实变函数综合练习题.doc

实变函数综合练习题
《实变函数》综合训练题（一）
（含解答）
一、选择题（单选题）
1、下列集合关系成立的是（ A ）
（A） （B）
（C） （D）
2、若是开集，则（ B ）
（A） （B）的内部 （C） （D）
3、设是康托集，则（ C ）
（A）是可数集 （B）是开集 （C） （D）
4、设是中的可测集，是上的简单函数，则（ D ）
（A）是上的连续函数 （B）是上的单调函数
（C）在上一定不可积 （D）是上的可测函数
5、设是中的可测集，为上的可测函数，若，则（ A ）
（A在上，不一定恒为零 （B）在上，
（C）在上， （D）在上，
二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案）
1、设是中的无理点全体，则（C、D）
（A）是可数集 （B）是闭集
（C）中的每一点都是聚点 （D）
2、若至少有一个内点，则（ B、D ）
（A）可以等于零 （B）
（C）可能是可数集 （D）是不可数集
3、设是可测集，则的特征函数是 （A、B、C ）
（A）上的简单函数 （B）上的可测函数
（C）上的连续函数 （D）上的连续函数
4、设在可测集上可积，则（ B、D ）
（A）和有且仅有一个在上可积
（B）和都在上可积
（C）在上不一定可积
（D）在上一定可积
5、设是的单调函数，则（ A、C、D）
（A）是的有界变差函数 （B）是的绝对连续函数
（C）在上几乎处处连续 （D）在上几乎处处可导
三、填空题（将正确的答案填在横线上）
1、设为全集，，为的两个子集，则 。
2、设，如果满足，则是 闭 集。
3、若开区间是直线上开集的一个构成区间，则满足、。
4、设是无限集，则的基数 （其中表示可数基数）。
5、设，为可测集，，则。
6、设是定义在可测集上的实函数，若对任意实数，都有
是 可测集 ，则称是可测集上的可测函数。
7、设是的内点，则。
8、设函数列为可测集上的可测函数列，且，则由黎斯定理可得，存在的子列，使得。
9、设是上的可测函数，则在上的积分不一定存在，且在上 不一定 可积。
10、若是上的绝对连续函数，则一定 是 上的有界变差函数。
四、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”）
1、可列（数）个闭集的并集仍为闭集。 （ × ）
2、任何无限集均含有一个可数子集。 （ √ ）
3、设是可测集，则一定存在型集，使得，且。（ √ ）
4、设是零测集，是上的实函数，则不一定是上的可测函数。（ × ）
5、设是可测集上的非负可测函数，则必在上可积。 （ × ）
五、简答题
1、简述无穷多个开集的交集是否必为开集？
答：不一定为开集。例如 取上一列开集为，
而是闭集，不是开集。
2、可测集上的可测函数与简单函数有何关系？
答：①简单函数是可测函数；
②可测函数不一定是简单函数；
③可测函数一定可以表示成一列简单函数的极限。
3、上的有界变差函数与单调函数有何关系？
答：①单调函数是有界变差函数；
②有界变差函数不一定是单调函数，但一定可以表示成单调函数的和或差。

六、计算题
1、设，其中是有理数集，求。
解： 因为，所以于，于是

2、求。
解： 因为
而
所以，由控制收敛定理

七、证明题
1、证明集合等式：
证明： （方法1）对任意，有且，即或且
所以 或，即。
反之，对任意，有或，即或且，所以且，即，
综上所述，。
（方法2）。
2、设是中的有理点全体，则是可测集且。
证明： 因为是可数集，则
对任意，取开区间，，显然它们把覆盖住。
于是 。让得，，从而是可测集且。
3、证明：上的实值连续函数必为上的可测函数。
证明：因为对于任意实数，由连续函数的局部保号性易知，是开集，从而是可测集。所以必为上的可测函数。
4、设是可测集上的可积函数，为的一列可测子集，，如果，则。
证明：因为且，所以
从而由题设
又在上的可积，且

