福建省宁德市部分达标中学2011-2012学年高二数学下学期期末联合考试-理-试题新人教A版.doc

宁德市部分达标中学2011-2012学年第二学期期末联考高二数学试卷（理科）
命题、审核人：陈尔明 叶惠金 曾亦雄 郭强 杨恩彬
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．
第I卷（选择题 共50分）
一、选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数（是虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．在对我市高中学生某项身体素质的测试中，测试结果服从正态分布，若在内取值的概率为，则在内取值的概率为
A． B． C． D．
3．4张相同卡片上分别写上1，2，3，4，从中随机抽出2张，则卡片上数字和为奇数的概率为
A． B． C． D．
4．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如
下的列联表：

男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
由算得
附表：

0.050
0.010
0.001

3.841
6.635
10.828
参照附表，得到的正确结论是
A．有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B．有以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
5．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任）， 要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有
A．210种 B．420种 C．630种 D．840种
6．若椭圆的面积为，则
A． B． C． D．
7．数学归纳法证明（）成立时，从到左边需增加的乘积因式是
A． B． C． D．
8．设是展开式的中间项，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
9．已知定义在上的偶函数，当时不等式成立， 若，，，则，，的大小关系是
A． B． C． D．
10．在面积为的正三角形中，是边上的动点，过点作，交于点，当点运动到离边的距离为高的时，的面积取得最大值为．类比上面的方法，可得,在各棱长相等体积为的四面体中，是棱上的动点，过点作面面，分别交 于点，则四面体的体积的最大值等于
A． B． C． D．．
第II卷 （非选择题共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．

3
4
5
6
7

2

4

6
11．某厂节能降耗技术改造后，在生产过程中记
录了产量（吨）与相应的生产能耗（吨）
的几组对应数据如右表所示，根据右表提供
的数据，求出关于的线性回归方程为，那么预计产量（吨）时，
相应的生产能耗的吨数为 ．
12．（本题设有（1）（2）二个选考题，请任选1题做答．如果多做，则按所做的前一题计分．）
（1）（选修4-2：矩阵与变换）矩阵的所有特征值的和为 ．
（2）（选修4-5：不等式选讲）不等式的解集为 　．
13．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷次，记正面向上的次数为，则方差 ．
14．若二项式展开式的常数项为，则二项式展开式中所有项的系数和为 ．
15．数学与文学之间存在着许多奇妙的联系．诗中有回文诗，如：“云边月影沙边雁，水外天光山外树”，倒过来读，便是“树外山光天外水，雁边沙影月边云”，其意境和韵味读来真是一种享受！数学中也有回文数，如：88，454，7337，43534等都是回文数，无论从左往右读，还是从右往左读，都是同一个数，称这样的数为“回文数”，读起来还真有趣！
二位的回文数有11，22，33，44，55，66，77，88，99，共9个；
三位的回文数有101，111，121，131，…，969，979，989，999，共90个；
四位的回文数有1001，1111，1221，…，9669，9779，9889，9999，共90个；
由此推测：10位的回文数总共有　　　个．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分13分）
若函数在点处的切线方程为．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）若 ，求函数的最大值和最小值．

17．（本小题满分13分）
本题设有（1）（2）二个选考题，请任选1题做答．如果多做，则按所做的前一题计分．
（1）选修4-2：矩阵与变换
设矩阵．
（Ⅰ）若，求矩阵的逆矩阵；
（Ⅱ）若曲线：在矩阵的作用下变换成曲线：，
求的值．

（2）选修4-5：不等式选讲
（Ⅰ）若，求 的最小值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若，，试求的最大值．

18．（本小题满分13分）
已知在四棱锥中，底面是正方形，平面⊥平面，且⊥，． 分别是的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
（Ⅲ）在线段上是否存在一点，使∥平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．

19 ．（本小题满分13分）
某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球）， 3 个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练，都从中任意取出2 个球，用完后放回．
（Ⅰ）设第一次训练时取到的新球个数为，求的分布列和数学期望；
（Ⅱ）求第二次训练时恰好取到一个新球的概率．

