第十三章机械振动作业答案(1).doc

第十三章 机械振动

一. 选择题:

[ C ] 1. （基础训练4） 一质点作简谐振动，周期为T．当它由平衡位置向x轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为
(A) T /12． (B) T /8． (C) T /6． (D) T /4．

【提示】如图，在旋转矢量图上，从二分之一最大位移处到最大位移处矢量转过的角位移为，即，所以对应的时间为
.
x
t
O
A/2
-A
x1
x2

[ B ] 2. 基础训练8） 图中所画的是两个简谐振动的振动曲线．若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为
(A) ． (B) ．
·
(C) ． (D) 0．
【提示】如图，用旋转矢量进行合成，可得合振动的振幅为,初相位为.

[ B ]3、（自测提高2）两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同．第一个质点的振动方程为x1 = Acos(wt + a)．当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大正位移处．则第二个质点的振动方程为
(A) ． (B) ．
x
O
A2
A1
(C) ．
(D) ．
【提示】由旋转矢量图可见，x2的相位比x1落后π/2。

[ B ] 4、（自测提高3）轻弹簧上端固定，下系一质量为m1的物体，稳定后在m1下边又系一质量为m2的物体，于是弹簧又伸长了Dx．若将m2移去，并令其振动，则振动周期为
(A) ． (B) ．
(C) ． (D) ．
【提示】对轻弹簧和m1构成的弹簧振子，其周期表达式：；
因为加载另一质量为m2的物体后弹簧再伸长Dx，显然，由此得；
代入周期公式，即可求出周期T.

图13-24

　　[ C ] 5、（自测提高6）如图13-24所示，在一竖直悬挂的弹簧下系一质量为m的物体，再用此弹簧改系一质量为4m的物体，最后将此弹簧截断为两个等长的弹簧并联后悬挂质量为m的物体，则这三个系统的周期值之比为
(A) 1∶2∶． (B) 1∶∶2 ．
(C) 1∶2∶． (D) 1∶2∶1/4 ．
【提示】从左到右三个弹簧振子分别记为1，2和3；
第一个：； 第二个：
第三个：将一根弹簧一分为二，每节的弹性系数变成2k，然后并联，总的弹性系数为4k，所以； 得：.
[ D ]6、（自测提高7）一物体作简谐振动，振动方程为．则该物体在t = 0时刻的动能与t = T/8（T为振动周期）时刻的动能之比为：
(A) 1:4． (B) 1:2． (C) 1:1． (D) 2:1． (E) 4:1．
【提示】在t=0时，，势能，动能；
t=T/8，，势能，所以动能为
.

二 填空题
1、（基础训练12）一系统作简谐振动, 周期为T，以余弦函数表达振动时，初相为零．在0≤t≤范围内，系统在t =T/8时刻动能和势能相等．
【提示】初相为零，所以在0≤t≤范围内，；依题意，动能和势能相等，为总能量的一半，即，，所以，.

2、（基础训练15）一物块悬挂在弹簧下方作简谐振动,当这物块的位移等于振幅的一半时,其动能是总能量的3/4（设平衡位置处势能为零）．当这物块在平衡位置时，弹簧的长度比原长长Dl，这一振动系统的周期为．
【提示】当物体偏离平衡位置为振幅的一半时，，，
；
当物体在平衡位置时，合力为零： ，，.

3、（基础训练16）两个同方向同频率的简谐振动，其振动表达式分别为：
(SI) ， (SI)
它们的合振动的振辐为，初相为

A
A2
A1
【提示】用旋转矢量图求解。由图可见：

或用公式计算：

4、（自测提高8）在静止的升降机中，长度为l的单摆的振动周期为T0．当升降机以加速度竖直下降时，摆的振动周期．
【提示】当升降机以加速度加速下降时，对于单摆，等效加速度为；所以，单摆的周期变为
5．（自测提高13）一台摆钟每天慢2分10秒，其等效摆长l = 0.995 m， 摆锤可上、下移动以调节其周期．假如将此摆当作质量集中在摆锤中心的一个单摆来考虑，则应将摆锤向上移动2.99mm，才能使钟走得准确？

