专题提升4-概率与代数、几何等的综合应用.doc

专题提升4　概率与代数、几何等的综合应用
1．在如图所示的正方形纸片上做随机扎针实验，则针头扎在阴影区域内的概率为(A)

　(第1题)
A.　　 B. C.　　 D.
【解】　观察可知，图中阴影部分的面积＝正方形面积的，
故针头扎在阴影区域内的概率为.
2．已知一次函数y＝kx＋b，若k从2，－3中随机取一个值，b从1，－1，－2中随机取一个值，则该一次函数的图象经过第二、三、四象限的概率为(A)
A.　　　B. C.　　　D.
【解】　列表如下：
k
b 　　
2
－3
1
(2，1)
(－3，1)
－1
(2，－1)
(－3，－1)
－2
(2，－2)
(－3，－2)
由表中数据可知，共有6种等可能的结果，能使该一次函数的图象经过第二、三、四象限的有(－3，－1)，(－3，－2)这两种结果，
∴该一次函数的图象经过第二、三、四象限的概率为.
3．(株洲中考)从2，3，4，5中任意选两个数，记做a和b，那么点(a，b)在函数y＝图象上的概率是(D)
A.　　　B. C.　　　D.
【解】　从2，3，4，5中任意选两个数，共有12种等可能的结果，点(a，b)在函数y＝图象上的有(3，4)，(4，3)这两种结果，即点(a，b)在函数y＝图象上的概率是.
4．(潍坊中考)如图所示为某市7月1日至10日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择7月1日至7月8日中的某一天到达该市，并连续停留3天，则此人在该市停留期间有且仅有1天空气质量优良的概率是(C)

(第4题)
A.　　　 B. C.　　　 D.
【解】　7月1日至10日按连续三天划分共有8种情况，其中有且仅有1天空气质量优良的有(3，4，5)，(5，6，7)，(6，7，8)，(7，8，9)这4种情况，∴停留期间有且仅有1天空气质量优良的概率＝＝.
5．(杭州中考)如图，已知A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点连结任意两点均可得到一条线段，在连结两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率是(B)
A.　　　B. C.　　　D.

　　(第5题) (第5题解)
【解】　如解图．∵连结正六边形的顶点中的任意两点可得15条线段，其中AC，AE，CE，BD，BF，DF这6条的长度为，
∴所求概率为＝.
6．在一个袋中装有5个除数字外其他完全相同的小球，球面上分别写有1，2，3，4，5这5个数字．小明从袋中任意摸出一个小球，球面数字的平方根是无理数的概率是．
【解】　提示：2，3，5的平方根是无理数．
7．从－2，－1，0，1，2这5个数中任取一个数，作为关于x的一元二次方程x2－x＋k＝0 中k的值，则所得的方程中，有两个不相等的实数根的概率是．
【解】　∵一元二次方程x2－x＋k＝0有两个不相等的实数根，
∴b2－4ac＞0，即1－4k＞0，解得k＜，
∴满足条件的k的值有－2，－1，0，
∴有两个不相等的实数根的概率是.
8．在▱ABCD中，AC，BD是两条对角线．有下列关系式：①AB＝BC；②AC＝BD；③AC⊥BD；④AB⊥BC.从中任取一个作为条件，即可推出▱ABCD是菱形的概率是．
【解】　①在▱ABCD中，一组邻边相等，可以推出▱ABCD是菱形；
②在▱ABCD中，对角线相等，不能推出▱ABCD是菱形；
③在▱ABCD中，对角线互相垂直，可以推出▱ABCD是菱形；
④在▱ABCD中，一组邻边互相垂直，不能推出▱ABCD是菱形．
∴可推出▱ABCD是菱形的概率是.

