山西省山大附中2012-2013学年高二数学10月月考试题-理-新人教A版.doc

山西大学附中2012～2013学年第一学期高二（10月）月考
数学试题（理科）
（考试时间：90分钟 考查内容：立体几何 ）
一、选择题：（每小题5分，共60分）
1．已知点，则点关于轴对称的点的坐标为
A． B． C． D．
2．设棱锥的底面面积是8cm2，那么这个棱锥的中截面的面积是
A．4cm2 B． C．2cm2 D．A
B
C
D

3．一个正方体的展开图如图所示，为原正方体的顶点，
则在原来的正方体中
A． B．与相交
C． D．与所成的角为

4．三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形，其正视图
(如图所示)的面积为8，则侧视图的面积为
A．8 B． C．4 D．
5．建立坐标系用斜二测画法画正△ABC的直观图，其中直观图不是全等三角形的一组是

6．已知异面直线所成的角为，则过空间任意一点可作与所成的角都是的直线有多少条
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
7．设是三个互不重合的平面，是两条不重合的直线，下列命题中正确的是
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，，则
8．已知某几何体的三视图如右图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为
A． B． C． D．
9．如果直角三角形的斜边与平面平行，两条直角边所在直线与平面所成角分别为和，那么和满足条件是
A． B．
C． D．
10．连接球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：
① 弦AB、CD可能相交于点M；② 弦AB、CD可能相交于点N；③ MN的最大值为5；
④ MN的最小值为1．其中真命题的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
11．如图(1)所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1cm和半径为3cm的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为20cm，当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为28cm，则这个简单几何体的总高度为

A．29cm　　 B．30cm　 　C．32cm　　 D．48cm
12．如图甲所示，三棱锥的高分别在和上，且，图乙中的四个图像大致描绘了三棱锥的体积与的变化关系，其中正确的是

二、填空题：（每小题5分，共16分）
13．已知，且，则的值是 ．
14．已知平面,直线满足:,那么①；②；③；④.可由上述条件可推出的结论有 ．
(请将你认为正确的结论的序号都填上).
15．如图，半径为4的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，
球的表面积与该圆柱的侧面积之差是________．
16．已知为单位正方体，黑白两只蚂蚁从点出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”，白蚂蚁爬行的路线是，黑蚂蚁爬行的路线是，它们都遵循如下规则：所爬行的第段与第段所在直线必须是异面直线(其中是自然数)，设黑、白蚂蚁都走完2012段后各停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两只蚂蚁的距离是 ．
三、解答题：（每小题14分，共70分）
17．（本小题满分14分）
已知：且不共面.若∥,
求的值.

18．（本小题满分14分）
如图所示，矩形中，平面，为上的点，且平面.
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积

19．（本小题满分14分）
如图所示，已知多面体的直观图（图1）和它的三视图（图2），
（1）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由；

（2）求二面角的余弦值.
E
P
A D

B C
图1 图2
20．（本小题满分14分）
在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，， 平面，，，，，且是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的大小；
（3）在线段上是否存在一点，使得与所成的角为？
若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.

C
A
F
E
B
M
D

21．（本小题满分14分）
如图，四边形中（图1）是的中点，，将（图1）沿直线折起，使二面角为（如图2）
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值；
（3）求点到平面的距离.

山西大学附中
2012～2013学年第一学期高二（10月）月考
数学试题答题纸
一、选择题：（每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案

二、填空题：（每小题5分，共16分）

13． ． 14． ． 15． ． 16． ．
三、解答题：（每小题14分，共70分）
17．（本小题满分14分）

18．（本小题满分14分）

19．（本小题满分14分）
E
P

图1 图2

20．（本小题满分14分）
C
A
F
E
B
M
D

21．（本小题满分14分）

山西大学附中
2012～2013学年第一学期高二（10月）月考
数学(理科)试题答案
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
D
B
C
C
D
D
B
C
A
A
二、填空题：
13．2 14．②④ 15．32π 16．
三、解答题：
17．解：∥,,且即
又不共面,
18． [解析]　(1)∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，

∴BC⊥平面ABE，∴AE⊥BC，又∵BF⊥平面ACE，∴AE⊥BF，
又∵BF∩BC＝B，∴AE⊥平面BCE.
(2)由题意可得，G是AC的中点，连接FG，
∵BF⊥平面ACE，∴CE⊥BF，又∵BC＝BE，∴F是EC的中点，
∴在△AEC中，FG∥AE，FG＝AE＝1，
∵AE⊥平面BCE，∴FG⊥平面BCF.在Rt△BEC中，BF＝CE＝CF＝，
∴S△BCF＝××＝1，∴VC－BGF＝VG－BCF＝·S△BCF·FG＝.
19．由三视图可知，多面体是四棱锥P-ABCD，底面ABCD是直角梯形，侧棱PA⊥平面ABCD. 且PA=2,AB=BC=1,AD=2. ………2分