20．（本小题满分14分）
已知椭圆的离心率，点为椭圆上任意一点，、分别为左、右焦点，且的周长为10．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）作直线交椭圆于另一点，若，求直线的方程．

21．（本小题满分14分）
已知函数．
（Ⅰ）若时，函数取得极大值，求实数的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）已知结论：若函数在区间内导数都存在，且，则存在，使得．试用这个结论证明：若，函数，则对任意，都有．

2012年宁德市普通高中五校期末统考试卷
高二数学（理科）试题参考答案及评分标准
说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如
果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细
则．
二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程
度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答
有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分．
1．A 2．C 3．C 4．A 5．B 6．D 7．A 8．D 9．B 10．C
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分20分．
11． 12．（1） （2） 13．1 14．0 15．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．解：（Ⅰ）∵，
根据题意得， 3分
故解得
故 ； 6分
（Ⅱ）由（Ⅰ），令，解得， 7分
∵，，，， 11分
∴在区间上，． 13分
17．(1)解法一：（I），且， ………………………………3分
故． ………………………………6分
（II）设曲线C上任意一点，它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点
，则，即，　　　　……………………8分
又点在曲线上，所以，则，
即为曲线C的方程，……………………10分
又已知曲线C的方程为，
比较系数可得，解得，∴．　……………………13分
解法二：（Ⅰ）设矩阵M的逆矩阵，则又，
所以，所以，
，即
故所求的逆矩阵．　　　　　　　　………………………………4分
（Ⅱ）同解法一．
(2) 解：（1）（或）……………………4分
可求得……………………6分
（2），
．……………………10分
当且仅当即时等号成立．……………………12分
故．……………………13分
18．（Ⅰ）证明：∵是正方形，
∴． ……………………………1分
又∵平面⊥平面，平面平面，………2分
∴平面． …………………………………3分
∴． …………………………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知两两垂直．
如图以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，…5分
∴，．
设平面的法向量为，
∴ ∴ 令,
得平面的一个法向量为 ． ………………………………7分
显然平面的一个法向量为,
∴,
∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为 ． ……………………9分
（Ⅲ）假设在线段上存在一点，使∥平面，设．
∵, ∴，∴，
∴，
∴，∴，∴．
∴在线段上存在一点，使∥平面，且， ……………13分
19．解：（Ⅰ）的所有可能取值为0，1，2． ……………………………………1分
设“第一次训练时取到个新球（即）”为事件（=0，1，2）．因为集训前共有6个篮球，其中3个是新球，3个是旧球，所以
， ………………………………………2分
， ………………………………………3分
． ………………………………………4分
所以的分布列为

0
1
2

的数学期望为． ……………………………………6分
（Ⅱ）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件．
则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件．
而事件、互斥，且，，相互独立．
所以，．
，…………………………8分
，…………………………10分
．…………………………12分
所以，第二次训练时恰好取到一个新球的概率为
． …………………………13分
20．解：（I）依题意得………………2分
解得故，………………5分
从而椭圆的方程为．………………6分
（Ⅱ）设直线：，联立椭圆方程得
，显然．………………8分
设，，则，，（*）………………9分
由，，
， ………………10分
代入（*）得

……………12分
即 ………………13分
故直线的方程为：． ………………14分
法二：显然直线的斜率存在，设的方程为，
代入得
由过焦点，显然成立………………8分
设，，
，，
故…………………………① ………9分
且 ………………10分
由①②解得代入③ ……………12分
整理得： ……………………13分
故直线的方程为：． ……………………14分
21．解：（Ⅰ）． 由，得，…………………3分
此时．
当时，，函数在区间上单调递增；
当时，，函数在区间上单调递减．
函数在处取得极大值，故．…………………………4分
（Ⅱ）由，
当时，由，所以，即函数的单调递增区间为；…… 6分
当时，由得，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．……………8分
（Ⅲ）令，……………9分
则．
∵函数在上可导，存在，
使得．
，…………………………12分
∵当时，，单调递增，；
∵当时，，单调递减，；
故对任意，都有．…………………………14分

9
用心 爱心 专心