第2章2.2.2第1课时.docx

22.2函数的奇偶性第1课时奇偶性的概念明目标、知重点1.理解函数的奇偶性及其几何意义.2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质.3.掌握判断函数奇偶性的方法与步骤1函数奇偶性的概念(1)一般地，设函数yf(x)的定义域为A，如果对于任意的xA，都有f(x)f(x)，那么称函数yf(x)是偶函数(2)如果对于函数yf(x)的定义域内的任意的一个x，都有f(x)f(x)，那么称函数yf(x)是奇函数2奇、偶函数图象的对称性(1)偶函数的图象关于y轴对称，图象关于y轴对称的函数一定是偶函数(2)奇函数的图象关于原点对称，图象关于原点对称的函数一定是奇函数3判断函数奇偶性的原则判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域是否关于原点对称情境导学美丽的蝴蝶，盛开的鲜花，六角形的雪花晶体，中国的古建筑，我们学校的综合大楼，它们都具有对称美这种“对称美”在数学中也有大量的反映今天，让我们开启知识的大门，进入函数奇偶性的学习探究点一偶函数的概念思考1观察下列函数的图象，你能通过函数的图象，归纳出三个函数的共同特征吗？并比较f(x)与f(x)的大小？答三个函数的定义域关于原点对称，三个函数的图象关于y轴对称，即f(x)f(x)思考2如果函数yf(x)的图象关于y轴对称，我们就说这个函数是偶函数，那么如何从代数的角度定义偶函数？答一般地，设函数yf(x)的定义域为A，如果对于任意的xA，都有f(x)f(x)，那么称函数yf(x)是偶函数思考3通过前面的探究，你能得出偶函数的图象有怎样的对称性质吗？答如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数为偶函数例1判断下列函数哪些是偶函数(1)f(x)x21；(2)f(x)x2，x1,3；(3)f(x)0.解(1)由解析式可知函数的定义域为R，由于f(x)(x)21x21f(x)，所以函数为偶函数(2)由于函数的定义域不关于原点对称，故函数不是偶函数(3)函数的定义域为R，由于f(x)0f(x)，所以函数为偶函数反思与感悟利用定义法判断函数是不是偶函数时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x，则x也一定是定义域内的一个自变量跟踪训练1判断下列函数是否为偶函数(1)f(x)(x1)(x1)；(2)f(x).解(1)函数的定义域为R，因函数f(x)(x1)(x1)x21，又因f(x)(x)21x21f(x)，所以函数为偶函数(2)函数f(x)不是偶函数，因为它的定义域为x|xR且x1，并不关于原点对称探究点二奇函数的概念思考1观察函数f(x)x和f(x)的图象(如图)，你能发现两个函数图象有什么共同特征吗？答容易得到两个函数的定义域关于原点对称，图象关于原点对称思考2类比偶函数的定义，请给奇函数下个定义答对于定义域内任意的一个x，都有f(x)f(x)，则称函数f(x)为奇函数小结(1)奇函数的定义：如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)f(x)，那么称函数yf(x)是奇函数；(2)函数的奇偶性：如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f(x)具有奇偶性，而如果一个函数既不是奇函数，也不是偶函数(常说该函数是非奇非偶函数)，则说该函数不具有奇偶性；(3)奇、偶函数的性质：偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称思考3类比偶函数图象的对称性，奇函数的图象有怎样的对称性质呢？答奇函数的图象关于原点对称，图象关于原点对称的函数一定是奇函数例2判断下列各函数的奇偶性：(1)f(x)x41；(2)f(x)2x；(3)f(x)2|x|；(4)f(x)(x1)2.解(1)因为对于任意的xR，都有f(x)(x)41x41f(x)，所以函数f(x)x41是偶函数(2)函数f(x)2x的定义域是R.因为对于任意的xR，都有f(x)2(x)2xf(x)，所以函数f(x)是奇函数(3)函数f(x)2|x|的定义域是R.因为对于任意的xR，都有f(x)2|x|2|x|f(x)，所以函数f(x)2|x|是偶函数(4)函数f(x)(x1)2的定义域是R.因为f(1)0，f(1)4，所以f(1)f(1)，f(1)f(1)因此，根据函数奇偶性定义，可以知道函数f(x)(x1)2既不是奇函数也不是偶函数反思与感悟(1)对于一个函数来说，它的奇偶性有四种可能：是奇函数但不是偶函数；是偶函数但不是奇函数；既是奇函数又是偶函数；既不是奇函数也不是偶函数(2)用定义判断函数奇偶性的步骤：先求定义域，看是否关于原点对称；再判断f(x)f(x)或f(x)f(x)是否恒成立跟踪训练2判断下列各函数的奇偶性：(1)f(x)(x2) ；(2)f(x)解(1)由0，得定义域为2,2)，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数(2)x1，f(x)(x)2x2f(x)；x1时，f(x)x2，xf(1)，又f(3)f(3)，f(1)f(1)f(3)f(1)反思与感悟本题有两种解法，一种是通过图象观察，f(3)f(1)，选用偶函数定义，得f(3)f(1)；另一种方法是利用偶函数图象的对称性跟踪训练3如图，给出了奇函数yf(x)的局部图象，则f(4)_.答案2解析f(4)f(4)2.1f(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是_(填序号)f(x)f(x)0；f(x)f(x)2f(x)；f(x)f(x)0；1.答案解析f(x)f(x)，、显然正确，因为f(x)f(x)f(x)20，故正确当x0时，由题意知f(0)0，故错误2下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是_(填序号)yx25(xR)；yx；yx3(xR)；y(xR，x0)答案解析函数yx25(xR)既有增区间又有减区间；yx是减函数；y(xR，x0)不是定义域内的增函数；只有yx3(xR)满足条件3设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2x2x，则f(1)_.