奥数 六年级竞赛 数论(二).教师版word.doc

第 6讲

数论(二)

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教学目标

小学奥数数论内容中，余数相关问题是最成体系的，也是各类竞赛考试中的重点．
⑴同余性质是解决同余问题的重要依据,复习简单同余问题，学会灵活运用同余性质解决同余问题.
⑵熟练掌握余数定理在多位数除法以及高次冥末尾数字求解中的基本运用.
⑶能用凑同余的办法解决一个数除以多个数，得不同余数的问题，学会使用中国剩余定理．

专题回顾

余数定理：
①两数的和除以的余数等于这两个数分别除以的余数和．
实例：，，这样的余数就等于的余数．
②两数的差除以的余数等于这两个数分别除以的余数差．
实例：，，这样的余数就等于的余数．
③两数的积除以的余数等于这两个数分别除以的余数积．
实例：，，这样的余数就等于的余数．

带余除法：
一般地，如果是整数，是整数，那么一定有另外两个整数和，，使得．
当时，我们称能被整除．
当时，我们称不能被整除，为除以的余数，为除以的不完全商(亦简称为商)．用带余数除式又可以表示为,．
同余式：
若两个整数，被自然数除有相同的余数，那么称，对于模同余，用“同余式”表示为意味着(我们假设)，是整数，即．
若两个数，除以同一个数得到的余数相同，则，的差一定能被整除．

【例 1】 有一个整数，用它去除，，所得到的个余数之和是，那么这个整数是______．
【分析】 ，，除数应当是的大于小于的约数，只可能是和，，，所以除数不是．
，，，，所以除数是．

【例 2】 一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少？
【分析】 设两位数(表示十位数字，表示个位数字)

　　　　由于余数不会超过除数的值，所以我们对的值从最大值开始往小进行尝试搜索：
当，此时余数为．
当，则两位数为、，余数为、．
当，则两位数为、、，余数为、、．
则余数最大的为，因为接下来，除数最大为，这样余数中最大的也只可能为，所以余数最大的是．

专题精讲

同余问题

【例 1】 一个自然数除429、791500所得的余数分别是、、，求这个自然数和的值.
［分析］ 将这些数转化被该自然数除后余数为的数：
　　　　，、，这些数被这个自然数除所得的余数都是，同余.
　　　　将这三个数相减，得到、，所求的自然数一定是和的公约数，而，所以这个自然数是的约数，显然1是不符合条件的，经过验证，当这个自然数是时，除、、所得的余数分别为、、，时成立,所以这个自然数是，.

［拓展］已知，，被某自然数除所得余数分别是，，，求该自然数的值．
［分析］ 自然数，，被该数除所得余数分别是，，．
自然数与同余，与同余，
所以除数是和的公约数，运用辗转相除法可得到该除数为．经过检验成立．

［拓展］甲乙、丙三数分别为603，939，393.某数除甲数所得余数是除乙数所得余数的倍，除乙数所得余数是除丙数所得余数的2倍．求等于多少？
［分析］ 设这个数为，则

　　　　,,要消去余数,,,我们只能先把余数处理成相同的，再两数相减．
　　　　这样我们先把第二个式子乘以，这样被除数和余数都扩大倍，同理，第三个式子乘以4．
　　　　这样我们可以得到下面的式子：

　　　　这样余数就处理成相同的．最后两两相减消去余数，意味着能被M整除．
　　　　，，
　　　　．
　　　　，，这三个数有公约数．
　　　　．则等于．

【例 2】 一个自然数减去它的各位数字之和得到的差值，称为“好数”．例如，根据是“好数”．在四位数20□○的方框中填入某个恰当的数字后，可以使得无论圆圈内填入中的哪个数字，该四位数都不是“好数”，那么在方框中应填写数字__________．

【分析】 注意到所有“好数”都是9的倍数，但9的倍数不一定都是好数．
对应的“好数”是；
对应的“好数”是；
对应的“好数”是；
…… …… ……
对应的“好数”是；
对应的“好数”是；
即在20□○中“好数”只能是2007、2016、2025、2034、2043、2052、2061、2070、2079、2097．
所以，如果在20□○的“□”内填入8，则不管“○”填入什么数都不能是“好数”．

【例 3】 (南京市“兴趣杯”少年数学邀请赛决赛)现有糖果254粒，饼干210块和桔子186个．某幼儿园大班人数超过40．每人分得一样多的糖果，一样多的饼干，也分得一样多的桔子．余下的糖果、饼干和桔子的数量的比是：，这个大班有_____名小朋友，每人分得糖果_____粒，饼干_____块，桔子_____个．
【分析】 法一：设大班共有名小朋友．由于余下的糖果、饼干和桔子的数量之比是，所以余下的糖果、桔子数目的和正好等于余下的饼干数，从而一定是的倍数，即是的倍数．
　　同样，也一定是的倍数．所以，只能是的因数．但，所以．此时，，．
故大班有小朋友46名，每人分得糖果5粒，饼干3块，桔子3个．
法二：如果糖果有粒，饼干有块，橘子有个，那么余下的糖果、饼干、橘子的个数相等，所以、、这三个数的相互之差是大班人数的倍数，，，，所以幼儿园大班人数是的大于的约数，即、、，经过检验，其中只有满足条件．每人分得糖果粒、饼干块、橘子块．

