1、极化恒等式优化向量题解法
课题：极化恒等式在向量问题中的应用
学
习
目
标
目标1:通过自主学习掌握极化恒等式两种模式，理解其几何意义；
目标2—1:通过对例1的自主学习掌握用极化恒等式求数量积的值；
目标2-2：通过对例2的自主学习掌握用极化恒等式求数量积的最值、范围;
目标2-3：通过小组合作学习掌握极化恒等式解决与数量积有关的综合问题.
重点
掌握极化恒等式，利用它解决一类与数量积有关的向量问题
难点
根据具体的问题情境，灵活运用极化恒等式
目标达成途径
学习自我评价
目标1：阅读材料，了解极化恒等式的由来过程，掌握极化恒等式
的两种模式，并理解其几何
2、意义
阅读以下材料：
M
图1
（1）
（2）
（1)(2）两式相加得:
结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍。
思考1：如果将上面（1）（2)两式相减，能得到什么结论呢?
＝—-—-极化恒等式
对于上述恒等式,用向量运算显然容易证明。那么基于上面的引例，你觉得极化恒等式的几何意义是什么？
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的。
即:（平行四边形模式)
思考：在图1的三角形ABD中（M为BD的中点），此恒等式如何表示呢？
因为，所以（三角形模
3、式）
目标2-1：掌握用极化恒等式求数量积的值
A
B
C
M
例1.（2012年浙江文15）在中，是的中点，，则____ 。
解：因为是的中点，由极化恒等式得:
=9-= -16
【小结】在运用极化恒等式的三角形模式时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式。
目标检测
目标2-2：掌握用极化恒等式求数量积的最值、范围
解:取AB的中点D，连结CD,因为三角形ABC为
正三角形，所以O为三角形ABC的重心，O在CD上，
且，所以，
（也可用正弦定理求AB)
又由极化恒等式得：
因为P在圆
4、O上，所以当P在点C处时，
当P在CO的延长线与圆O的交点处时，
所以
【小结】涉及数量积的范围或最值时，可以利用极化恒等式将多变量转变为单变量，再用数形结合等方法求出单变量的范围、最值即可.
目标检测
问题、疑惑、错解汇集
能力提升
目标2-3：会用极化恒等式解决与数量积有关的综合问题
例3.(2013浙江理7)在中，是边上一定点，满足，且对于边上任一点，恒有。则（ )
A。 B。
C. D.
目标检测
问题、疑惑汇集
知识、方法总结
本课的主要学习内容是什么？
5、
极化恒等式：
平行四边形模型：
三角形模型:
极化恒等式在处理与_________________有关问题时，显得较有优越性。
课后检测
1。在中，若,,在线段上运动，的最小值
为
2.已知是圆的直径，长为2,是圆上异于的一点,是圆所在平面上任意一点，则的最小值为( ）
A. B。 C. D.
3．在中，，，，若是所在平面内一点，且,则的最大值为
4． 若点和点分别是双曲线的中心和左焦点，点为双曲线右支上任意一点则的取值范围是 .
5．在，，已知点是内一点，则的最小
值是 。
6。已知是单位圆上的两点，为圆心，且是圆的一条直径,点在圆内，且满足,则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7. 正边长等于，点在其外接圆上运动，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8．在锐角中,已知,,则的取值范围是 ．
6
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