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实验三 用单摆测重力加速度
【实验目的】
1.本仪器可以通过固定单摆摆长测量振动周期，计算重力加速度g；
2.可逐次改变摆长测出相应的周期，研究单摆的周期与摆长的关系；
3.研究单摆周期与摆的质量关系；
4.本实验仪取摆角<45°的范围，较精确地反映周期与摆角之间的关系。
【实验仪器】
DB-2大学单摆仪 J-25周期测定仪 米尺 游标卡尺
【实验原理】
1．周期与摆长的关系
单摆：一根不会伸长的轻质细线上端固定、下端系体积很小的重球。给小球一个摆角后释放，小球在平衡位置往返作周期性摆动。不计空气浮力和摩擦阻力时，回复力。
当角位移很小（≤5°）时，

令，得摆球的动力学方程：
可见摆角很小时（θ≤5°）的运动是简谐振动，其周期：
由此重力加速度： （1）
注：该公式是在未考虑小球的体积、摆动的角度、空气浮力及空气阻力的情况下得到的。
当然，这种理想的单摆实际上是不存在的，因为悬线是有质量的，实验中又采用了半径为r的金属小球来代替质点。所以，只有当小球质量远大于悬线的质量，而它的半径又远小于悬线长度时，才能将小球作为质点来处理，并可用（1）式进行计算。但此时必须将悬挂点与球心之间的距离作为摆长，即L=L1+r，其中L1为线长。如固定摆长L，测出相应的振动周期T，即可由（1）式求g。也可逐次改变摆长L，测量各相应的周期T，再求出T2，最后在坐标纸上作T2-L图。如图是一条直线，说明T2与L成正比关系。在直线上选取二点P1（L1，T12），P2（L2，），由二点式求得斜率；再从求得重力加速度，即
（2）
2．周期与摆角的关系
在忽略空气阻力和浮力的情况下，由单摆振动时能量守恒，可以得到质量为的小球在摆角为处动能和势能之和为常量，即：
（3）
式中，为单摆摆长，为摆角，为重力加速度，为时间，为小球的总机械能。因为小球在摆幅为处释放，则有：

代入（3）式，解方程得到
（4）
（4）式中为单摆的振动周期。
令，并作变换有

这是椭圆积分,经近似计算可得到
（5）
在传统的手控计时方法下，单次测量周期的误差可达0.1-0.2s，而多次测量又面临空气阻尼使摆角衰减的情况，因而（5）式只能考虑到一级近似，不得不将项忽略。但是，当单摆振动周期可以精确测量时，必须考虑摆角对周期的影响，即用二级近似公式。在此实验中，测出不同的所对应的二倍周期，作出图，并对图线外推，从截距2T得到周期，进一步可以得到重力加速度。
【仪器简介】
1、大学单摆仪介绍
以静止的不能伸缩的单摆线为铅垂线，将其上端固定在支架的上方，下端拴一个质量比细线大的多的小球（有木球和钢球两种），测量摆线的长度和小球的直径。把小球沿水平方向略加移动，使其离开平衡位置，然后释放，小球在重力的作用下，开始摆动。单摆往返一次摆动的时间即为单摆的周期，其大小可用周期测定仪来测量。当用周期测定仪测周期时，先将光电门与小球下的档光条调整好，使档光条置于光电门正中，然后进行周期的测定。
2、周期测定仪介绍
仪器面板结构如下图所示

使用方法
(1)首先将光电开关连接线插入“信号输入”口，调整好光电开关。
(2)将电源线插入仪器后面的电源插座，保险丝安装在电源插座内。
(3)接通电源，时间显示框内显示“—YES—”，几秒后，周期数显示框内显示“01”，时间显示框内显示“0.00000”，测量指示的“1”上方的指示灯亮。
(4)按下“周期数/时间”按钮，选择周期数1、10、20、30中的一个，相应的指示灯亮。再按“开始测量按钮，” 时间显示框内显示“—YES—”，开始进入测量状态。当有信号时，周期数显示框内显示周期数，时间显示框内显示“00—YE”,当测量到周期数显示框预先选择的周期数时，仪器自动停止测量，同时时间显示框内显示所测的时间。
(5)按“周期数/时间”按钮，依次提取小于选择周期数的周期的时间，如选择的周期数为“10”时，能提取周期数为1和10的时间。
【实验内容】
1. 测重力加速度
⑴ 调单摆，使立柱竖直。
⑵ 米尺测摆线长和游标卡尺测小球直径D 。
⑶ 先用钢球做实验。
⑷ 测小球摆动30个周期所需时间t。
⑸ 计算，写出。
2. 研究单摆周期T与摆长L的关系
⑴ 调整摆线长度，使摆长L等于50.00cm；测量小球摆动30个周期所需时间t。
⑵ 改变摆长L（60.00cm、70. 00cm、80. 00cm、90. 00cm），重复上述测量步骤。
⑶ 在坐标纸上绘制～L曲线，求出直线斜率；由，求出重力加速度g。
⑷ 已知当地的重力加速度，计算百分偏差B。
3．研究单摆周期与摆的质量关系
⑴ 在测重力加速度实验的基础上，用小木球做实验，测出重力加速度。
⑵ 并与用小钢球做实验所测的重力加速度作比较。
4．研究单摆周期与摆角的关系（选做）
⑴ 在测重力加速度实验的基础上，取摆角<45°的值，重复实验。
⑵ 作出单摆周期2T与Sin2(θm/2)的关系图。
摆角可以从摆线长L1和悬线下端点离中心位置的水平距离x求得。
【实验要点及难点】
1. 摆角θ应小于5°。
2. 必须在垂直平面内摆动，不能形成椭圆运动。
3. 测量周期时，应在摆球通过平衡位置时开始计时。
【思考题】
1. 为什么测量周期时要在摆球通过平衡位置时开始计时，而不在摆球到达最大位移时开始计时？
答：因为摆球在平衡位置时速度最大，在此计时误差最小；而在最大位移时速度最小，误差最大。
2. 根据间接测量不确定度的传递公式，分析本实验中哪个量的测量对g的影响最大？
答：g的值与周期T和摆长L的测量有关，其中T对g的影响最大。因为T本身较小，又是平方反比关系，按照间接测量不确定度的传递公式，其对结果影响较大。
3.从理论上讲，～L关系曲线应通过坐标原点，实际所画直线如果不通过原点，试分析其原因。
答：这只要由实验误差所引起。摆角较大、小球体积较大、空气的浮力和摩擦阻力等等都可能导致误差，考虑这些因素的影响，其摆动周期修正为：

因此～L直线可能不通过坐标原点。
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