微分方程试题及部分应用题答案整理版[1].doc

第十章 微分方程习题

一.填空题：（33）
1-1-40、 微分方程的阶数是 .
1-2-41、 微分方程的阶数是 .
1-3-42、 微分方程的阶数是 .
1-4-43、的阶数是 .
1-5-44、微分方程满足条件的特解是 .
1-6-45、微分方程的通解是 .
1-7-46、方程的通解是 .
1-8-47、 方程的通解是 .
1-9-48、方程的通解是 .
1-10-49、方程的通解是 .
1-11-50、方程的通解是 .
1-12-51、已知特征方程的两个特征根则二阶常系数齐次微分方程为
1-13-52、微分方程的通解为 .
1-14-53、微分方程的通解为 .
1-15-54、若是全微分方程, 则应满足 .
1-16-55、与积分方程等价的微分方程初值问题是 .
1-17-56、方程化为齐次方程是 .
1-18-57、通解为为任意常数)的微分方程为 .
1-19-58、方程满足条件的特解是 .
1-19-59、方程化为可分离变量方程是
1-20-60、方程的通解是
1-21-61、 方程化为齐次方程是
1-22-62、 若是微分方程的解, 则 .
1-23-63、若满足, 则 .
1-24-64、的解是
1-25-65、某城市现有人口50(万), 设人口的增长率与当时的人口数(万)和的积成正比, 则该城市人口所满足的微分方程为
1-26-66、 圆满足的微分方程是
1-27-67、 满足的微分方程是
1-28-68、一阶线性微分方程的通解是 .
1-29-69、已知特征方程的两个根, 则二阶常系数线性齐次微分方程为 .
1-30-70、方程是微分方程的 解.
1-31-71、二阶常系数非齐次微分方程的结构为其一个特解与 之和.
1-32-72、二阶常系数齐次线性微分方程对应的特征方程有两个不等实根，则其通解为 .
1-33-73、将微分方程写成齐次微分方程的标准形式为

二.选择题：（29）
2-1-56、微分方程的通解是 ( )
A. B. C. D.
2-2-57、 微分方程的通解是 ( )
A. B. C. D.
2-3-58、下列方程中是全微分方程的是 ( )
A. B.
C. D.
2-4-59、下列函数组中,线性无关的是 ( )
A. B. C. D.
2-5-60、方程的通解是 ( )
A B.
C. D.
2-6-61、方程的通解是 ( )
A. B. C. D.
2-7-62、 下列方程中是可分离变量的方程是 ( )
A. B.
C. D.
2-8-63、 微分方程的通解是 ( )
A. B. C. D.
2-9-64、已知微分方程的通解为,则的值是 ( )
A.1 B.0 C. D.
2-10-65、微分方程的通解是 ( )
A. B. C. D.
2-11-66、方程的通解是 ( )
A. B. C. D.
2-12-67、 的通解为( )
A. B. C. D.
2-13-68、微分方程满足的特解为 ( )
A. B. C. D.
2-14-69、微分方程的通解是 ( )
A. B. C. D.
2-15-70 微分方程的通解是 ( )
A. B. C. D.
2-16-71、 过点的曲线,使其上每一点的切线斜率都比这点纵坐标大5的曲线方程是( )
A. B. C. D.
2-17-72、齐次方程化为可分离变量的方程, 应作变换 ( )
A. B. C. D.
2-18-73、 设方程有两个不同的解,若也是方程的解,则( )
A. B. C. D. 为任意常数
2-19-74、 方程的通解是 ( )
A. B. C. D.
2-20-75、下面各微分方程中为一阶线性方程的是 ( )
A. B. C. D.
2-21-76、曲线上任一点P的切线均与OP垂直的曲线方程是 ( )
A. B. C. D.
2-22-77、方程的解是 ( )
A. B. C. D.
2-23-78、 微分方程的通解是 ( )
A. B. C. D. 2-24-79、下列哪个不是方程的解 ( )
A. B. C. D.
2-25-80、方程的阶是 ( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
2-26-81、如果一条曲线在它任意一点的切线斜率等于，则这条曲线是( )
A. 椭圆 B. 抛物线 C. 双曲线 D. 圆
2-27-82、下列可分离变量的方程是 ( )
A. B.
C. D.
2-28-83、微分方程的通解是 ( )
A. B. C. D.
2-29-84、 已知微分方程的通解为,则的值( )
A. 1 B. 0 C. D.

