甘肃省天水一中2012-2013学年高二数学下学期第二学段段中考试试题-理.doc

天水一中2011级高二第二学期第二学段中期考试试题
数 学（理科）
一、 选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的）
1、在复平面内，复数对应的点位于（　 　）
A．第一象限 B． 第二象限 C．第三象限 D．第四象限

开始
n=5，k=0
n为偶数
n=1？
输出k
结束
k=k+1
是
否
是
否
2、设集合,，则等于（　 　）
A． B． C． D．
3、执行如图所示的程序框图，输出的值是
A．4 B．5 C．6 D．7
4、设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是（ 　）
A．
B．
C．
D．
5、已知向量，若，则等于 （ ）
A． B． C． D．
6、若，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
7、的二项展开式中，常数项是 （ ）
A．10 B．15 C．20 D．30
8、某小区有排成一排的个车位，现有辆不同型号的车需要停放，剩余的个车位连在一起的概率为
A． B． C． D．
9、已知，，，若，，，，成等比数列，则的值为
A． B． C． D．
10、函数y=sinxcosx+的图象的一个对称中心是 （ ）
A． B． C． D．
11、已知球的直径SC=4，A,B是该球球面上的两点，AB=，，则棱锥S-ABC的体积为
A． B． C． D．1
12、设、是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（O为坐标原点）且则的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、曲线与直线及轴所围成的图形的面积为 ．
14、已知，且，则的最小值为 。
15、函数的零点个数为 .
16、设，是两个非零向量
①若，则；②若，则
③若，则存在实数，使得；
④若存在实数，使得，则，以上为真命题的序号为 。
三、 解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17、（本小题满分13分）
在中，角，，所对应的边分别为，，，且．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，求的面积.
18、若图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，EC//PD，且PD=2EC。
（1）求证：BE//平面PDA；
（2）若，求平面PBE与平面ABCD所成的二面85
80
90
100
95
分数
75
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
角的大小。
19、某次有1000人参加的数学摸底考试，其成绩的频率分布直方图如图所示，规定85分及其以上为优秀.
（Ⅰ）下表是这次考试成绩的频数分布表，求正整数a, b的值；
区间
[75，80)
[80，85)
[85，90)
[90，95)
[95，100]
人数
50
a
350
300
b
（II）现在要用分层抽样的方法从这1000人中抽取40人的成绩进行分析，求其中成绩为优秀的学生人数；
（Ⅲ）在（II）中抽取的40名学生中，要随机选取2名学生参加座谈会，记“其中成绩为优秀的人数”为X，求X的分布列与数学期望.
20、已知椭圆经过点，离心率为，过点的直线与椭圆交于不同的两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求的取值范围．
21、已知函数.
（Ⅰ）若函数的图象在处的切线斜率为，求实数的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）若函数在上是减函数，求实数的取值范围.
请在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。
22．选修4—1：平面几何
如图，Δ是内接于⊙O，，
直线切⊙O于点，弦，与相交于点．
（1）求证：Δ≌Δ；
（2）若，求．
23．选修4—4：坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，已知点的直角坐标为，点的极坐标为，若直线过点，且倾斜角为，圆以为 圆心、为半径。
（1）求直线的参数方程和圆的极坐标方程；
（2）试判定直线和圆的位置关系。
24．选修4—5：不等式选讲
已知函数
（1）解关于的不等式；
（2）若函数的图象恒在函数图象的上方，求的取值范围。

答案
1——5 DBBDA 6——10 DCCCB 11——12 CA
13、 14、-6 15、2 16 ③
17、解：（Ⅰ）因为，由正弦定理，得
．
∴ ．
∵ , ∴，
∴ ． 又∵　 ， ∴ ．
（Ⅱ）由正弦定理，得，
由 可得，由，可得
，
∴．
18、证明：EC∥PD∴EC∥面PAD；同理BC∥面PAD；∴面BEC∥面PAD；∴BE∥面PAD
（1） 建立如图的空间直角坐标系，令EC=1，则PD=
D(0,0,0)；P(0,0,2)；B(,,0)；D(0,,1)；
面ABCD的法向量==（0，0，2）
令面PBE的法向量=（x，y，z），则；则=（1，1，）
∴cos=;∴=
19、解：（Ⅰ3 35）依题意，
. ……………4分
（Ⅱ）设其中成绩为优秀的学生人数为x，则，解得：x=30，
即其中成绩为优秀的学生人数为30名.
（Ⅲ）依题意，X的取值为0，1，2，
，，，
所以X的分布列为
X
0
1
2
P

，所以X的数学期望为.
20、（Ⅰ）解: 由离心率为，可设，则
因为经过点
所以，解得，所以
椭圆方程为
（Ⅱ）由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，
直线与椭圆的交点坐标为
由
消元整理得：
得
，…………………9分
10分

因为，所以
所以的取值范围是．…………………14分
21、解：（Ⅰ）
由已知，解得.
（II）函数的定义域为.
（1）当时, ，的单调递增区间为；
（2）当时.
当变化时，的变化情况如下：

-

+

极小值

由上表可知，函数的单调递减区间是；
单调递增区间是.
（II）由得，
由已知函数为上的单调减函数，
则在上恒成立，
即在上恒成立.
即在上恒成立.
令，在上，
所以在为减函数. , 所以.
22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
解:（Ⅰ）在ΔABE和ΔACD中，∵ ∠ABE=∠ACD
又，∠BAE=∠EDC ∵BD//MN ∴∠EDC=∠DCN
∵直线是圆的切线，∴∠DCN=∠CAD ∴∠BAE=∠CAD
∴ΔΔ（角、边、角）
（Ⅱ）∵∠EBC=∠BCM ∠BCM=∠BDC ∴∠EBC=∠BDC=∠BAC BC=CD=4
又 ∠BEC=∠BAC+∠ABE=∠EBC+∠ABE=∠ABC=∠ACB ∴ BC=BE=4
设AE=，易证 ΔABE∽ΔDEC
∴又
∴
23．【解析】（1）直线的参数方程是，为参数，圆的极坐标方程是。
（2）圆心的直角坐标是，直线的普通方程是，圆心到直线的距离，所以直线和圆相离。（10分）
24．【分析】（1）对进行分类讨论；（2）把问题转化为求函数的最值。
【解析】（1）不等式，即。
当时，不等式的解集是；
当时，不等式的解集为；
当时，即，即或者，即或者，解集为。 （5分）
（2）函数的图象恒在函数图象的上方，即对任意实数恒成立。即对任意实数恒成立。
由于，故只要。
所以的取值范围是。

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