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矩阵可逆的若干判别方法
学院：数学与数量经济学院 班级：数学与应用数学1班
姓名：黄新菊 学号：1250411025
内容摘要：
学了这么久高等代数，从学了矩阵之后，几乎每节都离不开矩阵。矩阵是一个主要研究对象和重要工具，其中在这期间，可逆矩阵是贯穿其中出现的最频繁的词语。可逆矩阵是矩阵运算理论的整体不可或缺的一部分。例如，分块矩阵的运算、二次型化为标准型再化为规范型、线性子空间、同构、矩阵线性变换、特征值与特征向量、对角矩阵等，都有用到可逆矩阵，矩阵可逆的性质可以解决很多数学问题，是解决实际问题比较常用的工具之一。并且还可以物理、经济等各种问题。有重要的理论和实践意义。所以，研究、学习矩阵可逆的若干判别方法，还是很有必要的，有重要的意义。
关键词：
矩阵、可逆矩阵、线性方程组、特征值与特征向量、初等变换、线性变换、线性子空间、判别方法。
导言：
高等代数已经学了差不多两个学期。自从开始学了矩阵，矩阵在高等代数中就起到了不可或缺的作用。前面学的多项式、行列式、线性方程组原来也是为了学习矩阵奠定了基础。而矩阵的可逆性在其中起到了非常大的作用。突然发现，在矩阵的乘法运算中，可逆矩阵就像有理数的倒数一样，可逆矩阵是构成矩阵运算体系中非常重要的部分
为了更加深入了解、学习、解决处理矩阵计算体系的各种题目，我决定用“矩阵可逆的若干判别方法”为题目作为论文的题目。我在图书馆查了很长时间的资料，并且还上网百度浏览了很多有关的网页。希望可以由此更加深入理解矩阵的逆的性质、定义、判别方法等。整理了所有资料，总结了以下的矩阵的逆的判别方法。
正文
矩阵可逆的若干判别方法
首先介绍一些下面要用性质及定义。
有关矩阵的逆的定义：
定义1：级方阵称为可逆的，如果有n级方阵B，使得AB=BA=E，
这里E是级单位矩阵. 即称A可逆，B为A的逆。 ()
定义2：设 矩阵
中元素的代数余子式，矩阵
称为的伴随矩阵。
定义3：矩阵是可逆的充分必要条件是非退化，而
。
定义4：数域P上的n×n矩阵称为非退化的，如果；
否则称为退化的。
定义5：矩阵的三种初等行（列）变换：
u 互换某两行（列）的位置；
u 用非零的数乘某一行（列）；
u 把某一行（列）的倍数加到另一行（列）。
……
有关矩阵的逆的性质:
性质1:;
性质2:;
性质3:;
性质4:;
性质5:矩阵A与它的伴随矩阵具有相同的可逆性.即A可逆

……
矩阵可逆的若干判别方法
① 定义判别法
设对于阶方阵A,如果存在n阶方阵B满足条件AB=E且BA=E,就称A可逆，并且称B为A的逆，记B
这种方法可以直接找到矩阵的逆，进而根据矩阵可逆的定义来证明矩阵是可逆的。
此种方法大多适用于简单矩阵和一些非具体矩阵的判断。
eg：A=1101,求A-1.
解：取矩阵1-101，
由于 11011-101=1001， 1-1011101=1001。
即A-1=1-101
② 矩阵行列式判别法
矩阵A可逆的充分必要条件是A是方阵且A≠0（非退化）。

eg：A=2231-10-121，判断A是否可逆。
解：由于A=2231-10-121=-1≠0.则A可逆。
③ 秩判别法
n 阶矩阵A可逆的充分必要条件是矩阵A的秩为n. (r(A)=n）.
eg：设矩阵A=，判断矩阵可逆。
解：由 知，矩阵A为3阶矩阵，其秩也为3.
则矩阵A=可逆。
④ 伴随矩阵判别法
矩阵是可逆的充分必要条件是非退化，而
。
证明：当，由可知，A可逆，且。
反过来，如果A可逆，那么有使，两边取行列式，得
. 因为 即A非退化。
即是求可逆矩阵的公式。
eg：A=2231-10-121，判断A是否可逆。求A-1.
解：由于A=2231-10-121=-1≠0.A*=-143-1531-6-4。
则，A-1=1dA*=1-4-31-5-3-164

