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实验六 窗函数及其对信号频谱的影响

一. 实验目的
    1. 掌握几种典型窗函数的性质、特点，比较几种典型的窗函数对信号频谱的影响。
    2. 通过实验认识它们在克服 FFT 频谱分析的能量泄漏和栅栏效应误差中的作用，以便在实际工作中能根据具体情况正确选用窗函数
二. 实验原理
    1. 信号的截断及能量泄漏效应
    数字信号处理的主要数学工具是博里叶变换．应注意到，傅里叶变换是研究整个时间域和频率域的关系。然而，当运用计算机实现工程测试信号处理时，不可能对无限长的信号进行测量和运算，而是取其有限的时间片段进行分析。做法是从信号中截取一个时间片段，然后用观察的信号时间片段进行周期延拓处理，得到虚拟的无限长的信号，然后就可以对信号进行傅里叶变换、相关分析等数学处理。

图6.1 信号的周期延拓
    周期延拓后的信号与真实信号是不同的，下面我们就从数学的角度来看这种处理带来的误差情况。设有余弦信号x(t)在时域分布为无限长(- ∞，∞)，当用矩形窗函数w(t)与其相乘时，得到截断信号xT(t) =x(t)w(t)。根据博里叶变换关系，余弦信号的频谱X(ω)是位于ω。处的δ函数，而矩形窗函数w(t)的谱为sinc(ω)函数，按照频域卷积定理，则截断信号xT(t) 的谱XT(ω) 应为：

    将截断信号的谱XT(ω)与原始信号的谱X(ω)相比较可知，它已不是原来的两条谱线，而是两段振荡的连续谱．这表明原来的信号被截断以后，其频谱发生了畸变，原来集中在f0处的能量被分散到两个较宽的频带中去了，这种现象称之为频谱能量泄漏（Leakage）。
    信号截断以后产生的能量泄漏现象是必然的，因为窗函数w(t)是一个频带无限的函数，所以即使原信号x(t)是限带宽信号，而在截断以后也必然成为无限带宽的函数，即信号在频域的能量与分布被扩展了。又从采样定理可知，无论采样频率多高，只要信号一经截断，就不可避免地引起混叠，因此信号截断必然导致一些误差，这是信号分析中不容忽视的问题。
    如果增大截断长度T，即矩形窗口加宽，则窗谱 W(ω)将被压缩变窄（π／T减小）。虽然理论上讲，其频谱范围仍为无限宽，但实际上中心频率以外的频率分量衰减较快，因而泄漏误差将减小。当窗口宽度T趋于无穷大时，则谱窗W(ω)将变为δ(ω)函数，而δ(ω)与X(ω)的卷积仍为X(ω)，这说明，如果窗口无限宽，即不截断，就不存在泄漏误差。

图6.2 信号截断与能量泄露现象
    为了减少频谱能量泄漏，可采用不同的截取函数对信号进行截断，截断函数称为窗函数，简称为窗。泄漏与窗函数频谱的两侧旁瓣有关，如果两侧瓣的高度趋于零，而使能量相对集中在主瓣，就可以较为接近于真实的频谱，为此，在时间域中可采用不同的窗函数来截断信号。
    2. 窗函数
    实际应用的窗函数，可分为以下主要类型：
    a) 幂窗--采用时间变量某种幂次的函数，如矩形、三角形、梯形或其它时间（t）的高次幂；
    b) 三角函数窗--应用三角函数，即正弦或余弦函数等组合成复合函数，例如汉宁窗、海明窗等；
    c) 指数窗--采用指数时间函数，如形式，例如高斯窗等。
    下面介绍几种常用窗函数的性质和特点。
    a) 矩形窗
    矩形窗属于时间变量的零次幂窗，函数形式为:

