高三数学第一轮复习章节测试1-2-北师大版.doc

第1章 第2节
一、选择题
1．(2010·广东理)“m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的(　　)
A．充分非必要条件 B．充分必要条件
C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件
[答案]　A
[解析]　一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解，则Δ＝1－4m≥0，∴m≤，故“m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0”有实数解的充分不必要条件．
2．(2009·重庆文)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是(　　)
A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
[答案]　B
[解析]　考查命题与它的逆命题之间的关系．
原命题与它的逆命题的条件与结论互换，故选B.
3．(2011·临沂模拟)“sinα＝”是“cos2α＝”的(　　)
A．充分而不必要条件　　 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案]　A
[解析]　本题主要考查充要条件和三角公式．
∵cos2α＝1－2sin2α＝，∴sinα＝±，
∴sinα＝⇒cos2α＝，但cos2α＝ ⇒ sinα＝，
∴“sinα＝”是“cos2α＝”的充分而不必要条件．
4．(2011·安庆模拟)对于非零向量a、b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案]　A
[解析]　考查平面向量平行的条件．
∵a＋b＝0，∴a＝－b.∴a∥b.
反之，a＝3b时也有a∥b，但a＋b≠0.故选A.
5．有下列四个命题：
①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②“相似三角形的周长相等”的否命题；
③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；
④“若A∪B＝B，则A⊇B”的逆否命题．
其中真命题是(　　)
A．①② B．②③
C．①③ D．③④
[答案]　C
[解析]　写出相应命题并判定真假．①“若x，y互为倒数，则xy＝1”为真命题；②“不相似三角形的周长不相等”为假命题；③“若方程x2－2bx＋b2＋b＝0没有实根，则b>－1”为真命题；④“若A⊉B，则A∪B≠B”为假命题．
6．命题“若a>0，则a2>0”的否命题是(　　)
A．若a2>0，则a>0 B．若a<0，则a2<0
C．若a≤0，则a2≤0 D．若a≤0，则a2≥0
[答案]　C
[解析]　否命题是将原命题的条件与结论分别否定，作为条件和结论得到的，即“若a≤0，则a2≤0”．
7．命题甲：x21－x、2x2成等比数列；命题乙：lgx、lg(x＋1)、lg(x＋3)成等差数列，则甲是乙的(　　)
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
[答案]　B
[解析]　甲：x·2x2＝(21－x)2，∴x＝1或－2
乙：lgx＋lg(x＋3)＝2lg(x＋1)，∴x＝1，
∴甲⇒ 乙，而乙⇒甲．
8．(2010·山东文)设{an} 是首项大于零的等比数列，则“a1答案]　C
[解析]　本题考查了等比数列性质及充要条件的判定，∵a1>0，已知，a2>a1⇒q>1⇒{an}递增，在a1>0的条件下{an}递增⇒q >1⇒a2>a1，故选C.
二、填空题
9．有下列判断：①命题“若q则p”与命题“若綈p则綈q”互为逆否命题；②“am20，∴可以推出a③命题“平行四边形的对角相等”的否命题是“若一个四边形不是平行四边形，则它的对角不相等”是假命题．
④∅⊆{1,2}是真命题，∅∈{1,2}是假命题，故正确．
10．“若a∉M或a∉P，则a∉M∩P”的逆否命题是________．
[答案]　若a∈M∩P，则a∈M且a∈P
[解析]　命题“若p则q”的逆否命题是“若綈q则綈p”，本题中“a∉M或a∉P”的否定是“a∈M且a∈P”．
11．已知命题p：|2x－3|>1，命题q：lg(x－2)<0，则命题p是命题q的________条件．
[答案]　必要不充分
[解析]　p：x>2或x<1，q：2
三、解答题
12．给出下列命题：
(1)p：x－2＝0，q：(x－2)(x－3)＝0.
(2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等．
(3)p：m<－2；q：方程x2－x－m＝0无实根．
(4)p：一个四边形是矩形；q：四边形的对角线相等．
试分别指出p是q的什么条件．
[解析]　(1)∵x－2＝0⇒(x－2)(x－3) ＝0；
而(x－2)(x－3)＝0⇒/ x－2＝0.
∴p是q的充分不必要条件．
(2)∵两个三角形相似⇒/ 两个三角形全等；
但两个三角形全等⇒两个三角形相似．
∴p是q的必要不充分条件．
(3)∵m<－2⇒方程x2－x－m＝0无实根；
方程x2－x－m＝0无实根⇒/ m<－2.
∴p是q的充分不必要条件．
(4)∵矩形的对角线相等，∴p⇒q；
而对角线相等的四边形不一定是矩形．∴q⇒/ p.
∴p是q的充分不必要条件．
13．已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若¬p是¬q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
[解析]　∵“¬p是¬q必要不充分条件”的等价命题是：p是q的充分不必要条件．
设p：A＝{x|－2≤x≤10}，q：B＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}．
∵p是q的充分不必要条件，∴AB.

∴(两个等号不能同时取到)，
∴m≥9.
14．在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝2x相交于A、B两点．
(1)求证：“如果直线l过点(3,0)，那么·＝3”是真命题．
(2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．
[解析]　(1)设l：x＝ty＋3，代入抛物线y2＝2x，
消去x得y2－2ty－6＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴y1＋y2＝2t，y1·y2＝－6，
·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋3)(ty2＋3)＋y1y2
＝t2y1y2＋3t(y1＋y2)＋9＋y1y2
＝－6t2＋3t·2t＋9－6＝3.
∴·＝3，故为真命题．
(2)(1)中命题的逆命题是：“若·＝3，则直线l过点(3,0)”它是假命题．
设l：x＝ty＋b，代入抛物线y2＝2x，
消去x得y2－2ty－2b＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2t，y1·y2＝－2b.
∵·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2
＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2＝－2bt2＋bt·2t＋b2－2b＝b2－2b，
令b2－2b＝3，得b＝3或b＝－1，
此时直线l过点(3,0)或(－1,0)．故逆命题为假命题．
15．已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)，求数列{an}成等比数列的充要条件．
[分析]　由充要条件的定义可先由Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)⇒{an}是等比数列即为充分性；再由{an}是等比数列⇒Sn＝pn＋q即为必要性．
[解析]　先求充分条件．
当p≠0，p≠1且q＝－1时，Sn＝pn－1.
∴S1＝p－1，即a1＝p－1，又an＝Sn－Sn－1，
∴an＝(p－1)·pn－1，∴＝p(n≥2)．
∴{an}是等比数列．
∴{an}成等比数列的充分条件为p≠0，p≠1且q＝－1.
再求必要条件．
当n＝1时，a1＝S1＝p＋q；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(p－1)pn－1.
由于p≠0，p≠1，∴当n≥2时，{an}是等比数列．
要使{an}(n∈N*)是等比数列，则＝p.
即＝p，∴q＝－1，
即{an}是等比数列的必要条件是p≠0且p≠1且q＝－1.
[点评]　①探求充分条件，往往是先从已知条件得出某个结论，然后再证明这个结论是命题成立的充分条件．
②有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，由结论⇒条件是证明题的必要性，由条件⇒结论是证明命题的充分性，证明要分两个环节：一是充分性；二是必要性．

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用心 爱心 专心