1、高 等 数 学
第三次课
教学内容：函数的极限，无穷小，无穷大
教学目的：（1）正确了解函数极限的概念，了解用语言验证函数极限的步骤。
（2） 了解无穷小概念及其与函数极限的关系
（3） 了解无穷小与无穷大的关系，函数的左右极限与函数极限的关系
教学重点：函数极限的定义、无穷小的概念
教学难点：函数极限的定义
教学关键：函数极限的定义
教学过程：
一、由数列极限引入函数极限
根据自变量情况的不同，函数的极限分为两类：
（1） 自变量趋于无穷大的函数的极限
（2） 自变量趋于有限值的函数极限
二、定义
1、自变量趋于有限值的函数极限
定义：设在点的某一去心邻
2、域内有定义。如果存在常数A，对于任意给定的正数（无论多么小），总存在正数，使得当满足不等式时，对应的函数值都满足不等式，那么常数A就叫做函数当时的极限，记做
说明：1、对于给定的，不唯一
2、在有无极限与有无定义无关
例1、
证明：，
，，得证。
例2、证明极限
证明：
，
有
，有得证
左极限与右极限
（1）当从的左边趋于时，，则称A为当 的左极限，记作或
（2）当从的右边趋于时，，则称A为当 的右极限，记作或
结论：
2、自变量趋于无穷大时函数的极限
的三种情况： （）
（）
3、
定义：设函数当大于某一正数时有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数（无论它多小），总存在着正数X，使得当 满足不等式>X时，对应的函数值都满足不等式
，
那么常数A就叫做函数当时的极限，记作
定义：设函数当大于某一正数时有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数（无论它多小），总存在着正数X，使得当 满足不等式>X时，对应的函数值都满足不等式
，
那么常数A就叫做函数当时的极限，记作
说明：类似可以定义函数的左极限
例：利用极限定义证明
证明：，
所以得证
三、函数极限的性质
1、（唯一性）如果存在，则此极
4、限唯一。
2、（局部有界性）如果=A，那么存在常数M>0,和，使得当时有
证明：因为=A，所以取时，有
记M=，则得证
3、（局部保号性）如果=A而且A>0（或A<0）,那么存在常数，使得当
时，有>0(或)
说明：由此定理可以得到更强的结论：
如果=A（A），那么就存在着的某一去心邻域，当时，就有
推论：如果的某一去心邻域内，那么A或（A）
函数极限与数列极限的关系：如果存在，{}为函数的定义域内任一收敛于的数列，且满足：，那么相应的函数值数列{}必收敛，且
证明：设=A，则当时有，<，
又因故对
由假设，。故当时，，从而，即
四、无穷小与无穷大
1、无穷小：如果
5、函数当为当时的无穷小。
如为无穷小
如为无穷小
说明：1任何一个非零常数都不是无穷小量
2一个函数是否为无穷小量，与自变量的变化趋势有关
定理1、在自变量的同一变化过程中，函数具有极限A的充分必要条件是=A+，其中是无穷小。
2、无穷大
设函数在的某一去心邻域有定义（或大于某一正数时有定义）。如果对于任意给定的正数M，总存在正数（或正数X），只要适合不等式（或），对应的函数值总满足不等式，则称函数为当时的无穷大。
注意：无穷大与很大数的区别
3、 无穷小与无穷大的关系
定理：在同一变化过程中，如果为无穷大，则为无穷小：反之，如果为无穷小，且，，则为无穷大
例：当时，为无穷小，为无穷大。
说明：此定理只使用于同一变化过程。
徐屹 第 3 页 2024-12-18
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