所以由积分的绝对连续性得

即。
5、设是可测集上的可积函数，为中的一列递增可测子集，
。
证明：记
，其中
显然在上，，且

于是由勒贝格控制收敛定理即可的结论。

《实变函数》综合训练题（二）
（含解答）
一、选择题（单选题）
1、下列集合关系成立的是（ A ）
（A） （B）
（C） （D）
2、若是闭集，则（ B ）
（A）的内部 （B） （C） （D）
3、设是有理数集，则（ C ）
（A） （B）是闭集 （C） （D）是不可数集
4、设为上的连续函数，为任意实数，则（ D ）
（A）是开集 （B）是开集
（C）是闭集 （D）是开集
5、 设是中的可测集，，都是上的可测函数，若
，
则（ A ）
（A）于 （B）在上，
（C）在上， （D）在上，
二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案）
1、设是中的有理点全体，则（C、D）
（A）是闭集 （B）中的每一点都是内点
（C）是可数集 （D）
2、若的外测度为零，则（ B、D ）
（A）一定是可数集 （B）一定是可测集
（C）不一定是可数集 （D）
3、设，函数列为上几乎处处有限的可测函数列，为上几乎处处有限的可测函数，若，则下列哪些结论不一定成立（A、B、C、D）
（A）存在 （B）在上可积
（C） （D）
4、若在可测集上有积分值，则（A、C ）
A）和中至少有一个在上可积
（B）和都在上可积
（C）在上也有积分值
（D）在上一定可积
5、设是的绝对连续函数，则（ A、B、C ）
（A）是上的连续函数 （B）是上的一致连续函数
（C）是上的有界变差函数 （D）在上处处可导
三、填空题（将正确的答案填在横线上）
1、 设，是两个集合，则
2、设，如果满足，则是 开 集。
3、设为直线上的开集，若开区间满足和 ，则 必为的 构成 区间。
4、设是偶数集，则则的基数 （其中表示可数基数）。
5、设，为可数集，且，则。
6、设是可测集上的可测函数，则对任意实数，（），都有是 可测集 。
7、若是可数集，则。
8、设函数列为可测集上的可测函数列，是上的可测函数，如果，则 不一定成立 。
9、设是上的非负可测函数，则在上的积分的值 一定存在 。
10、若是上的有界变差函数，则必可表示成两个 递增函数的差（或递减函数的差） 。
四、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”）
1、可列（数）个开集的交集仍为开集。 （ × ）
2、任何无限集均都是可数集。 （ × ）
3设是可测集，则一定存在型集，使得，且。（ √ ）
4、设是可测集，则是上的可测函数对任意实数，都有是可测集。 （ √ ）
5、设是可测集上的可测函数，则一定存在。 （ × ）
五、简答题
1、简述无穷多个闭集的并集是否必为闭集？
答：不一定为闭集。例如 取上一列闭集为，
而是开集，不是闭集。
2、可测集上的可测函数与连续函数有何关系？
答：①连续函数是可测函数；
②可测函数不一定连续；
③可测函数在上是“基本上”连续的。
3、上的绝对连续函数与有界变差函数有何关系？
答：①绝对连续函数是有界变差函数；
②有界变差函数不一定是绝对连续函数。
六、计算题
1、设，其中是康托集，求。
解：因为，所以于，于是

再由积分与积分的关系得
。
2、设，，求。
解：因为，而
所以，由控制收敛定理

七、证明题
1、证明集合等式：
证明：（方法1）对任意，有且，即且，
所以 且，即。
反之，对任意，有且，即且，，所以且，即，
综上所述，。
（方法2）
。
2、设，且，则是可测集。
证明： 对任意，显然
又（因为），从而
所以（因为）
所以，即是可测集。
3、证明：上的单调函数必为上的可测函数。
证明：不妨设是单调递增函数，对于任意实数，记，由于是单调递增函数，，显然是可测集。所以必为上的可测函数。
4、设是可测集上的可测函数，则在上可积在上可积。
证明：必要性：因为在上可积，则和
而，所以
，
即在上可积。
充分性：因为，且，
则 ，。
所以在上可积。
5、设{}可测集上的非负可测函数列，且（）， 存在使得
，
记，则在上勒贝格可积，且
。
证明：不妨设，由题设注意到单调递减可得
，
且在上恒有
，
于是，由勒贝格控制收敛定理得，在上勒贝格可积，且
。
6、 设，为上几乎处处有界的可测函数列，证明：在上的充要条件是。
证明：先证。
事实上，由对任意，再结合依测度收敛的定义即可得上面的结论。
下面证明本题的结论。
必要性：因可得，于是，，当时，有