余数规律

【例 4】 试求的末两位数．
【分析】 分别考虑这两个幂除以4和25所得的余数．
首先考虑4，253除以4余数是1，所以25310除以4的余数仍是1；168是4的倍数，它的5次方仍是4的倍数，即除以4的余数为0，则原数除以4的余数也是0．
再考虑25，253除以25余3，则只需看310除以25的余数，又310=27×27×27×3，则310除以25的余数为2×2×2×3=24；168除以25余18，则只需看除以25的余数，可知余数为18；又除以的余数为7，所以原式除以25的余数即为7．
两位数中，能被4整除，除以25余7的数只有32，则原式的末两位即为32．

［拓展］试求的末两位数.
［分析］ ，所以的末两位数与的末两位数相同．
，被除余所以被100除得的余数等于，所以的末两位数是.

［拓展］求除以的余数．
［分析］ 法一：
∵(被除余)
∴(被除所得余数与被除所得余数相等)
　　　　而，
∴．
法二：计算被7除所得的余数可以用找规律的方法，规律如表

于是余数以为周期变化．所以．

【例 5】 除以所得的余数为多少？
【分析】 求结果除以10的余数即求其个位数．从1到2005这2005个数的个位数字是10个一循环的，而对一个数的幂方的个位数，我们知道它总是4个一循环的，因此把每个加数的个位数按20个(20是4和10的最小公倍数)一组，则不同组中对应的数字应该是一样的．
首先计算的个位数字，为4．
2005个加数中有100组另5个数，100组的个位数是的个位数即0，另外5个数为、、、、，它们和的个位数字是的个位数 3，所以原式的个位数字是3，即除以10的余数是3．

【例 6】 求除以的余数．
【分析】 法一：

　　 所以除以的余数为．
　　　　　法二：首先计算被除所得余数为，
　　　　　，也是的倍数，所以也是的倍数．
，所以也是的倍数．
以此递推可得到也是的倍数．

［拓展］(2008年奥数网杯)已知，问：除以13所得余数是______.
［分析］ 除以13余6，10000除以13余3，
注意到；
；
；

根据这样的递推规律求出余数的变化规律：
20082008除以13余，200820082008除以13余，即200820082008是13的倍数，而除以3余1，所以除以13的余数与除以13的余数相同，为6.

【例 7】 对任意的自然数，证明能被整除．
【分析】 ，与互质，因为，，，，所以，
　　　　，故能被整除．
又因为，，，所以
　　　　，故能被整除．
　　　　因为与互质，所以能被整除．

【例 8】 在下表中填入自然数，要求第一行中所填入的自然数从左到右依次是，，，，第二行中填入的自然数从左到右依次是，，，，第三行中填入的自然数是同一列当中第一行、第二行两个数的和，那么第三行的自然数中除以余的最小的数排在第几列？

……

……

……

【分析】 第一行的数被除所得余数依次是，，，，，，，……，以为周期．
第二行的数被除所得的余数依次是，，，，，……，以为周期．
第三行的自然数如果除以余，那么对应第一行、第二行的自然数被除，只有0+1和6+2两种情况，其中第一种情况下，对应的列数能被和整除，所以在第列才能出现该情况，
第二种情况下，对应的列数被除余，，，被除余，符合条件的最小列数是．

“物不知数”

“物不知数问题”一般解题步骤：
①凑“多”相同，即把余数处理成相同 条件：余数与除数的和相同
②凑“缺”相同，即把余数处理成缺的数字相同 条件：除数与余数的差相同
③先考虑上面两种，如果都不行，可使用逐步满足法或使用“中国剩余定理” ．
④逐步满足法：先满足条件一，得，再用“已满足除数公倍数”来满足下一个条件．

