空间向量平行与垂直关系练习.doc

1　空间向量平行与垂直关系
1．已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量．若l1∥l2，则 (　d　)
A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝
C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝
2．若平面α、β的法向量分别为u＝(2，－3,5)，v＝(－3，1，－4)，则 (　c　)
A．α∥β B．α⊥β
C．α、β相交但不垂直 D．以上均不正确
3．若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能做平面α法向量的是(　d　)
A．(0，－3,1) B．(2,0,1)
C．(－2，－3,1) D．(－2,3，－1)
4.如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M、P、Q分别为棱AB、CD、BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则
①A1M∥D1P；
②A1M∥B1Q；
③A1M∥平面DCC1D1；
④A1M∥平面D1PQB1.
以上结论中正确的是 (　a　)
A．①③④ B．①②③④ C．①③ D．③④
5．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k等于(c　　)
A．2 B．－4 C．4 D．－2
4.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE
垂直于 (　b　)
A．AC 　　　　B．BD
C．A1D 　　　　D．A1A

4.【2012高考真题四川理6】下列命题正确的是（ ）
A若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

【答案】C
7．已知直线l1的一个方向向量为(－7,3,4)，直线l2的一个方向向量为(x，y,8)，且l1∥l2，则x＝－14______，y＝__6____.
8．若平面α的一个法向量为u1＝(－3，y,2)，平面β的一个法向量为u2＝(6，－2，z)，且α∥β，则y＋z＝________.
10．如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC＝BC＝BB1.
(1)求证：BC1⊥AB1；
(2)求证：BC1∥平面CA1D.

[解析]　如图，以C1点为原点，C1A1，C1B1，C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
设AC＝BC＝BB1＝2，则A(2,0,2)，B(0,2,2)，C(0,0,2)，A1(2,0,0)，B1(0,2,0)，C1(0,0,0)，D(1,1,2)．
(1)∵＝(0，－2，－2)，＝(－2,2，－2)，
∴·＝0－4＋4＝0，

∴⊥，∴BC1⊥AB1.
(2)取A1C的中点E，∵E(1,0,1)，∴＝(0,1,1)，又＝(0，－2，－2)，∴＝－，且ED和BC1不共线，则ED∥BC1.又ED⊂平面CA1D，BC1⊄平面CA1D，故BC1∥平面CA1D.
[点评]　第(2)问可求出＝(1,1,0)，＝(2,0，－2)，＝(0，－2，－2)，
∴＝－2＋，
∴与、共面，∵BC1⊄平面CA1D，∴BC1∥平面CA1D.

11.如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．
求证：AM∥平面BDE.

12.如图所示，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点．求证：平面DEA⊥平面ECA.

7．已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1,1,2)，b＝(x，－2，3)，且α⊥β，则x＝________.
3．(2010·雅安高二检测)已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k＝(　　)
A.　　　 B．1　　　　C.　　　 D. [答案]　A
8．下列命题中：
①若u，v分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔u·v＝0；
②若u是平面α的法向量且向量a与α共面，则u·a＝0；
③若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直． 7．－4　8.①②③
正确的命题序号是______．
12.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.

10.已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1.
求证：AB1⊥MN.

4．(2009·江苏高考)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.求证：
(1)EF∥平面ABC；
(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.

13．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点，
(1)求证：A1E⊥BD；
(2)若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置．

11.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，试在棱BB1上找一点M，使得D1M⊥平面EFB1.
10.证明　设AB中点为O，作OO1∥AA1，
以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OO1为
z轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得A，
B，C，
N，B1.
∵M为BC中点，∴M.∴＝，＝(1,0,1)，∴·＝－＋0＋＝0∴⊥，∴AB1⊥MN.

11．解　建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为2，则E(2,1,0)，
F(1,2,0)，
D1(0,0,2)，
B1(2,2,2)．
设M(2,2，m)，则＝(－1,1,0)，
＝(0，－1，－2)，＝(2,2，m－2)．
∵D1M⊥平面EFB1，∴D1M⊥EF，D1M⊥B1E，∴·＝0且·＝0，
于是∴m＝1，故取B1B的中点为M就能满足D1M⊥平面EFB1.
12．证明　如图所示的空间直角坐标系Cxyz，不妨设CA＝2，
则CE＝2，BD＝1，C(0，0,0)，A(，1,0)，B(0,2,0)，E(0,0,2)，D(0,2,1)．
所以＝(，1，－2)，＝(0,0,2)，＝(0,2，－1)．
分别设面CEA与面DEA的法向量是n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)，
即解得即
解得
不妨取n1＝(1，－，0)，n2＝(，1,2)，因为n1·n2＝0，所以两个法向量相互垂直．所以平面DEA⊥平面ECA.
1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，侧面对角线AB1、BC1上分别有两点E、F，且B1E＝C1F.
求证：EF∥平面ABCD.