因此，当时，并注意到和可得

所以。
充分性：对任意，由

可得 ，从而。

《实变函数》综合训练题（三）
（含解答）
一、选择题（单选题）
1、下列集合关系成立的是（ A ）
（A） （B）
（C） （D）
2、若是孤立点集，则（ B ）
（A） （B） （C）的内部 （D）
3、设是上的无理数集，则（ C ）
（A）是可数集 （B）是开集 （C）是不可数集 （D）
4、设是上的单调函数，则（ D ）
（A）在上连续 （B）在中的不连续点有不可数个
（C）在上一定不可积 （D）是上的可测函数
5、设是中的可测集，为上的可测函数，若，则（ A ）
（A），在上几乎处处为零 （B）在上，
（C）在上， （D）
二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案）
1、设是上康托集，则（B、C）
（A）是可数集 （B）是闭集
（C）中的每一点都是聚点 （D）
2、若至少有一个聚点，则（C、D ）
（A） （B）
（C）可能是可数集 （D）可能是不可数集
3、设是不可测集，则的特征函数是 （C、D ）
（A）上的简单函数 （B）上的可测函数
（C）上的连续函数 （D）上的不可测函数
4、设在可测集上不可积，则（ B、D ）
（A）和都在上不可积
（B）和至少有一个在上不可积
（C）在上可能可积
（D）在上一定不可积
5、设是的有界变差函数，则（ A、D）
（A）在上几乎处处连续 （B）是的连续函数
（C）在上不可导 （D）在上几乎处处可导
三、填空题（将正确的答案填在横线上）
1、设为全集，，为的两个子集，则
2、设，如果满足，则是 完全 集。
3、若开区间和是直线上开集的两个不同的构成区间，则。
4、设是无限集，是至多可数集，则的基数 。
5、设，为可测集，，则。
6、设是定义在可测集上的有限实函数，若对任意实数，都有是可测集，则是可测集上的 可测函数 。
7、设是孤立点集，则。
8、设函数列为可测集上的可测函数列，且，则 不一定成立 。
9、设是上的可测函数，则在上的可积的充要条件是在上 勒贝格可积 。
10、若是上的有界变差函数或绝对连续函数，则上的导数
几乎处处存在 。

四、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”）
1、可列（数）个型集的并集仍为型集。 （ √ ）
2、无限集中一定存在具有最大基数的无限集。 （ × ）
3、设是可测集，则一定存在开集，使得，且。（ × ）
4、设和都是可测集，是和上的可测函数，则不一定是上的可测函数。 （ × ）
5、设是可测集上的可测函数，且存在（可为则和至少有在上可积。 （ √ ）
五、简答题
1、简述无穷多个零测集的并集是否必为零测集？
答：不一定为零测集。例如 ，显然为单元素集，为零测集，不是零测集。
2、上的可测集与Borel集的关系？
答：①Borel集是可测集；
②可测集不一定是Borel集；
③可测集一定可以表示成一个Borel集与零测集的差或并。
3、可测集上的可测函数与连续函数有何关系？
答：①可测集上的连续函数一定是可测函数；
②可测集上的可测函数不一定是连续函数；
③对上的一个可测函数，任取，在可测集中去掉一个测度小于的可测子集后，可使此可测函数成为连续函数。
六、计算题
1、设，其中是有理数集，求。
解： 因为，所以于，于是

2、设，，求。
解：因为，而
所以，由控制收敛定理

七、证明题
1、证明集合等式：
证明： （方法1）对任意，有且，即，且
所以 或，即。
反之，对任意，有且，即，且，所以且，即，
综上所述，。
（方法2）。
2、设是中的无理点全体，则是可测集且。
证明： 记是中的有理点全体，由于是可数集，从而可测，且。又，所以，是可测集且。
3、设，，证明：是上的可测函数的充要条件是为可测集。
证明：充分性：因为是上的可测函数，则对任意实数，
是可测集，特别取，注意到，可得为可测集。
必要性：若为可测集，则是上的简单函数，从而为上的可测函数。
4、设为可测集上的可测函数列，若，则在上
。
证明：对任意，由于