【提示】钟摆周期的相对误差钟的相对误差，等效单摆的周期，这里g不变，则有，
图13-27

得：

6、（自测提高14）两个互相垂直的不同频率谐振动合成后的图形如图13-27所示．由图可知x方向和y方向两振动的频率之比nx:ny =4:3．

【提示】νx ：νy = y方向的交点数：x方向的交点数 = 4：3

三 计算题

1、（基础训练19）一木板在水平面上作简谐振动，振幅是12 cm，在距平衡位置6 cm处速率是24 cm/s．如果一小物块置于振动木板上，由于静摩擦力的作用，小物块和木板一起运动（振动频率不变），当木板运动到最大位移处时，物块正好开始在木板上滑动，问物块与木板之间的静摩擦系数m为多少？
解：（１）对于木板：由已知条件：振幅A=12cm；并且当x=6cm时，v=24cm/s，
根据机械能守恒，有：，
将已知数据代入得：，解出
在最大位移处，加速度也达到最大值，
（２）对于物块：水平方向的合力为静摩擦力。在最大位移处，摩擦力为最大静摩擦力，故
，

2、（基础训练20）一质点作简谐振动，其振动方程为
(SI)
(1) 当x值为多大时，系统的势能为总能量的一半？(2) 质点从平衡位置移动到上述位置所需最短时间为多少？
解：（1）系统的势能为，系统的总能量为，
依题意
ωt

ωt
π/4

所以
得
（2）由旋转矢量图可见，质点从平衡位置移动到上述位置所需最短时间满足：

3. （基础训练23）有两个同方向的简谐振动，它们的方程(SI单位)如下：

(1) 求它们合成振动的振幅和初位相。 (2) 若另有一振动，问为何值时，的振幅为最大；为何值时，的振幅为最小。
A2
A
A1
π/4
π/4
解：（1）由旋转矢量图可见，合振动的振幅为

初相位为

或

(2) 若另有一振动，要使振幅最大，则同相，即
，取，得；
为了使的振幅最小，则x2和x3反相，即
，取，得.

4. （基础训练24） 有一轻弹簧，下悬质量为1.0克的物体时，伸长量为4.9厘米；用这个弹簧和一个质量为8.0克的小球构成弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉开1.0厘米后，给予向上的初速度厘米/秒。试求小球的振动周期及振动的表式。
解：(1)m’=1.0g，Δx=4.9cm，，得：;
（2）设m=8.0g，则；；
（3）设小球的振动表达式为：；
由初始条件：t=0时，
得：，
所以，小球的振动表达式为： （m）

5、（自测提高16）一简谐振动的振动曲线如图13-28所示，求该谐振动的振动周期和初相。
解：设简谐振动的表达式为，由图中可见，
图13-28

5
t (s)
2
x(cm)
o
-10
10
时，，且，故初相位为.
时，，且，
故此时的相位为，即，，得
【或者，画出旋转矢量图求解。】

【附加题】
1．（自测提高20）一定滑轮的半径为R，转动惯量为J，其上挂一轻绳，绳的一端系一质量为m的物体，另一端与一固定的轻弹簧相连，如图所示．设弹簧的劲度系数为k，绳与滑轮间无滑动，且忽略轴的摩擦力及空气阻力．现将物体m从平衡位置拉下一微小距离后放手，证明物体作简谐振动，并求出其角频率．

证明：对滑轮和物体做受力分析，如图。
平衡位置：，

以此作为原点，向下为x轴正方向建立坐标系（如图）。

设物体由平衡位置向下拉伸x，则有

联立解出，又
所以　这是典型的谐振方程，所以物体作谐振。
并且.
k
图13-30

m
M
h

2、（自测提高21）质量为的圆盘挂在劲度系数为k的轻弹簧下，并处于静止状态，如图13-30所示。一质量为m的物体，从距圆盘为h的高度自由下落，并粘在盘上和盘一起振动。设物体和盘相碰瞬间t=0，而且碰撞时间很短。取碰后系统的平衡位置为坐标原点，竖直向下为坐标的正方向。试求系统的振动方程。

解：设系统的振动方程为......（1）
以下确定三个特征量。
（1）依题意，系统由轻弹簧（k）和圆盘（）及物体（m）构成，
所以系统振动的角频率为 ......（2）
（2）圆盘（）挂在劲度系数为k的轻弹簧下处于静止状态时，弹簧拉伸了，；
物体（m）从h的高度下落并粘在盘（）上，系统平衡时，弹簧拉伸了，；
取系统的平衡位置为坐标原点，竖直向下为坐标x轴的正方向，则时，系统的初始位移为 ......（3）
系统的振动初速度即为m与碰撞后的速度。根据动量守恒，得
， ......（4）
根据初始条件（方程（3）和（4）），可求得振幅A和初相位
......（5）
......（6）
考虑到，，所以在旋转矢量图上此初相位在第三象限，故
......（7）
将三个特征量（方程（2）、（5）和（7））代入振动表达式（1），得
.
8