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促进学生有效地建构知识
——《一个数除以分数》教学反思
[教学案例]
一个数除以分数是小学数学计算教学的一个难点。我曾经统计过，一个班45人中有10人对这类题目不知所措，有30人能尝试计算却不知其所以然。主要原因是学生不能很好地理解“一个数除以分数”的计算法则：一个数除以分数，等于这个数乘分数的倒数。因此，如何帮助学生有效地建构知识，便成了教学的灵魂。
下面是我后来在另一个班课堂教学的一个片段。
师：根据下面的线段图编一道分数乘法应用题，并用你喜欢的方法计算。

汽车1小时行45千米

？千米

生1：一辆汽车1小时行驶45千米，小时行驶多少千米？45÷5×2＝18（千米）。
先求出一份是9千米，再计算2份是多少。
生2：我是这样想的，因为图中把1小时行驶的路程平均分为5份，先求出 小时行多少千米，再计算 小时行驶多少千米。45× ×2＝18（千米）。
生3：根据“一个数乘分数的意义，我直接计算：45× ＝18（千米）。
生4：我根据＝，分母扩大9倍，分子也要扩大9倍，分数值才不变，知道（ ）＝2×9＝18。
师：非常好！同学们能根据自己看问题的角度解决问题。你会把它改变成一道分数除法应用题吗？
生5：一辆汽车 小时行驶18千米，1小时行驶多少千米？列式；18÷ 。
由于学生有上题作引路，所以会想到答案是45千米。但是关键是计算的探索过程，于是组织小组讨论。
学生经过互动之后，各小组代表纷纷发表见解：1组说，我们画出线段图，根据线段图先算出这辆汽车小时行驶多少千米，再求1小时行多少千米，18÷2×5＝45（千米）。 1小时行？千米

小时
行18千米

小时
行？千米

2组：18÷
＝18÷0.4
＝45（千米）
3组：从线段图我们发现，1小时行的路程是小时行的路程的倍， 所以是
18÷＝18×＝45（千米）。
4组：我们直接根据计算法则计算，18÷＝18×＝45（千米）。
5组：根据“分数除以整数，等于分数乘这个整数的倒数”的结论，我们猜测，整数除以分数也可以用“整数乘分数的倒数”，所以18÷＝18×＝45（千米）。
师：同学们能用多种方法分析问题，老师非常佩服。但是，猜测正确吗？哪种方法更具有普遍性呢？自己再去看看书本，也可以相互讨论。
通过交流，学生一致认为18÷＝18×＝45具有普遍性。因为当除数不能化成有限小数时，2组的方法就不行啦，而其他的方法有的同学不一定能理解。
师：“为什么一个数除以分数，等于这个数乘分数的倒数呢？”（引导学生向更深的层次思考）。
学生通过观察、比较、推理和论证，终于发现了这个事实：方法虽然是多种多样的，但是都可以转化成“乘分数的倒数”来计算，从而明白了为什么书上都把除数转化为乘它的倒数的道理了。

[教学反思]
这堂课学生对“一个数除以分数”的计算法则理解得相当透彻，而且能创造性地解决一些数学问题。事后我进行抽查，计算正确率达94%，而且不少学生都能反思自己的计算过程，找到有效生成知识的方法。
我认为，教学成功的关键，在于促进了学生有效地建构知识。现提出以下两点与大家交流：
1. 教学要引导学生以自己的思维方式解决问题。
皮亚杰认为，儿童是以特定的方式建构着对世界的认识。因此，教师只有了解学
生的思维，才能对他们有所帮助。在了解不多的情况下，应该创设适宜的情境，吸引学生自主学习。这节课我改变了传统的复习方法，提供一个情景，要求学生自己提出问题，并用自己的数学策略解决问题，同时，把这些方法从分数乘法类推到分数除法。例如，有一个学生是这样推算结果的：要计算18÷＝？，只要算出（ ）×＝18就行了，但是，（ ）到底怎样求呢？一时无从下手。我问他：“怎样计算分数乘法才会简单一些？”“能约分的应该先……”“哦，我知道了！因为9×2＝18，45和5约分后就是9。”学生迫不及待地说出了思路。看着他那兴奋的神情，我被感动了。我又问他：“既然你能用乘法想除法，那么能否再利用一下转化的方法呢？”学生急速思考。根据分数与除法的关系，算式显然可以转化为（ ）×2÷5＝18，那么下面的计算当然就水到渠成了：（ ）＝18×5÷2＝45。整个过程，教师没有帮助学生，只是提供一些简单的问话，却调动了学生有效地建构着自己的知识。之前，为了帮助学生体会“乘分数的倒数”这一意图，我尝试把学生的思维引进这个框架，但都失败了。曾经有一学生出现创意的解法：18÷＝（18×5）÷（×5）＝90÷2＝45。我说，如果这样计算的话，得数也是45呀：18×＝45。学生看着我，不明白我为什么这样做。因此，我认为：教师在改革课堂教学的同时，应该也有自己的课程意识，在充分理解教材的基础上，更应该调整自己的教学方法，使其更加适合孩子们的思维，帮助他们获得连贯而有用的知识结构。
2. 教学要为学生理解知识提供交流的平台。
维果茨基认为，人类的学习是内化的过程。有效的学习需要下列条件：学习者同他人共同面对能够理解的任务，并以合作的形式有效地参与其中，但任务本身却不能由学习者独立完成。在上面的教学中，虽然学生能够以自己的方法算出得数，但由于不少学生对“乘分数的倒数”没有体验，所以是很难发现计算法则的。怎么办呢？引导已经失败，解释也是徒劳，还是交给学生自主解决吧。于是我说：“有部分同学已经使用法则解决问题了，但是为什么一个数除以分数，等于这个数乘分数的倒数呢？你们能够利用这道题目说明一下吗？”由于进行的是小组学习，不仅组员出谋划策，而且组间亦充分沟通。经过一番努力，各种解法终于成功转化：18÷＝18÷2×5＝18××5＝18×；（ ）＝18×5÷2＝18×5×＝18×；18÷＝（18×5）÷（×5）＝18×5÷2＝18×。这样，一个数除以分数的计算法则就清楚地凸显在学生的面前了。
关于分数的问题，无论是计算还是应用题，学生普遍感到是困难的。原因之一是教师没有向学生提供足够的模拟经验，因此，要求学生用符号或结论来表征数学就显得困难重重了。唯一的做法就是，将学习任务置于有意义的环境中，引导学生合作解决问题。上述教学中，如果没有教师创设的探究氛围，很多学生是不能理解“一个数除以分数”的计算法则的。同样，如果缺乏交流，学生就不能使用多种方式表征数学，从而达到对知识的深层理解。