二次函数的次函数的概念的教学讲义.docx

课 题
二次函数的概念

教学目标

1．经历从实际问题引入二次函数的过程，理解二次函数的概念；
2．能准确判断用解析式表示出来的两个变量之间的关系是不是二次函数；
3．对简单的实际问题，能根据具体情景中两个变量之间的依赖关系列出二次函数解析式，并确定函数的定义域．

重点、难点

1．经历抽象二次函数概念的过程，体会二次函数的意义，掌握二次函数的概念；
2．体会二次函数的意义，掌握二次函数的概念．

考点及考试要求

1．能表示简单变量之间的二次函数关系；
2．会辨别二次函数．
教学内容
一【课堂导入】
在初二阶段，我们已经学习了正比例函数和一次函数，现在来看看下面几个例子：
1． 圆的半径是R，写出它的周长C与R的关系式；
答：．
2． 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，写出矩形面积S（）与矩形一边长L（m）之间的关系式；
答：．
3． 写出圆的面积S与半径R之间的关系式．
答：．
分析：1．2．3．三个关系式中S与R、L之间是否存在函数关系？
S是否是R、L的一次函数？
由于2．3．两个关系式中S不是L、R的一次函数，那么S是L、R的什么函数呢？这样的函数你能不能猜想一下它叫什么函数呢？
答：二次函数．
二【知识精讲】
1．知识回顾：
（1）函数的概念：在某个变化过程中有两个量x和y，如果在x的允许范围内，变量y随x的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫做变量x的函数，x叫自变量，y叫做因变量．
（2）正比例函数：一般地，形如 的函数叫做正比例函数，其中叫做比例系数．
（3）一次函数：形如，其中、为常数，且．
特殊情况：当时，称为常值函数；
当时，称为正比例函数．
2．二次函数的定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.它的定义域为一切实数．
3．二次函数应注意的问题：
（1）a、b、c三个系数中，必须保证，否则就不是二次函数了；而b、c两数可以为0，如特殊形式：等．
（2）由于二次函数的解析式是整式的形式，所以自变量的取值范围是任意实数．
三【典例精析】
【例1】 下列函数中哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，指出a、b、c。
　　 (1)； (2)；（3）；（4）；
　　 (5)；(6)；（7）(8)。
解：（1）（2）；（3）
（6）
【练习】下列函数中，哪些是二次函数？
（1） （5）
答案：都不是二次函数
【例2】已知函数是常数）。
（1） 当为何值时，是的二次函数？
（2） 当为何值时，是的一次函数？
（3） 当为何值时，是的常值函数？
解：（1）二次函数时，，解得：。
（2）当时，或。
当时，，是的一次函数。
（3）由（2）当时，，。所以当时，，是的常值函数。
【练习】已知函数，当满足 时，函数是二次函数；
当满足 时，函数是一次函数；
当满足_________时，函数的图像是轴．
【例3】若二次函数的图像过原点，则的值必为（ ） C
A．0或2 B．0 C．2 D． 不能确定
【练习】如果函数是二次函数，当时，的值是_____．8
【例4】 篱笆墙长30m，靠墙围成一个矩形花坛写出花坛面积y(m2)与长x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围。
解：
自变量的取值范围：。
【例5】分别指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1） （2） （3） 答案略
【练习】下列函数中，哪些是二次函数？若是,分别指出二次项系数，一次项系数，常数项．
（1） 是 （2） 否

（3） 是 （4） 否

（5） 否 （6） 是

【例6】已知矩形ABCD的长AD大于宽AB的2倍,其周长是12。从顶点A作射线AE将矩形分成一个直角三角形ABE和一个梯形AECD。若所得直角三角形的一条直角边长是另一条的两倍，设梯形AECD的面积为S，梯形中较短的底的长为x，试写出梯形面积S关于x的解析式，并指出函数的定义域。

图1 图2
解：因为Rt的两条直角边之比为1:2，所以分两种情况：
即AB<2，同理，即。
图1中，设EC=x，EB=a，则AB=2a，

由得
同理，图2得：
【练习】如图，一张正方形纸板的边长为2，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分），设，四边形的面积为，求：
关于的函数解析式和自变量的取值范围．
A
B
E
F
C
G
D
H
解：四边形为正方形，，
总结：
1．判断某个函数是否为二次函数时，需要从以下几个方面考虑：
（1）二次函数是整式形式，根号、分母里不能含有未知数；
（2）将解析式化简之后再进行判断；
（3）对于二次项系数中含有字母的，一定要考虑到二次项系数不为0这一前提条件．
2．认真审题，看清题目需要求解的是什么，细心计算．
3．对于实际应用问题，注意结合实际情况考虑自变量的取值范围．