⑤ 初等变换判别法
对矩阵A施行初等行（列）变换得到的矩阵B，则B可逆。可推知A可逆。
因为初等行列变换是等价变换，即不会改变A的秩，所以A和B秩相同，故A与B有相同的可逆性。从而B可逆可推知A可逆。
求矩阵的逆矩阵的方法 AE 初等行变换 EA-1
AE 初等列变换 EA-1
⑥ 初等矩阵判别法
是可逆的充分必要条件是A可以表示成一些初等矩阵的乘积：

根据⑤⑥举例
设 ，求。
解：

于是

上面给出用初等行变换的方法求出矩阵的逆矩阵。当然，同样可逆矩阵也能用初等列变换化成单位矩阵来求出矩阵的逆矩阵。
⑦ 线性方程组判别法
l 齐次线性方程组 即AX=0（A为该方程组的系数矩阵）只有零解。即A可逆。
l 非齐次线性方程组 即AX=0（A为该方程组的系数矩阵）有唯一解。即A可逆。
证明：，
l 齐次线性方程组的系数矩阵为，用分别代表矩阵各列，。则齐次线性方程组可以写成向量形式 且只有零解，则 从而线性无关，且线性无关的充分必要条件是A可逆。
l 非齐次线性方程组的系数矩阵为，用分别代表矩阵各列，。则齐次线性方程组可以写成向量形式 由知，为的一组基，则每一都可以写成的线性组合的形式，则由唯一确定。即方程组有唯一解。
反过来，若方程组有唯一解，则必然有
则矩阵A可逆。
⑧ 特征值判别法
n×n矩阵A可逆，即矩阵A的特征值全部不为零。
证明:
充分性：因为所有特征值全不为零，而所以特征值之积等于，故，从而A可逆。
必要性:假设n×n的矩阵A的特征多项式为，则，根据根与系数的关系，可知所有特征值之积等于，又由A可逆，知，故所有特征值全不为零。
eg:矩阵A=021-203-1-30，用特征值的方法判断矩阵是否可逆。
解：特征方程式λE-A=λ-2-12λ-313λ=λ-12（λ+2）
则，由于λE-A=0 时，特征值 λ1=1，λ2=1，λ3=-2 .
那么没有特征值为0，则矩阵可逆。
⑨ 多项式判别法
n×n矩阵A可逆，即有特征多项式f（x），满足f（A）=0，且常数项不为零。
⑩ 标准形判别法
n阶方阵A可逆的充分必要条件是矩阵A的标准形是En.
证明：任何一个矩阵都可经过行或列变换化成标准的对角阵。那么，如果n 阶方阵A可逆，那么A的矩阵的秩只能为n，即标准形一定为单位矩阵。
反过来，如果矩阵的标准形是En，即阶单位矩阵，则矩阵A的秩为，故A可逆。

结语
判断矩阵的可逆性，一定不止上上面所述的十种，而根据这些方法，我们已经可以解决一些常见有关矩阵和矩阵的逆的问题，对于学习高等代数有关矩阵的部分有着很大的作用。希望老师在课堂授课时多提及这类问题的研究思想方向，帮助我们更好的理解矩阵和矩阵的逆。并且，应该好好学习高等代数，不管以后要不要考研究生，高等代数作为一门基础数学学科，是高等学校数学类本科生的重要必修课程，特别是数学专业。学好高等代数为以后的学习一定大有裨益。所以，要常思考，常动手计算。
参考文献
ü 王萼芳,石生明修订。高等代数[M]. (第三版).北京: 高等教育出版社。
ü 李星，李宏伟修订。高等代数学习指导与习题解析。华中科技大学出版社。
ü 丘维声修订。高等代数 。中国水利水电出版社。
ü 阳庆节修订。高等代数简明教程。中国人民大学出版社。
ü 张禾瑞、郝炳修订。《高等代数习题指导书》（第三版）学习指导。