所以
，
即在上。
5、设，若是上一列几乎处处收敛于零的可积函数，且满足对任意，存在，只要，就有，证明：
。
证明：由题设及Egoroff定理得，对题设中的，存在可测集，，在上一致收敛于，从而对题设中的，存在，当时

于是，当时，并注意到题设的条件，有
。
即 。

《实变函数》综合训练题（四）
（含解答）
一、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案）

1、设是中的有理点全体，则（C、D）[考核对典型集合掌握的情况]
（A）是闭集 （B）中的每一点都是内点
（C）是可数集 （D）
2、设是中的无理点全体，则（C、D）
（A）是可数集 （B）是闭集 （C）中的每一点都是聚点 （D）
3、若的外测度为零，则（ B、D ）[考核零测集的特点]
（A）一定是可数集 （B）一定是可测集
（C）不一定是可数集 （D）
4、若至少有一个内点，则（ B、D ）[考核典型集的外测度可数性的特点]
（A）可以等于零 （B） C）可能是可数集 （D）是不可数集
5、设，函数列为上几乎处处有限的可测函数列，为上几乎处处有限的可测函数，若，则下列哪些结论不一定成立（A、B、C、D）
[考核可测函数与勒贝格积分的简单综合]
（A）存在 （B）在上可积
（C） （D）
6、设是可测集，则的特征函数是 （A、B、C ）[考核特征函数的特点]
（A）上的简单函数（B）上的可测函数 （C）上的连续函数（D）上的连续函数
7、若在可测集上有积分值，则（A、C ）[考核勒贝格积分的定义]
（A）和中至少有一个在上可积 （B）和都在上可积
（C）在上也有积分值 （D）在上一定可积
8、设在可测集上可积，则（ B、D ）[考核勒贝格积分的定义]
（A）和有且仅有一个在上可积 （B）和都在上可积
（C）在上不一定可积 （D）在上一定可积
9、设是的绝对连续函数，则（ A、B、C ）[考核绝对连续函数、有界变差函数的基本性质]
（A）是上的连续函数 （B）是上的一致连续函数
（C）是上的有界变差函数 （D）在上处处可导
10、设是的单调函数，则（ A、C、D）[考核绝对连续函数、有界变差函数的基本性质]
（A）是的有界变差函数 （B）是的绝对连续函数
（C）在上几乎处处连续 （D）在上几乎处处可导
二、单项选择题　（每题仅有一个正确答案）
1．设是中的无理点全体，则是（　Ｃ　　）.[考核对典型集合掌握的情况]
（Ａ）可数集 　（Ｂ）有限集 　（Ｃ）不可数集 （Ｄ）零测集　
2．下面集合关系成立的是（　Ａ　）. [考核对集合的基本运算掌握的情况]
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
3．若至少有一个内点，则有（Ｂ　）. [考核对典型集合外测度掌握的情况]
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ）（Ｄ）
4．设是开集，则（ Ｂ　）.[考核开集闭集的基本特征]
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
5．设是可测集，则的特征函数是上的（Ａ）. [考核对集合的特征函数的认识]
（Ａ）简单函数 （Ｂ）常函数 （Ｃ）连续函数（Ｄ）单调函数
6．设是有理数集，,则是上的（Ｃ）.[考核目标同上题]
（Ａ）连续函数（Ｂ）单调函数（Ｃ）简单函数（Ｄ）定积分存在的函数
7．设在可测集上勒贝格可积，则（Ｂ）. [考核勒贝格积分的定义]
（Ａ）和有且仅有一个在上勒贝格可积；（Ｂ）和都在上勒贝格可积
（Ｃ）和都在上不勒贝格可积；（Ｄ）在上不勒贝格可积
8．设是上的无理数集，表示连续基数，则（Ｄ）. [考核对典型集合基数和测度掌握的情况]
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
9．设是上的单调函数，则是上的（Ｄ）. [考核基本的有界变差函数和绝对连续函数]
（Ａ）连续函数 （Ｂ）绝对连续函数 （Ｃ）可导函数 （Ｄ）有界变差函数
10．设在上绝对连续，则在上（Ａ）.[考核绝对连续函数的关系的基本性质]
（Ａ）有界变差 （Ｂ）可导 （Ｃ）单调 （Ｄ）连续可微