    相应的窗谱为：

    矩形窗使用最多，习惯上不加窗就是使信号通过了矩形窗。这种窗的优点是主瓣比较集中，缺点是旁瓣较高，并有负旁瓣，导致变换中带进了高频干扰和泄漏，甚至出现负谱现象。

图6.3 矩形窗的时域及频域波形
    b) 三角窗
三角窗亦称费杰（Fejer）窗，是幂窗的一次方形式，其定义为：

相应的窗谱为：

三角窗与矩形窗比较，主瓣宽约等于矩形窗的两倍，但旁瓣小，而且无负旁瓣，如图6.4所示。

图6.4 三角窗的时域及频域波形
c) 汉宁（Hanning）窗
    汉宁窗又称升余弦窗，其时域表达式为：

    相应的窗谱为：

    由此式可以看出，汉宁窗可以看作是3个矩形时间窗的频谱之和，或者说是 3个 sine（t）型函数之和，而括号中的两项相对于第一个谱窗向左、右各移动了 π/T，从而使旁瓣互相抵消，消去高频干扰和漏能。可以看出，汉宁窗主瓣加宽并降低，旁瓣则显著减小，从减小泄漏观点出发，汉宁窗优于矩形窗．但汉宁窗主瓣加宽，相当于分析带宽加宽，频率分辨力下降。

    d) 海明（Hamming）窗
    海明窗也是余弦窗的一种，又称改进的升余弦窗，其时间函数表达式为：

    其窗谱为：

    海明窗与汉宁窗都是余弦窗，只是加权系数不同。海明窗加权的系数能使旁瓣达到更小。分析表明，海明窗的第一旁瓣衰减为一42dB．海明窗的频谱也是由3个矩形时窗的频谱合成，但其旁瓣衰减速度为20dB／（10oct），这比汉宁窗衰减速度慢。海明窗与汉宁窗都是很有用的窗函数。
    5) 高斯窗
    高斯窗是一种指数窗。其时域函数为：

    式中a为常数，决定了函数曲线衰减的快慢。a值如果选取适当，可以使截断点（T为有限值）处的函数值比较小，则截断造成的影响就比较小。高斯窗谱无负的旁瓣，第一旁瓣衰减达一55dB。高斯富谱的主瓣较宽，故而频率分辨力低．高斯窗函数常被用来截断一些非周期信号，如指数衰减信号等。
    不同的窗函数对信号频谱的影响是不一样的，这主要是因为不同的窗函数，产生泄漏的大小不一样，频率分辨能力也不一样。信号的截断产生了能量泄漏，而用FFT算法计算频谱又产生了栅栏效应，从原理上讲这两种误差都是不能消除的，但是我们可以通过选择不同的窗函数对它们的影响进行抑制。图6.5是几种常用的窗函数的时域和频域波形，其中矩形窗主瓣窄，旁瓣大，频率识别精度最高，幅值识别精度最低；布莱克曼窗主瓣宽，旁瓣小，频率识别精度最低，但幅值识别精度最高。