《孙子算经》中有记载：“今有物不知其数：三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何？”它的意思就是，有一些物品，如果3个3个的数，最后剩2个；如果5个5个的数，最后剩3个；如果7个7个的数，最后剩2个；求这些物品一共有多少？这个问题人们通常把它叫作“孙子问题”， 西方数学家把它称为“中国剩余定理”．到现在，这个问题已成为世界数学史上闻名的问题．
到了明代，数学家程大位把这个问题的算法编成了四句歌诀：
三人同行七十稀，
五树梅花廿一枝；
七子团圆正半月，
除百零五便得知．
用现在的话来说就是：一个数用3除，除得的余数乘70；用5除，除得的余数乘21；用7除，除得的余数乘15．最后把这些乘积加起来再减去105的倍数，就知道这个数是多少．
《孙子算经》中这个问题的算法是：
；；
所以这些物品最少有23个．
得出问题中的系数、、，实际上是非常巧妙的构造过程,这三个数满足以下条件
是和的公倍数，且被除余；
是和的公倍数，且被除余；
是和的公倍数，且被除余．
在这样的条件下，任意一个系数乘以对应余数所得的积，被对应除数除后所得的余数恰好等于对应余　数，且该积仍然能被其他两个除数整除，因此三个积相加并不相互影响各自被对应除数除后所得的余数．
即是被除余，被除余，被除余的数．

【例 9】 一个大于10的数，除以3余1，除以5余2，除以11余7，问满足条件的最小自然数是多少？
【分析】 法一：仔细分析可以发现，所以这个数可以看成被3、5、11除余7，，所以这个数最小是．
法二：事实上，如果没有“大于10”这个条件，即可符合条件，在的基础上加上，，的最小公倍数，得到即为所求的数．

［铺垫］一个大于10的数，除以5余3，除以7余1，除以9余8，问满足条件的最小自然数为＿＿＿＿．
［分析］ 根据总结，我们发现三个数中两个数的除数与余数的和都是，这样我们可以把余数都处理成8，所以，所以这个数最小为．

［铺垫］一个小于200的数，它除以11余8，除以13余10，这个数是多少？
［分析］ 根据总结，我们发现这两个除数与余数的差都等于，观察发现这个数加上3后就能同时被11和13整除,所以，所以这个数是．

【例10】 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，问满足条件的最小自然数为＿＿＿＿．
【分析】 法一：根据总结，我们发现前面两种都不符合，所以可以使用普遍适用的“中国剩余定理”，步骤如下：
3、5的公倍数
3、7的公倍数
5、7的公倍数
15
21
35
30
42
70
45
63
105
60
84
140
……
……
……
分别找出除以7余4的3、5的公倍数，除以5余3的3、7的公倍数，除以3余2的5、7的公倍数，分别是：60、63、35
可见60+63+35=158满足我们的条件，但不是最小的自然数，处理方法就是减去最小公倍数的若干倍，使结果小于最小公倍数．所以答案为：158-105=53．
　　　　法二：逐步构造符合条件的最小自然数，首先求符合前两个条件的最小自然数，用不断加，当被加上两个时得到，检验符合前两个条件，再用和的最小公倍数不断加，当被加上个，得到，检验符合三个条件．
法三：逐步构造符合条件的最小自然数，首先求符合后面两个条件的最小自然数，用不断加，当被加上两个时得到，检验符合后两个条件，再用和的最小公倍数不断加，当被加上个，得到，检验符合三个条件．

【例11】 有连续的三个自然数、、，它们恰好分别是、、的倍数，求这三个自然数中最小的数至少是多少？
【分析】 法一：由是的倍数，得到被除余，由是的倍数，得到被除余，运用中国剩余定理求：(用逐步构造的方法也可以)
7和8的公倍数
7和9的公倍数
8和9的公倍数
56
63
72
112
126
144
168
189
216
224
252
288
280
315

378

441

……
……
……
符合各个余数条件，是满足各个余数条件的最小值，所以至少是．
法二：、、恰好分别是、、的倍数，那么、、也分别是、、的倍数，即是、、的倍数，的最小值是，即至少是．

【例12】 一个数除以3、5、7、11的余数分别是2、3、4、5，求符合条件的最小的数：

【分析】 将3、5、7、11这4个数3个3个分别计算公倍数，如表：
5、7、11公倍数
3、7、11公倍数
3、5、11公倍数
3、5、7公倍数
385
231
165
105
770
462
330
210
1155
693
495
315
……
……
……
……
除3余2的最小数是770
除5余3的最小值是693
除7余4的最小值是165

　　3、5、7公倍数中被11除余5的数不太好找，但注意到210除以11余1，所以210×5=1050　　　　被11除余5，由此可知770+693+165+1050=2678是符合条件的一个值，又3、57、11的最小公倍数是1155，所以2678-1155×2=368是符合条件的最小值．

［拓展］一个数除以2、3、5、7、11的余数分别是1、2、3、4、5，求符合条件的最小数．
［分析］ 本题实际上就是求被3、5、7、11除的余数分别是2、3、4、5的最小奇数，
　　符合条件的最小偶数是368，只要将368加上3×5×7×11就能求得符合条件的最小奇数，这个数是368+3×5×7×11=1523．

