1、
平面向量的数量积及应用
自测
1 已知向量与的夹角为，且||=1，||=1 ，||=（）
A B C D
2 已知菱形ABCD的边长是a，=.则=( )
A B C D
3 已知单位向量 ,的夹角为α，且cosα=,若向量，则
||=
4 已知||=5，||=4 ，与的夹角为，则在方向上的投影为
题型一 平面数量积的运算
例 1. 设四边形ABCD是平行四边形，||=6，||=4 ,若点M,N满足
,,则=( )
A 20 B 15
2、C 9 D 6
2.已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为
的最大值为
跟踪训练 1 在平行四边形ABCD中，已知AB=8. AD=5，,,
2. 已知正方形ABCD中 AB=2 ，E为CD的中点 ，
3. 在等腰梯形ABCD中， ，M是BC的中点，则
A B C D
题型二 用数量积求模及夹角
例2 1.已知向量与均为单位向量，它们的夹角为，则|+|=（）
A 1 B C
3、 D 2
2. 在直角坐标系中，O为坐标原点， A B C ，动点D满足
||=1，则||的最大值是
例3 1. 若非零向量与满足||=||，且（+），则向量与的
夹角是（ ） A B C D
2. 若向量 ，，，已知与的夹角为钝角，
则k的取值范围是
跟踪训练 1 已知单位向量 ,的夹角为α，则cosα=，向量，
的夹角为，则cos=
2. 在,若=，，则||的最大值是（）
A B 2 C D 6
3 已知 ,是单位向量
4、且=，若平面向量满足
，则||=
4 已知菱形ABCD的边长为2，,点E，F分别是BC，DC上，
BC=3BE,DC=DF,若,则的值为
题型三 平面向量与三角函数
例 在平面直角坐标系中，已知，
（1）若，求tanx的值。
（2）若与的夹角为，求x的值。
跟踪训练
1.已知O为坐标原点，向量，
且,则的值为（）
综合问题
例 设O为坐标原点，C为圆的圆心，且圆上有一点M（x，y），
满足，则=
已知，||=,||=t , 若点p是
5、的所在平面内一点，
且 ,则的最大值是
随堂练习
1. 平面向量 ，如果，则||=（）
A B C 3 D
2.已知向量 ，，，已知,则向量与的
夹角的余弦值是（ ）A B C - D -
3. 已知向量与，满足，||=2，||=3，且，
则实数的值为 （ ）A B C D 1
4. 过点A（3,1）的直线l与圆C：相切于点B，则=
5. 已知向量，
①若，求角；②||=，求的值。
6.已知向量与，满足，||=1，||=2，则向量与的
夹角为
6、
7. 已知向量与，满足||=2，||=1，且对一切实数x,,则
向量与的夹角大小是
8. 已知的外心P满足,则cosA=
9. 已知单位向量与，满足，且，
则的取值范围（） A B
10. 已知向量，，函数
的图像与直线的相邻两个交点之间的距离为
（1）求函数[]上的单调递增区间；
（2）将函数的图像向右平移个单位，得到的图像，若
在[0.b](b>0)上至少含有6个零点，求b的最小值。
11已知平面直角坐标系中，A（-4,0）C（4,0），AB=7，BC=9 ，点P 满足
，求的取值范围。
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