积分变换第1讲复习课程.ppt

单辑母版标题样式击此处编,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,积分变换第1讲,傅里叶（Jean Baptiste Joseph Fourier）,傅里叶（Jean Baptiste Joseph Fourier，17681830）,法国数学家、物理学家。,主要贡献是在研究热的传播时创立了一套数学理论。,1807年向巴黎科学院呈交热的传播论文，推导出著名的热传导方程，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一数都可以展成三角函数的无穷级数。傅立叶级数（即三角级数）、傅立叶分析等理论均由此创始。,傅里叶生平,1768年3月21日生于法国中部欧塞尔一个裁缝家庭，1830年5月16日卒于巴黎。,9岁父母双亡，被当地教堂收养。,12岁由一主教送入地方军事学校读书。,17岁回乡教数学。,1794到巴黎，成为高等师范学校的首批学员；,次年到巴黎综合工科学校执教。,1798年随拿破仑远征埃及时任军中文书和埃及研究院秘书，,1801年回国后任伊泽尔省地方长官。,1817年由于对热传导理论的贡献当选为科学院院士。,1822年任该院终身秘书，后又任法兰西学院终身秘书和理工科大学校务委员会主席。,傅里叶生平,在工程计算中,无论是电学还是力学,经常要和随时间而变的周期函数,f,T,(,t,)打交道.例如:,具有性质,f,T,(,t,+,T,)=,f,Tt,),其中,T,称作周期,而1/,T,代表单位时间振动的次数,单位时间通常取秒,即每秒重复多少次,单位是赫兹(Herz,或Hz).,t,最常用的一种周期函数是三角函数,f,T,(,t,)=,A,sin(,w,t,+,j,)其中,w,=2,p,/,T,而,A,sin(,w,t,+,j,)又可以看作是两个周期函数,sin,w,t,和cos,w,t,的线性组合,A,sin(,w,t,+,j,)=,a,sin,w,t,+,b,cos,w,t,t,人们发现,所有的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的线性组合来逼近.,方波,4个正弦波的逼近,100个正弦波的逼近,吉布斯现象,研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内的情况即可,通常研究在闭区间,-,T,/2,T,/2内函数变化的情况.,1.连续或只有有限个第一类间断点,2.只有有限个极值点,这两个条件实际上就是要保证函数是可积函数.,并非理论上的所有周期函数都可以用傅里叶级数逼近,而是要满足狄利克雷(Dirichlet)条件,即在区间-,T,/2,T,/2上,第一类间断点和第二类间断点的区别:,第二类间断点,第一类间断点,不满足狄氏条件的例子:,而在工程上所应用的函数,尤其是物理量的变化函数,全部满足狄氏条件.实际上不连续函数都是严格上讲不存在的,但经常用不连续函数来近似一些函数,使得思维简单一些.,在区间,-,T,/2,T/2上满足狄氏条件的函数的全体也构成一个集合,这个集合在通常的函数加法和数乘运算上也构成一个,线性空间,V,此空间的向量就是函数,线性空间的一切理论在此空间上仍然成立.更进一步地也可以在此线性空间,V,上定义内积运算,这样就可以建立元素(即函数)的,长度,(范数),及函数间,角度,及,正交,的概念.两个函数,f,和,g,的,内积,定义为:,一个函数,f,(,t,)的,长度,为,而在区间,-,T,/2,T,/2上的,三角函数系,1,cos,w,t,sin,w,t,cos 2,w,t,sin 2,w,t,.,cos,n,w,t,sin,n,w,t,.是,两两正交,的,其中,w,=2,p,/,T,这是因为cos,n,w,t,和sin,n,w,t,都可以看作是复指数函数e,j,n,w,t,的线性组合.当,n,m,时,这是因为,由此不难验证,而1,cos,w,t,sin,w,t,.,cos,n,w,t,sin,n,w,t,.的函数的长度计算如下:,因此,任何满足狄氏条件的周期函数,f,T,(,t,),可表示为三角函数形式的傅利叶级数如下:,为求,a,n,须计算,f,T,(,t,),cos,n,w,t,即,同理,为求,b,n,计算,f,T,(,t,),sin,n,w,t,即,最后可得:,而利用三角函数的,指数形式,可将级数表示为:,如令,w,n,=,n,w,(,n,=0,1,2,.),给定,f,T,(,t,),c,n,的计算如下:,例 定义方波函数为,如图所示:,1,-,1,o,t,f,(,t,),1,现以,f,(,t,)为基础构造一周期为,T,的周期函数,f,T,(,t,),令,T,=4,则,1,-,1,3,T,=4,f,4,(,t,),t,则,Sa函数介绍内插函数,Sa函数的图形:,Sa(,x,),x,前面计算出,w,现在将周期扩大一倍,令,T,=8,以,f,(,t,)为基础构造一周期为,8,的周期函数,f,8,(,t,),1,-,1,7,T,=8,f,8,(,t,),t,则,则在,T,=8时,w,如果再将周期增加一倍,令,T,=16,可计算出,w,一般地,对于周期,T,当周期,T,越来越大时,各个频率的正弦波的频率间隔越来越小,而它们的强度在各个频率的轮廓则总是Sa函数的形状,因此,如果将方波函数,f,(,t,)看作是周期无穷大的周期函数,则它也可以看作是由无穷多个无穷小的正弦波构成,将那个频率上的轮廓即Sa函数的形状看作是,f,(,t,)在各个频率成份上的分布,称作,f,(,t,)的傅里叶变换.,对任何一个非周期函数,f,(,t,)都可以看成是由某个周期函数,f,T,(,t,)当,T,时转化而来的.,作周期为,T,的函数,f,T,(,t,),使其在,-,T,/2,T,/2之内等于,f,(,t,),在,-,T,/2,T,/2之外按周期,T,延拓到整个数轴上,则,T,越大,f,T,(,t,),与,f,(,t,),相等的范围也越大,这就说明当,T,时,周期函数,f,T,(,t,),便可转化为,f,(,t,),即有,O,t,f,(,t,),O,t,f,T1,(,t,),O,t,f,T2,(,t,),如图,O,w,1,w,2,w,3,w,n,-1,w,n,w,此公式称为函数,f,(,t,)的,傅里叶积分公式,简称傅氏积分公式,【傅氏积分定理】若,f,(,t,)在(,-,+)上满足条件:1,f,(,t,),在任一有限区间上满足,狄氏条件,;2,f,(,t,),在无限区间,(,-,+)上,绝对可积,则有,(1.4)式也可以转化为三角形式,又考虑到积分,总结：,1在区间,-,T,/2,T,/2上的,三角函数系,1,cos,w,t,sin,w,t,cos 2,w,t,sin 2,w,t,.,cos,n,w,t,sin,n,w,t,.构成一个完备正交系,其中,w,=2,p,/,T,。,2.满足狄利克雷(Dirichlet)条件,即在区间-,T,/2,T,/2上：1)连续或只有有限个第一类间断点;2)只有有限个极值点，这样的周期函数,f,T,(,t,),可表示为三角函数形式的傅利叶级数如下:,利用欧拉公式，又可以把傅氏级数表示成复指数形式：,当T+时，,f,T,(t),f,(t)，上式变成：,此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢,