的两种方法都直接用的了化曲为直，用直线段的长度来求曲线段的长度。这种由已知知识来认识未知知识是基于“新中有旧，旧中生新”的普遍的规律的存在。否则人类的认知能力就无法不断的提高，扩大和发展。这种认知的关键之处是要求充分把握新旧事物间的内在联系和转化的条件。为了解决用计算方法求圆的周长。关键是要抓住在同一圆内，圆的周长（曲线段的长度）与圆的直径（直线段的长度）之比是个定值(∏)这一曲与直的内在联系。从而导出c=d∏或c=2∏r公式来。当然也会有d=c/∏,r=c/2 成立。从这里我们不难理解“曲中有直，直中有曲”和“新中有旧，旧中有新”的思想。
我国古代《周髀算经》中记载“圆出于方，方出于短”，这里“圆出于方”是指圆最初并不是现在用圆规画出来的圆，而是不断地切割正方形得到的。圆的面积教学更能反映出这一思想。圆的面积公式导出的基本方法有：一是教材中的方法，把圆面切成大小相等的小扇形，由份数不断增加来完成的。此处等份不断增加的结果就是（1）曲线段越来越来接近直线段。（2）每个小扇形越来越来接近三角形。通过有限与无限的转化，曲与直的转化，使我们对圆的面积这一新知识的认识，用旧的知识长方形的面积表现出来。另一种求圆的面积方法是，先求圆的内接正方形的面积，然后边数不断加倍，求出圆的内接正八边形，正十六边形，正三十二边形，正六十四边形。。。。。的面积。这样边数不断增加，圆的内接正多边形的面积就越来越来接近圆的面积。圆的内接正多边形的周长，越来越来接近圆的周长。边心距无限接近圆的半径。于是就有S=1/2R×2∏R=∏R, 正多边形的面积=1/2×边心距×周长。可见旧的知识在一定条件下，可以转化生成新的知识。新的事物中有旧的事物，这就是矛盾的运动规律。是人们认识事物的规律也必然如此。
六年级上册学习圆的知识，为六年级下册学习圆柱的新知识打下伏笔。圆柱的表面积和体积的计算公式，同样是把新知识通过一定的方法，转化分成已认识的旧的知识，利用已有的旧的知识来认识新知识。没有对圆的周长公式C=2∏R和圆的面积S=∏R的认识，和圆柱与圆的内在的关联的认识，就无法得出圆柱的表面积S=2∏Rh 圆柱的体积公式V=∏Rh来。
其实在小学数学教学中，许多地方无不揭示“新中有旧，旧中生新”的辩证法则。如除法和分数，分数和比，商不变规律和分数的基本性质以及比例。。。。。。都是旧概念，旧知识会产生新概念，新知识。新概念，新知识中又含有就旧概念，旧知识。
诚然，人们认识新知识总是通过相应的一些旧知识来完成的，但是新的知识毕竟不是旧知识。新知识与旧知识之间有本质的不同，要认识新知识必须紧抓住新知识是怎样通过旧知识产生的矛盾转化来的。这是非常关键的。如负数的教学，就是这样的。如果仅用学生学过的“数”是无法建立起负数的概念和认识的。这里有两个需要，一是现实生活实际的需要。温度只有零上不行，有收入，还得有支出。有上就的有下，有左就的有右等等。这种需要不得不引入相反意义的数的概念。二是数本身运算上的需要。小数减大数怎么办？要解决这些以前未遇到的新矛盾，就得有新的办法在原来数（正数）前面加上“—”号表示意义相反的数，这就出现负数。负数是由正数产生的，正能生负，负数与正数意义相反，但负数可用正数和“—”号表示，这就负中有正。即“新中有旧，旧能生旧”嘛！正数与负数是矛盾的，又是统一的，相互依存。这就对立统一法则。
通过教学实践，我深刻体会到在教学中，不仅要教会学生越来越多数学知识，计算公式，而且要交给学生由旧知识获得新知识的方法和思维过程；掌握把未知新知识，转化分析成已认识的旧知识的思考方法。即不仅满足知识的积累，还应学会知识由旧到新的认识的飞跃。用哲学上话讲，就是创造一定的条件促进矛盾的运动和转化，从而达到解决矛盾的目的。我自信这样做的结果是：不仅向学生传授知识，而且交给学生打开获取更多数学知识的钥匙————数学思维和数学方法。为时代为国家为民族培养出科学时代最需要的创新思维的人才。