答案3解析f(x)是奇函数，当x0时，f(x)2x2x，f(1)f(1)2(1)2(1)3.4偶函数f(x)的定义域为t4，t，则t_.答案2解析因为偶函数的定义域关于原点对称，所以(t4)t0，即t2.5函数f(x)为_(填“奇函数”或“偶函数”)答案奇函数解析因为定义域关于原点对称，且f(x)f(x)，所以是奇函数呈重点、现规律1两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x，如果都有f(x)f(x)f(x)f(x)0f(x)为奇函数；如果都有f(x)f(x)f(x)f(x)0f(x)为偶函数2两个性质：函数为奇函数它的图象关于原点对称；函数为偶函数它的图象关于y轴对称3函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于y轴对称；函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于x轴对称；函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于原点对称一、基础过关1已知函数f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)x2，则f(1)_.答案2解析f(1)f(1)(11)2.2已知yf(x)，x(a，a)，F(x)f(x)f(x)，则F(x)的奇偶性为_答案偶函数解析F(x)f(x)f(x)F(x)又x(a，a)关于原点对称，F(x)是偶函数3下列函数中，既是偶函数又在(0，)上单调递增的函数是_(填序号)yx3；y|x|1；yx21；y.答案解析对于函数y|x|1，f(x)|x|1|x|1f(x)，所以y|x|1是偶函数，当x0时，yx1，所以在(0，)上单调递增另外函数yx3不是偶函数，yx21在(0，)上单调递减，y不是偶函数4设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是_(填序号)f(x)|g(x)|是偶函数；f(x)|g(x)|是奇函数；|f(x)|g(x)是偶函数；|f(x)|g(x)是奇函数答案解析由f(x)是偶函数，可得f(x)f(x)，由g(x)是奇函数可得g(x)g(x)，故|g(x)|为偶函数，f(x)|g(x)|为偶函数5已知函数yf(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)0的所有实根之和是_答案0解析由于偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.6若函数f(x)x2|xa|为偶函数，则实数a_.答案0解析函数f(x)x2|xa|为偶函数，f(x)f(x)，即(x)2|xa|x2|xa|，|xa|xa|，即|xa|xa|，a0.7判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)3，xR；(2)f(x)5x44x27，x3,3；(3)f(x)|2x1|2x1|；(4)f(x)解(1)f(x)3f(x)，f(x)是偶函数(2)x3,3，f(x)5(x)44(x)275x44x27f(x)，f(x)是偶函数(3)f(x)|2x1|2x1|(|2x1|2x1|)f(x)，f(x)是奇函数(4)当x0时，f(x)1x2，此时x0，f(x)(x)21x21，f(x)f(x)；当x0时，f(x)x21，此时x0，f(x)1(x)21x2，f(x)f(x)；当x0时，f(0)f(0)0.综上，对xR，总有f(x)f(x)，f(x)为R上的奇函数二、能力提升8给出函数f(x)|x31|x31|，则下列坐标表示的点一定在函数yf(x)的图象上的是_(填序号)(a，f(a)；(a，f(a)；(a，f(a)；(a，f(a)答案解析f(x)为偶函数，f(a)f(a)，(a，f(a)一定在yf(x)的图象上9已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值是_答案解析依题意得b0，且2a(a1)，a，则ab.10函数f(x)在R上为奇函数，且x0时，f(x)1，则当x0时，f(x)1，当x0，f(x)f(x)(1)，即x0时，f(x)(1)1.11已知函数f(x)1.(1)若g(x)f(x)a为奇函数，求a的值；(2)试判断f(x)在(0，)内的单调性，并用定义证明解(1)由已知g(x)f(x)a得，g(x)1a，g(x)是奇函数，g(x)g(x)，即1a，解得a1.(2)函数f(x)在(0，)内为增函数证明如下：设0x1x2，则f(x1)f(x2)1.0x1x2，x1x20，x1x20，从而0，即f(x1)f(x2)函数f(x)在(0，)内是增函数12已知奇函数f(x).(1)求实数m的值，并画出yf(x)的图象；(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，试确定a的取值范围解(1)当x0，f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，f(x)f(x)x22x，f(x)x22x，m2.yf(x)的图象如图所示(2)由(1)知f(x)，由图象可知，f(x)在1,1上单调递增，要使f(x)在1，a2上单调递增，只需，解得1a3.三、探究与拓展13已知函数f(x)x2(x0)(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若f(1)2，试判断f(x)在2，)上的单调性解(1)当a0时，f(x)x2，f(x)f(x)，函数是偶函数，当a0时，f(x)x2(x0，常数aR)，取x1，得f(1)f(1)20；f(1)f(1)2a0，f(1)f(1)，f(1)f(1)函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数(2)若f(1)2，即1a2，解得a1，这时f(x)x2.任取x1，x22，)，且x1x2，则f(x1)f(x2)(x)(x)(x1x2)(x1x2)(x1x2)(x1x2)x12，x22，且x1x2，x1x20，x1x2，f(x1)f(x2)，故f(x)在2，)上是增函数