四【课堂巩固练习】
一、填空
1、如果函数是关于x的二次函数，那么m的值是 。m=2
2、如果函数是关于x的二次函数，那么常数a的取值范围是 。
3、已知二次函数，当时， 。8
4、已知二次函数，当时， 。
5、已知二次函数。如果当，那么a= 。2
6、二次函数的自变量的取值范围是 。一切实数
二、选择题：
1、下列函数中，是二次函数的是（ ）D
A． B．
C． D．
2、下列函数中，不是二次函数的是( )C
A． B．
C． D．

3、已知函数：①；②；③；④。其中二次函数的个数是( )B
A．1 B．2 C．3 D．4
4、圆面积公式中，是的（ ）C
A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．以上都不是
5、函数（ 是常数）是二次函数的条件为（ ）D
A． B． C． D．
三、解答题
1、下列函数中，一定是x的二次函数的有哪些？一定不是x的二次函数的有哪些？对于有可能是x的二次函数的请补充条件，使它一定是二次函数。
（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）；（6）为常数）。
解：（1）（6）一定是；（2）一定不是；（3）（4）（5）不一定是。
当时，（3）是二次函数；当时，（4）是二次函数；当时，（6）是二次函数。
2、取哪些值时，函数是以x为自变量的二次函数？这个函数能否为一次函数或常值函数？如果可能，写出这个函数的表达式。
解：或时是二次函数；
可能。时时一次函数；时是常值函数。
3、在长20cm，宽15cm的矩形木板的四角上各锯掉一个边长为xcm的正方形，写出余下木板的面积y(cm2)与正方形边长x(cm)之间的函数关系，并注明自变量的取值范围。
解：；
4、已知二次函数y=4x2＋5x＋1，求当y=0时的x的值。
解：
5、已知二次函数y=x2-kx-15，当x=5时，y=0，求k。
6、已知二次函数中，当x=0时，y=2；当x=1时，y=1；当x=2时，y=-4，试求a、b、c的值。
解：依题意得：，解得：
五【课后作业】
●基础巩固
1、已知函数y=(k+2)是关于x的二次函数,则k=_____2或-3 ___。
2、已知正方形的周长是c（cm），面积为S（cm2），则S与c之间的函数关系式为_ S=c2 ____
3、填表：
c
2

6

1

4

4、在边长为4m的正方形中间挖去一个长为x m的小正方形，剩下的四方框形的面积为y，则y与x间的函数关系式为___ y=16-x2 ______。
5、用一根长为8m的木条,做一个长方形的窗框，若宽为x m，则该窗户的面积y(m2)与x(m)之间的函数关系式为__y=-x2+4x ______。
6、下列结论正确的是( B )
A.二次函数中两个变量的值是非零实数； B.二次函数中变量x的值是所有实数；
C.形如的函数叫二次函数；
D.二次函数中a、b、c的值均不能为零
7下列函数中，不是二次函数的是( D )
A. y=1-x2 B. y=2(x-1)2+4 C. y=(x-1)(x+4) D. y=(x-2)2-x2
8、在半径为4cm 的圆中, 挖去一个半径为xcm 的圆面, 剩下一个圆环的面积为ycm2，则y与x的函数关系式为( D )
A. y=x2-4 B. y=(2-x)2 C. y=-(x2+4) D. y=-x2+16
9、若y=(2-m)是二次函数，则m等于( C )
A. ±2 B. 2 C. -2 D 不能确定
●能力提升
10、已知y与x2成正比例，并且当x=1时，y=2，求函数y与x的函数关系式，并求当x=-3时，y的值；当y=8时，求x的值。

y=2x2；y=18时x=±2

11、某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000kg，购进价格为每千克30元，物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元也不得低于30元，市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60kg；单价每降低1元，日均多售出2kg。在销售过程中， 每天还要支出其他费用500元(天数不足一天时，按整天计算)。设销售单价为x元。日均获利为y元。求y关于x的二次函数关系式。
11、y=-2x2+260x-6500

●综合探究
12、现有铝合金窗框材料8米，准备用它做一个如图所示的长方形窗架( 窗架宽度AB必须小于窗户的高度BC).已知窗台距离房屋天花板2.2米。设AB为x米，窗户的总面积为S(平方米)。
(1)试写出S与x的函数关系式；
(2)求自变量x的取值范围。
解：（1）AB为x ，则EF，CD也为x，剩下的长度为8-3x。
则AD的长度为（8-3x）/2
则 S=x*（8-3x）/2
（2）为窗台到天花板的距离为2.2米
所以（8-3x）/2 <2.2
（8-3x）<4.4
3x>3.6
x>1.2 米
然后，由于存在AB，CD、EF，所以3*x<8 也就是说x<8.3
所以，x的取值范围为： 4/3