P
A D
O
B C
（Ⅰ）在棱PA上存在点E，使得PC//平面EBD，且 PE：PA＝1：3. …3分
(方法一)当PE：PA=1:3时．连接ＡＣ，交ＢＤ于点，

∵ＢＣ∥ＡＤ，且ＢＣ＝ＡＤ，
∴，，∴在中,，
x
y
z
∴EO//PC,由OE平面EBD,PC平面EBD，∴PC//平面EBD .
即在棱PA上存在点E，使得PC//平面EBD，且 PE：PA＝1：3.……7分
(方法二)若PC//平面EBD.
连接AC,交BD于,连接E,平面EBD平面ACP= E,又PC//平面EBD，
所以PC// E，所以AE：EP=A:C.
又在直角梯形ABCD中，∽，所以A:C＝AD:BC=2:1,
所以AE：EP=A:C＝2：1，所以PE：PA＝1：3.
即在棱PA上存在点E，使得PC//平面EBD，且 PE：PA＝1：3. ……7分
（方法三）如图以A为原点，AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴建立坐标系A-xyz.
由三视图可知，B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2). …………4分
设E(0,0,),为平面EBD的法向量,
则,,
由,得.令y=1,则 . ……5分
又,且,，∴=. …….6分
∴在棱PA上存在点E，使得PC//平面EBD，此时PE：PA=1:3. ….7分
(Ⅱ)（方法一）设分别为平面BPC和平面DPC的法向量,
又，
则由,得,令z1=1,则.………………10分
同理.∴. ………………………………12分
由图可知二面角B-PC-D为钝二面角, 二面角B-PC-D的大小为.………14分
（方法二）， …8分
在平面PBC内作于N，设，则，
又与共线，
………………12分
…………………13分
由图可知二面角B-PC-D为钝二面角, 二面角B-PC-D的大小为………14分
C
A
F
E
B
M
D
20． 证明：（Ⅰ）取的中点，连接.
在△中，是的中点，是的中点，所以，
又因为， 所以且.
所以四边形为平行四边形，所以.
又因为平面，平面，故平面.……… 4分
解法二：因为平面，，故以为原点，如图建立坐标系.…1分
z
C
A
F
E
B
M
D
x
y
由已知可得
（Ⅰ）， . …2分
设平面的一个法向量是.
由得令，则……3分
又因为，
所以，又平面，所以平面. ……………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面的一个法向量是.
因为平面，所以. 又因为，所以平面.
故是平面的一个法向量. 所以，
又二面角为锐角，故二面角的大小为. ……10分
（Ⅲ）假设在线段上存在一点，使得与所成的角为.
不妨设（），则.
所以， 由题意得，
化简得，解得.
所以在线段上不存在点，使得与所成的角为.…………14分
21．（1）如图取BD中点M，连接AM，ME。
因 ……1分
因 ， 满足：,
所以是BC为斜边的直角三角形，,
因是的中点,所以ME为的中位线 ，
, …… 2分
是二面角的平面角= ……3分
,且AM、ME是平面AME内两相交于M的直线
平面AEM ……4分
因,为等腰直角三角形，
…… 6分
…… 7分
（2）如图，以M为原点MB为x轴，ME为y轴，建立空间直角坐标系，8分
则由（1）及已知条件可知B(1,0,0),， ,D,C
…… 9分
设异面直线与所成角为,则 ……11分
(3)由可知满足，
是平面ACD的一个法向量, …… 12分
记点到平面的距离d，则在法向量方向上的投影绝对值为d
则 ……13分 所以d …… 14分
（2），(3)解法二：
取AD中点N，连接MN,则MN是的中位线,MN//AB,又ME//CD
所以直线与所成角为等于MN与ME所成的角，
即或其补角中较小之一 …… 8分
，N为在斜边中点
所以有NE=,MN=,ME=,
= …10分
(3)记点到平面的距离d，则三棱锥B-ACD的体积, ……11分
又由（1）知AE是A-BCD的高、 …..12分

E为BC中点，AEBC 又, ,

……13分
到平面的距离 ……14分

12
用心 爱心 专心