电动力学复习题.doc

1、有一内外半径分别为和的空心介质球，介质的电容率为，使介质球内均匀带静止自由电荷，求：（1）空间各点的电场；（2）极化体电荷和极化面电荷分布。解：（1）设场点到球心距离为。以球心为中心，以为半径作一球面作为高斯面。由对称性可知，电场沿径向分布，且相同处场强大小相同。当时， 。当时， ， ，向量式为 当时， 向量式为 （2）当时，当时，当时，2、内外半径分别为和的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀自由电流，导体的磁导率为，求磁感应强度和磁化电流。解：（1）以圆柱轴线上任一点为圆心，在垂直于轴线平面内作一圆形闭合回路，设其半径为。由对称性可知，磁场在垂直于轴线的平面内，且与圆周相切。当 时，由安培环路定理得：当 时，由环路定理得：所以 ， 向量式为 当 时，所以 ， 向量式为 （2）当 时，磁化强度为所以 在 处，磁化面电流密度为在 处，磁化面电流密度为向量式为 3、在均匀外电场中置入半径为的导体球，试用分离变数法求下列两种情况的电势：（1）导体球上接有电池，使球与地保持电势差；（2）导体球上带总电荷Q. 解答：（1）当导体上接有电池，与地保持电势差时。以地为电势零点。本问题的定解条件有 且 其中是未置入导体球前坐标原点的电势.根据题意设 根据边界条件可求得， ， ， ， ， 所以有 （2）当导体球上带总电荷Q时，定解问题存在的条件： 根据边界条件设 根据边界条件可以求得 5、真空中有电场强度为的均匀电场，将半径为R的一个均匀介质球放到这个电场中。已知球的电容率为，求各处的电场强度和极化电荷。解：先求电势，然后由电势求得电场强度，再求极化电荷。由于没有自由电荷，电势满足拉普拉斯方程。以球心为原点，方向为极轴方向，取球坐标。根据对称性可知，电势只是和的函数。因为所考虑的区域包括极轴（）在内，电势在极轴上应该是有限值，所以所求电势可写为如下形式，剩下的问题就是由边界条件定出各个系数 由于球内外是两个不同的区域，电势的表达式不同，令球内的电势为，球外的电势为，再由边界条件分别定出他们的系数。（1）无穷远处的边界条件在无穷远处，电场应该趋向于原来的电场，即为方便，将原来的电场在点的电势取为零。比较两者的系数，可得所以（2）球心的边界条件在球心处，电势应该是有限值，所以其中的系数所以（3）球面上的边界条件在球面上电势连续，即的法向分量连续将前面得到的电势方程在R代入电势连续方程，比较两边的系数，可得，将前面得到的电势方程在R代入法向连续方程，比较两边的系数，可得，比较得到的四个方程，可得到，这些系数分别代入前面的和，即得到所求得电势为有了电势即可求得电场强度：，所以介质球的极化强度为所以球内的极化电荷密度为球面上极化电荷的面密度为注：真空中有电场强度为的均匀电场，将半径为R的一个不带电导体球放到这个电场中。求各处的电势分布、电场强度分布和感应的电偶极矩解法和前面一样，只不过把导体球当作是很大的介质，这样均匀极化介质球在球内产生均匀退极化电场：导体内的电场，所以导体内的极化强度为：感应的电偶极矩：球内的电势为零，球外的电势：球外电场：6、电容率为的无穷大均匀介质中有电场强度为的均匀电场，将半径为R的一个均匀介质球放到这个电场中。已知球的电容率为，求各处的电场强度和极化电荷。解：对于这个问题，只要将前题求得的，等表达式中的换成、换成，就可以得到相应的结果。这时，球内的极化强度为球外介质的极化强度为：球内外的极化电荷密度分别为：，球内介质在球面上的极化电荷面密度为球外介质在球面上的极化电荷面密度为球面上总的极化电荷面密度为7、真空中有一电荷量为的点电荷，它到一无限大导体平面的距离为，已知导体的电势，如图所示。试求（1）导体外的电势分布；（2）导体面上的电荷分布；（3）受导体上电荷的作用力解：本题用电像法求解最简单（1）以导体平面为平面，通过的法线为轴，如图取迪卡尔坐标系。设想导体不存在，而在轴上处有一电荷量为的点电荷，则边界条件处可以满足。就是的像电荷。于是，根据唯一性定理，可以得到导体外任一点的的电势：，（2）导体上的电荷面密度为（3）根据对称性，以原点为圆心，在导体表面取半径为，宽度为的圆环带。环带上的电荷量为，它作用在上的库伦力为所以受导体上电荷的作用力为注：电荷受导体上电荷作用力的简单算法导体表面电荷作用在上的力等于像电荷作用在上的力所以8、在接地的导体平面上有一半径为a的半球凸部（如图），半球的球心在导体平面上，点电荷Q位于系统的对称轴上，并与平面相距为b（ba），试用电像法求空间电势。图解答：如图，利用镜像法，根据一点电荷附近置一无限大接地导体平面板和一点电荷附近置一接地导体球两个模型，可确定三个镜像电荷的电量和位置。方法：在处放，与在平面上合电势为0；但在球面上电势不为0。再引入关于球面的镜像电荷，即在处放，以及关于球面的镜像电荷，即在处放。这样总电势在平面和球面上都是零。 9、设有无穷长的线电流沿轴流动，以空间充满磁导率为的均匀介质，区域为真空，试用唯一性定理求磁感应强度，然后求出磁化电流分布。解：由麦克斯韦方程组，有本题中，即所以，即 由，可得因为，所以可以得到：，在介质表面的位置，磁化电流面密度为当时，在电流线表面存在的磁化电流为10、设空间充满磁导率为的均匀介质，区域为真空，有线电流沿轴流动，试求磁感应强度和磁化电流分布。解：由边界条件可知，即再由麦克斯韦方程组，有所以，即，由上面已经得到所以，可以得到：由，得到：磁化电流为：因为所以得到：11、一平面电磁波以从真空中入射到的介质。电场强度垂直于入射面，求反射系数和折射系数解：设入射波振幅为，入射角；反射波振幅，反射角；折射波振幅，折射角由菲涅耳公式，有：，又因为可由折射定律得：，代入，得到：即平面电磁波的平均能流密度为所以反射系数透射系数12、对一矩形波导，电磁波沿z方向传播，求可能传播的电磁波和每种波模的截止频率. 解答：设两导体平板与y轴垂直，两板间电场为满足亥姆霍兹方程 通过求解可得， 根据边界条件可求得截止频率为 13、频率为 Hz的微波，在的矩形波导管中能以什么波模传播？在的矩形波导管中能以什么波模传播？解答：在截面的矩形波导中，截止角频率为所以可得：a) 由于，波导为有因为，所以，此波可以以TE10波在其中传播。 b) （2）由于，波导为和 （可以省略）有因为，所以，此波可以以TE10和TE01两种波模传播。