三、填空题　
1．设，为的两个子集，则　等于 ．[考核集合之间的基本关系]
2．设，为两个集合，则　 等于　　 ．[考核目标同上]
3．设，如果满足，则是 闭 　 集．[考核开集、闭集的定义]
4．设，如果中的每一点都是内点，则是 开 集．[考核开集、闭集的定义]
5．若开区间是直线上开集的一个构成区间，则满足且 ．[考核开集的构成区间的定义和特点]
6．设是上的开集,若开区间满足且,则称是开集的
构成 区间．[考核开集的构成区间的定义和特点]
7．设是无限集，则的基数 大于或等于 （其中表示可数基数）．[考核可数集的性质]
8．设是偶数集，则的基数 等于 （其中表示可数基数）．[考核可数集的性质]
9．设，为可测集，，则 大于或等于 ．[考核测度的性质，单调性和次可加性]
10．设，为可测集，则 小于或等于 ．[考核测度的性质，次可加性]
11．设是定义在可测集上的实函数，若对任意实数，都有是 可测集 ，则称是可测集上的可测函数. [考核可测函数的定义]
12．设是可测集上的可测函数，则对任意实数，()，有是
可测 集. [考核可测函数的基本性质]
13．设是可数集，则　 等于 .[考核典型集合的测度和外测度]
14．设是康托集，则　 等于 .[考核典型集合的测度和外测度]
15．设函数列为可测集上的可测函数列，且在上依测度收敛于，则存在的子列，使得在上 几乎处处收敛于 . [考核函数列收敛与依测度收敛的关系的记忆，本题是其中的黎斯定理]
16．设,是上的可测函数列，是上的实函数,若在上几乎处处收敛于，则在上 依测度 收敛于.[考核函数列收敛与依测度收敛的关系的记忆，本题是其中的勒贝格定理]
17．设在上黎曼可积，则在上勒贝格可积，且它们的积分值 相等 ．[考核黎曼积分与勒贝格积分的关系]
18．设,都在上勒贝格可积，且几乎处处相等,则它们在上勒贝格积分
值　 相等 ．[考核勒贝格积分的基本性质]
19．若是上的绝对连续函数，则 是 上的有界变差函数．[考核有界变差函数和绝对连续函数的关系]
20．若是上的有界变差函数，则可以表示成两个单调函数的 和或差 ．[考核有界变差函数和单调函数的关系，即约当分解定理]

四、判断说明题（注意这类题不仅要求判断对还是不对，而且还要简单的说明理由）
1．无限个闭集的并集仍为闭集．[考核开集、闭集的性质]
答：不对，因为闭集只对有限的并集运算封闭。