图6.5 几种常用的窗函数的时域和频域波形
    对于窗函数的选择，应考虑被分析信号的性质与处理要求。如果仅要求精确读出主瓣频率，而不考虑幅值精度，则可选用主瓣宽度比较窄而便于分辨的矩形窗，例如测量物体的自振频率等；如果分析窄带信号，且有较强的干扰噪声，则应选用旁瓣幅度小的窗函数，如汉宁窗、三角窗等；对于随时间按指数衰减的函数，可采用指数窗来提高信噪比。
三. 实验仪器和设备
1. 计算机                      n台
2. DRVI快速可重组虚拟仪器平台   1套
3. 打印机                      1台
四. 实验步骤及内容
1. 启动服务器，运行DRVI主程序，开启DRVI数据采集仪电源，然后点击DRVI快捷工具条上的"联机注册"图标，选择其中的"DRVI采集仪主卡检测"进行服务器和数据采集仪之间的注册。联机注册成功后，分别从DRVI工具栏和快捷工具条中启动"DRVI微型Web服务器"和"内置的Web服务器"，开始监听8500和8600端口。
2. 打开客户端计算机，启动计算机上的DRVI客户端程序，然后点击DRVI快捷工具条上的"联机注册"图标，选择其中的"DRVI局域网服务器检测"，在弹出的对话框中输入服务器IP地址（例如：192.168.0.1），点击"发送"按钮，进行客户端和服务器之间的认证，认证完毕即可正常运行客户端所有功能。
3. 在DRVI软件平台的地址信息栏中输入如下信息"http://服务器IP地址:8600/gccslab/index.htm"，打开WEB版实验指导书，在实验目录中选择"窗函数及其对信号频谱的影响"实验，根据实验原理和要求设计该实验。
4. 该实验首先需要设计一个一个正弦信号发生器，来提供原始信号，DRVI中提供了一个"数字信号发生器"芯片，将其中的"信号类型"设置为2就可以产生正弦信号，再用一片"启/停按钮"芯片控制信号是否产生；为了产生各种窗函数，还需要插入一片"谱窗函数"芯片，并用一片"多联开关"芯片与之联动来控制窗函数的输出类型；为了能详细观察信号加窗以后对频谱的影响，需要插入一片"频谱细化分析"芯片，来对选定的频率段进行局部放大，对于该芯片的上、下限细化频率，可以插入两片"水平推杆"芯片来调节；同时，为了观察信号加窗前后频谱的对应变化情况，还应插入两片"频谱计算"芯片来计算信号的频谱；另外选择五片"波形/频谱显示"芯片，用于显示以上处理结果；然后根据连接这些芯片所需的数组型数据线数量，插入8片"内存条"芯片，用于存储8组数组型数据；再加上一些文字显示芯片和装饰芯片，就可以搭建出一个"窗函数及其对信号频谱的影响"实验。所需的软件芯片数量、种类、与软件总线之间的信号流动和连接关系如图6.6所示，根据实验原理设计图在DRVI软面包板上插入上述软件芯片，然后修改其属性窗中相应的连线参数就可以完成该实验的设计和搭建过程。

图6.6 窗函数及其对信号频谱的影响原理设计图
5. 对于"谱窗函数"芯片，设定其"输入波形存储芯片号"为6000，"输出波形存储芯片号"为6001，使存储在"软内存芯片"6000中的数据经过加窗处理后放置在"软内存芯片"6001中，至于具体采用何种窗函数，则通过设置"窗谱类型线号"为2来和"多联开关" 联动，通过多联开关来选择具体的窗函数种类，如图6.7所示；对于"频谱细化分析"芯片；设定其"输入波形存储芯片号"为6001，"输出波形存储芯片号"分别为6002和6003，具体观察的频段范围则通过对"细化上、下限频率"的设置来调节，如第4条所述，分别设置其线号为3和4，并与"推杆"芯片的"输出显示线号"相对应，如图6.8所示。由于此两芯片比较特殊，在此特别加以强调说明。

图6.7 "谱窗函数"芯片参数设置样例图            6.8 "频率细化分析"芯片参数设置样例
6. 也可以点击附录中"该实验脚本文件"的链接，将本实验的脚本文件贴入并启动该实验。实验效果图如图6.9所示。

图6.9 窗函数及其对信号频谱的影响
7. 点击实验中的"运行"按钮，然后选择矩形窗，分析和观察矩形窗对信号频谱的影响，同时调节上下截止频率，观察其能量泄漏和栅栏效应。
8. 然后分别选择"Hanning窗"、"Hamming窗"、"BlackMan窗"和"平顶窗"，分析和观察这些窗函数对信号频谱的影响，同时调节上下截止频率，观察其能量泄漏和栅栏效应。
五. 实验报告要求
1. 根据实验原理和要求，整理出"窗函数及其对信号频谱的影响"实验的原理设计图。
2. 根据已学知识，整理出典型窗函数时域、频域谱图，并分析各种窗的特性。
3. 根据实验结果，整理出同一信号经不同的窗加权后得到的谱图。
六. 思考题
1. 在信号分析中，加窗除了有减小能量泄漏的好处外，还有什么作用？
2. 对比几种常用窗函数的时域和频域波形，说明它们各自的优缺点。
3. 为什么在加窗处理过程中，窗的长度要尽量长？
附录：

1. 该实验的实验信号处理框图如图6.10所示

图6.10 窗函数及其对信号频谱的影响流程图