1、初三数学正多边形和圆、弧长公式及有关计算知识精讲
一. 本周教学内容：
正多边形和圆、弧长公式及有关计算
［学习目标］
1. 正多边形的有关概念；正多边形、正多边形的中心、半径、边心距、中心角。正n边形的半径，边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。
2. 正多边形和圆的关系定理
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，因此可采用作辅助圆的办法，解决一些问题。
3. 边数相同的正多边形是相似多边形，具有以下性质：
（1）半径（或边心距）的比等于相似比。
（2）面积的比等于边心距（或半径）的比的平方，即相似比的平
2、方。
4. 由于正n边形的n个顶点n等分它的外接圆，因此画正n边形实际就是等分圆周。
（1）画正n边形的步骤：
将一个圆n等分，顺次连接各分点。
（2）用量角器等分圆
先用量角器画一个等于的圆心角，这个角所对的弧就是圆的，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的n等分点，连结各分点即得此圆的内接正n边形。
5. 对于一些特殊的正n边形，如正四边形、正八边形、正六边形、正三角形、正十二边形还可以用尺规作图。
6. 圆周长公式：，其中C为圆周长，R为圆的半径，把圆周长与直径的比值叫做圆周率。
7. n°的圆心角所对的弧的弧长：
3、 n表示1°的圆心角的度数，不带单位。
8. 正n边形的每个内角都等于，每个外角为，等于中心角。
二. 重点、难点：
1. 学习重点：
正多边形和圆关系，弧长公式及应用。
正多边形的计算可转化为解直角三角形的问题。
只有正五边形、正四边形对角线相等。
2. 学习难点：
解决有关正多边形和圆的计算，应用弧长公式。
例1. 正六边形两条对边之间的距离是2，则它的边长是（ ）
A. B. C. D.
例2. 正三角形的边心距、半径和高的比是（ ）
A. 1∶2∶3
4、 B.
C. D.
例3. 周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积之间的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
例4. 如图所示，正五边形的对角线AC和BE相交于点M，求证：
（1）；
（2）
例5. 已知正六边形ABCDEF的半径为2cm，求这个正六边形的边长、周长和面积。
例6. 已知正方形的边长为2cm，求它的外接圆的外切正三角形的边长和面积。
5、 例7. 如图所示，已知⊙和⊙外切于点P，⊙和⊙的半径分别为r和3r，AB为两圆的外公切线，A、B为切点，求AB与两弧所围的阴影部分的面积。
例8. 如果弧所对的圆心角的度数增加1°，设弧的半径为单位1，则它的弧长增加___________。
例9. 如图，大的半圆的弧长为a，n个小圆的半径相等，且互相外切，其直径和等于大半圆的直径，若n个小半圆的总弧长为b，则a与b之间的关系是（ ）
A. B. C. D.
例10. 如图所示，两
6、个同心圆被两条半径截得的的长为，的长为，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
例11. 如图所示，⊙O的半径OA为R，弦AB将圆周分成弧长之比为3∶7的两段弧，求弦AB的长，如果将3∶7改为m∶n，此时弦AB的长度是多少？
例12. 已知正六边形边长为a，求它的内切圆的面积。
例13. 已知正多边形的周长为12cm，面积为，则内切圆的半径为__________。
（答题时间：30分钟）
一. 判断题。
1. 各
7、边相等的圆外切多边形是正多边形。（ ）
2. 各边相等的圆内接多边形是正多边形。（ ）
3. 各角相等的圆内接多边形是正多边形。（ ）
4. 各角相等的圆外切多边形是正多边形。（ ）
5. 一个四边形不一定有外接圆或内切圆。（ ）
6. 矩形一定有外接圆，菱形一定有内切圆。（ ）
7. 三角形一定有外接圆和内切圆，且两圆是同心圆。（ ）
8. 依次连结正多边形各边中点所得的多边形是正多边形。（ ）
二. 填空题。
9. 若正多边形内角和是540°，那么这个多边形是_________边形。
8、 10. 两个圆的半径比为2∶1，大圆的内接正六边形与小圆的外切正六边形的面积比为__________。
11. 有一修路大队修一段圆弧形弯道，它的半径R是36m，圆弧所对的圆心角为60°，则这段弯道长约________m（精确到0.1m，）。
三. 解答题。
12. 已知半径为R的圆有一个外切正方形和内接正方形，求这两个正方形的边长比和面积比。
13. 如图，△AFG中，AF＝AG，∠FAG＝108°，点C、D在FG上，且CF＝CA，DG＝DA，过点A、C、D的⊙O分别交AF、AG于点B、F。
求证：五边形ABCDE是正五边形。
14. 如图：三个半径的圆两两外切，求由三条切点弧围成的阴影图形的周长。
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