2．无限个开集的交集仍为开集．[考核开集、闭集的性质]
答：不对，因为开集只对有限的交集运算封闭。

3．无限集均含有一个可数子集．[考核可数集的性质]
答：对，因为这是可数集与无限集的关系。

4．无限集都是可数集．[考核无限集的分类]
答：不对，因为无限集还包括不可数集。
5．设是可测集，则一定存在型集，使得，且．[考核可测集与型集或型集的关系]
答：对，因为这是可测集与型集的关系。
6．设是可测集，则一定存在型集，使得，且．[考核可测集与型集或型集的关系]
答：对，因为这是可数集与型集的关系。
7．设是测度为零的集，是上的实函数，则不一定是上的可测函数．[考核可测函数的基本性质]
答：不对，因为零测集上的任何实函数都是可测函数。
8．设是可测集，是上几乎处处为零的实函数，则在上可测．[考核可测函数的基本性质]
答：对，因为常函数0是可测函数，由可测函数的性质可得在上可测。
9．设是可测集上的非负可测函数，则必在上勒贝格可积．[考核勒贝格积分的定义]
答：不对，因为可测集上的非负可测函数只能保证有勒贝格积分，不一定能保证勒贝格可积。
10．设是可测集上的可测函数，则一定存在．[考核勒贝格积分的定义]
答：不对，因为可测集上的可测函数，不一定能定义勒贝格积分，因此不一定能保证存在。
五、简答题（此类题关键是要把要点答出来）
1．简述无穷多个开集的交集是否必为开集？[考核开集闭集的运算性质]
要点：首先，回答结论：不一定为开集
其次，举出交集为开集的例子和交集不是开集的例子。
2．简述无穷多个闭集的并集是否必为闭集？[考核开集、闭集的运算性质]
要点：首先，回答结论：不一定为闭集
其次，举出并集为闭集的例子和并集不是闭集的例子。
3．可测集上的可测函数与简单函数有何关系？[考核可测函数与简单函数的关系]
要点：1、简单函数是可测函数；2、可测函数不一定是简单函数；3、可测函数一定可表示成一列简单函数的极限。
4．可测集上的可测函数与连续函数有何关系？[考核可测函数与简单函数的关系]
要点：1、连续函数是可测函数；2、可测函数不一定是连续函数；3对任意，在中去掉一个测度小于的可测集后，可测函数能成为连续函数（鲁津定理）。
5．上的有界变差函数与单调函数有何关系？[考核单调函数与有界变差函数的关系]
要点：1、单调函数是有界变差函数；2、有界变差函数不一定是单调函数；3、有界变差函数能分解成两个单调函数的和或差。
6．上的绝对连续函数与有界变差函数有何关系？[考核有界变差函数与绝对连续函数的关系]
要点：1、绝对连续函数是有界变差函数；2、有界变差函数不一定是绝对连续函数。
六、计算题（注意这类题要写出主要步骤）
1．设，其中是有理数集，求．[考核简单的勒贝格积分的计算]
解：因是至多可数集，，得在上几乎处处成立。
所以由勒贝格积分的惟一性，。
2．设，其中是康托集，求．[考核简单的勒贝格积分的计算]
解：由康托集为零测集，即，得在上几乎处处成立。所以
。
注意：上面两题是简单积分的计算，注意利用积分的惟一性。
3．求．[考核勒贝格控制收敛定理的简单应用]
解：因为，且

而在勒贝格可积，所以，由勒贝格控制收敛定理
。
4．设,,求．[考核勒贝格控制收敛定理的简单应用]
解：因为，且

而显然在 勒贝格可积，所以，由勒贝格控制收敛定理
。
注意：上面的两题在计算时，要注意验证勒贝格控制收敛定理的条件。

七、证明题
1．证明：．
证明：（方法1）

（方法2）直接用集合相等的定义证明。
2．证明：．
证明：（方法1）

（方法2）直接用集合相等的定义证明。
3．设是中的有理点全体，则是可测集且．
提示：用外测度的定义证明
证明： 因为是可数集，则
对任意，取开区间，，显然它们把覆盖住。
于是 。让得，，从而是可测集且。
4．设，且，则是可测集．
提示：用可测集的定义证明。
证明： 对任意，显然

又（因为），从而

所以
（因为）
所以
，
即是可测集。
5．证明：上的实值连续函数必为上的可测函数．
证明：因为对于任意实数，由连续函数的局部保号性易知，是开集，从而是可测集。所以必为上的可测函数。
6．证明：上的单调函数必为上的可测函数．
证明：不妨设是单调递增函数，对于任意实数，记，由于是单调递增函数，，显然是可测集。所以必为上的可测函数。
7．设是可测集上的勒贝格可积函数，为的一列可测子集，，如果，则．
证明：因为且，所以
从而由题设
又在上的可积，且

所以由积分的绝对连续性得

即。
8．设是可测集上的可测函数，则在上勒贝格可积在上勒贝格可积．
证明：必要性：因为在上可积，则和
而，所以
，
即在上可积。
充分性：因为，且，
则 ，。
所以在上可积。
9．设是可测集上的勒贝格可积函数，为中的一列递增可测子集，证明:
．
证明：记
，其中
显然在上，，且

于是由勒贝格控制收敛定理即可的结论．
10．设是可测集，且，若是上一列几乎处处收敛于零的可积函数，且满足对任意，存在，只要，就有，证明：
．
证明：由题设及叶果洛夫定理得，对题设中的，存在可测集，，
使得, 在上一致收敛于，
从而对题设中的，存在，当时

于是，当时，并注意到题设的条件，有

即 .

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