巩固精练

1． 有一个自然数，用它分别去除63，90，130都有余数，3个余数的和是25．这3个余数中最大的一个是多少？
【分析】 由于这三个数除以这个自然数后所得的余数和为25，所以63、90、130的和除以这个自然数后所得的余数为25，所以63+90+130-25=258能被这个自然数整除.258=2×3×43，显然当除数为2、3、6时，3个余数的和最大为3×(2-1)=3，3×(3-1)=6，3×(6-1)=15，所以均不能满足条件.
　　　　当除数为43×2、43×3、43×6时，它除63的余数均是63，所以也不满足.
　　　　那么除数只能是43，它除63，90，130的余数依次为20，4，1，余数的和为25，满足.
　　　　显然这3个余数中最大的为20．

2． 被除所得的余数是多少？
【分析】 被除所得的余数为，当取，，时被除所得余数分别是，，，，，，所以被除余．被除所得的余数是，当取，，，时，被除所得的余数分别是，，，，，，，，，，，，，所以被除所得的余数等于被除所得的余数，即，所以被除所得的余数是．

3． 一个自然数除以、、后分别余、、，而所得的三个商的和是，这个数是___________．
【分析】 这个数加上后能被、、整除．
、、的最小公倍数是，所以除以后分别余、、的数最小为．分别除以、、所得的商之和是，则分别除以、、所得的商之和是．，所以这个数为．

4． 一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合条件的最小的自然数．
【分析】 “除以5余3”即“加2后被5整除”，同样“除以6余4”即“加2后被6整除”．
，即28适合前两个条件．
　　 分析中能满足“除以7余1”的的值．
　　可得到是满足条件的最小值，所以，适合条件的最小的自然数是．

5． 将一些水果装盘（少于100）个，如果7个7个装盘则剩下2个不能装，如果11个11个装盘则剩下6个不能装盘，如果13个13个装盘，那么还剩下7个不能装盘，那么这些水果有多少个？
【分析】 11×13的倍数：143、286、429，……其中被7除余2的有429；
　　　　7×13的倍数：91，182，……除以11余6的有182；
　　　　7×11的倍数：77，154，……除以13余7的有462．
　　　　由于水果数少于100，所以水果数有个．

拒子入门

子发是战国时期楚国的一位将军．一次，他带兵与秦国作战，前线断了粮草，他派人向楚王告急．使者顺便去看望子发的老母．老人问使者：“兵士都好吗?”使者回答：“还有点儿豆子，只能一粒一粒分着吃．”“你们将军呢?”母亲问．使者回答道：“将军每餐都能吃到肉和米饭，身体很好．”
子发得胜归来，母亲紧闭大门不让他进家门，并派人去告诉子发：“你让士兵饿着肚子打仗，自己却有吃有喝，这样做将军，打了胜仗也不是你的功劳．”母亲又说：“越王勾践伐吴的时候，有人献给他一罐酒，越王让人把酒倒在江的上游，叫士兵们一起饮下游的水．虽然大家没尝到酒味，却鼓舞了全军的士气，提高了战斗力．现在你却只顾自己不顾士兵，你不是我的儿子，你不要进我的门．”
子发听了母亲的批评，向母亲认了错，决心改正，才得以进家门．
俗话说：“子不教，父之过．”子女成长的好坏，长辈有着极大的责任．父母为了使孩子成长成参天大树，就必须在我们心中植下博爱之心，有了博爱之心，才有施爱于他人的可能．多以有时候，责备也蕴涵着父母对子女深沉的爱．

选绿色包装
——减少垃圾灾难

每人每年丢掉的垃圾重量超过人体平均重量的五六倍．北京年产垃圾430万吨，日产垃圾1.2万吨，人均每天扔出垃圾约1千克相当于每年堆起两座景山．我国目前垃圾的产生量是1989年的4倍,其中很大一部分是过度包装造成的．不少商品特别是化妆品、保健品的包装费用已占到成本的30%—50%．过度包装不仅造成了巨大的浪费，也加重了消费者的经济负担，同时还增加了垃圾量，污染了环境．
我们选购产品的时候还是以使用价值为主，尽量避免选购过度包装的产品，减少垃圾的制造量．

选绿色包装
——减少垃圾灾难

每人每年丢掉的垃圾重量超过人体平均重量的五六倍．北京年产垃圾430万吨，日产垃圾1.2万吨，人均每天扔出垃圾约1千克，相当于每年堆起两座景山．我国目前垃圾的产生量是1989年的4倍,其中很大一部分是过度包装造成的．不少商品特别是化妆品、保健品的包装费用已占到成本的30%—50%．过度包装不仅造成了巨大的浪费，也加重了消费者的经济负担，同时还增加了垃圾量，污染了环境．
我们选购产品的时候还是以使用价值为主，尽量避免选购过度包装的产品，减少垃圾的制造量．

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