　(第9题)
9．如图，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，则能让灯泡发光的概率为．
【解】　∵随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，共有3种情况：(S1，S2)，(S1，S3)，(S2，S3)，能让灯泡发光的有(S1，S3)，(S2，S3)这2种情况，∴能让灯泡发光的概率为.
10．(重庆中考)从－2，－1，0，1，2这5个数中，随机抽取一个数记为a，则使关于x的不等式组有解，且使关于x的一元一次方程＋1＝的解为负数的概率为．
【解】　∵关于x的不等式组有解，∴－3≤2x－1<2a，∴2a>－3，∴a＞－.
∵关于x的方程＋1＝的解为负数，
∴x＝<0，∴a<，
∴使关于x的不等式组有解，且使关于x的一元一次方程＋1＝的解为负数的a的值有－1，0，1这三个数．
∴所求概率为.
11．一个口袋中装有四根长度分别为1 cm，3 cm，4 cm和5 cm的细木棒，小明手中有一根长度为3 cm的细木棒，现随机从袋内取出两根细木棒与小明手中的细木棒放在一起，回答下列问题：
(1)求这三根细木棒能构成三角形的概率．
(2)求这三根细木棒能构成直角三角形的概率．
(3)求这三根细木棒能构成等腰三角形的概率．
【解】　共有6种情况，分别为(1，3，3)，(1，4，3)，(1，5，3)，(3，4，3)，(3，5，3)，(4，5，3)．
(1)能构成三角形的情况有(1，3，3)，(3，4，3)，(3，5，3)，(4，5，3)，共4种，
∴P(构成三角形)＝＝.　
(2)构成直角三角形的情况有(4，5，3)，只有1种，
∴P(构成直角三角形)＝.　
(3)构成等腰三角形的情况有(1，3，3)，(3，4，3)，(3，5，3)，共3种，
∴P(构成等腰三角形)＝＝.
12．已知关于x的不等式ax＋3＞0(其中a≠0)．
(1)当a＝－2时，求此不等式的解，并在数轴上表示出此不等式的解．
(2)小明准备了十张形状、大小完全相同的不透明卡片，上面分别写有整数－10，－9，－8，－7，－6，－5，－4，－3，－2，－1.将这10张卡片写有整数的一面向下放在桌面上，从中任意抽取一张，以卡片上的数作为不等式中的系数a，求使该不等式没有正整数解的概率．
【解】　(1)把a＝－2代入不等式，得－2x＋3＞0，解得x＜1.5，解在数轴上表示略．
(2)由题意，可知a<0，∴ax＋3＞0的解为x＜－.要使该不等式没有正整数解，则－≤1，即a≤－3.∴在这10个数中，能使不等式没有正整数解的a的值有－10，－9，－8，－7，－6，－5，－4，－3，共8个∴使该不等式没有正整数解的概率为＝.
13．(西宁中考)某电视节目深受全国观众喜爱，某电视台到我市某中学进行宣传调查活动，随机调查了部分学生对该电视节目的了解程度，以下是根据调查结果做出的统计图的一部分：

(第13题)
(1)根据图中信息，本次调查共随机抽查了50名学生，其中“不了解”在扇形统计图中对应的圆心角的度数是72°，并补全条形统计图．
(2)该校共有3000名学生，试估计该校所有学生中“非常了解”的人数．
(3)该电视台要从随机调查的“非常了解”的学生中，随机抽取两人作为“随行小记者”参与该电视节目的宣传报道工作，请你用画树状图或列表的方法求出同时选到一男一女的概率．
【解】　(1)本次调查共随机抽查了(16＋20)÷72%＝50(名)学生，其中“不了解”在扇形统计图中对应的圆心角的度数是×360°＝72°，“非常了解”的男生有50－1－16－20－7－3＝3(人)，补全条形统计图如图中斜纹所示．
(2)估计该校所有学生中“非常了解”的有×3000＝240(人)．
(3)列表如下：

男
男
男
女
男

(男，男)
(男，男)
(女，男)
男
(男，男)

(男，男)
(女，男)
男
(男，男)
(男，男)

(女，男)
女
(男，女)
(男，女)
(男，女)

所有等可能的情况有12种，其中一男一女的情况有6种，
故P(一男一女)＝＝.