三.计算题：（59）
3-1-52、
3-2-53、
3-3-54、
3-4-55、
3-5-56、
3-6-57、
3-7-58、 ,
3-8-59、
3-9-60、
3-10-61、 ,
3-11-62、
3-12-63、
3-13-64、
3-14-65、
3-15-66、
3-16-67、
3-17-68、 ,
3-18-69、 ,
3-19-70、
3-20-71、 ,
3-21-72、
3-22-73、
3-23-74、
3-24-75、
3-25-76、 ,
3-26-77、 ,
3-27-78、 ,
3-28-79、 ,
3-29-80、
3-30-81、
3-31-82、
3-32-83、
3-33-84、
3-34-85、
3-35-86、
3-36-87、
3-37-88、
3-38-89、, ,
3-39-90、, ,
3-40-91、
3-41-92、
3-42-93、
3-43-94、
3-44-95、, ,
3-45-96、, ,
3-46-97、, ,
3-47-98、, ,
3-48-99、, ,
3-49-100、, ,
3-50-101、
3-51-102、
3-52-103、
3-53-104、
3-54-105、
3-55-106、, ,
3-56-107、, ,
3-57-108、, ,
3-58-109、, ,
3-59-110、

四.应用解答题：（14）
4-1-9、一曲线通过点, 它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分, 求这曲线方程.
4-2-10、已知, 求函数
4-3-13、求一曲线, 这曲线通过原点, 并且它在点处的切线斜率等于.
4-4-14、试求的经过点且在此点与直线相切的积分曲线.
4-5-15、设某曲线,它上面的任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形面积总等于2,求这条曲线的方程所满足的微分方程.
4-6-16、已知某曲线经过点, 它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标, 求它的方程.
4-7-17、设可导函数满足, 求.
4-8-10、已知某商品需求量Q对价格的弹性为, 最大需求量为, 求需求函数.
4-9-11、设质量为的物体在高空中静止下落, 空气对物体运动的阻力与速度成正比. 求物体下落的数率与时间的关系, 再求物体下落距离与时间的关系
4-10-12、在串联电路中, 设有电阻R, 电感L和交流电动势, 在时刻时接通电路, 求电流与时间的关系(, 为常数).
4-11-13、如图, 位于坐标原点的我舰向位于轴上点处的敌舰发射制导鱼雷, 鱼雷始终对准敌舰, 设敌舰以常数沿平行与轴的直线行驰, 又设鱼雷的速度为, 求鱼雷的航行曲线方程.
4-12-14、根据经验可知, 某产品的纯利润与广告支出有如下关系 ，（其中）, 若不做广告, 即 时纯利润为, 且, 试求纯利润与广告费之间的函数关系.
4-13-15、在宏观经济研究中, 知道某地区的国民收入, 国民储蓄和投资 均是时间的函数, 且在任一时刻, 储蓄为国民收入的, 投资额是国民收入增长率的 . 设时国民收入为5(亿元), 假定在时刻的储蓄全部用于投资,试求国民收入函数.

4-14-16、试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型.

五.证明题：（2）
5-1-18、设 是二阶齐次线性方程的两个解,令

证明: 满足方程
5-2-19、设, , 是线性方程的3个相异特解,
证明 为一常数.

部分应用题答案

487．在串联电路中, 设有电阻R, 电感L和交流电动势, 在时刻时接通电路, 求电流与时间的关系(, 为常数).
解. 设, 由回路电压定律, 即
=
=
将代入通解得

488. 设质量为的物体在高空中静止下落, 空气对物体运动的阻力与速度成正比. 求物体下落的数率与时间的关系, 再求物体下落距离与时间的关系
解：. 物体重力为, 阻力为, 其中是重力加速度, 是比例系数.
由牛顿第二定律得,从而得线性方程,
, 将代入通解得
, 再积分得,
将代入求得

489. 如图, 位于坐标原点的我舰向位于轴上点处的敌舰发射制导鱼雷, 鱼雷始终对准敌舰, 设敌舰以常数沿平行与轴的直线行驰, 又设鱼雷的速度为, 求鱼雷的航行曲线方程.

解： 设鱼雷的航行曲线方程为, 在时刻, 鱼雷的坐标巍巍, 敌舰的坐标为.
因鱼雷始终对准敌舰, 故, 又弧的长度为,
从以上两式消去得, 即
根据题意, 初始条件为,
令, 原方程化为, 它是可分离变量得方程,
解得, 即
将代入上式得, 故
而, 得
积分得, 将代入上式得,
所以鱼雷的航行曲线为
490．根据经验可知, 某产品的纯利润与广告支出有如下关系 ，（其中）, 若不做广告, 即 时纯利润为, 且, 试求纯利润与广告费之间的函数关系.
解：依题意得, , 解可分离变量得微分方程, 得通解
, 将代入通解, 得, 所以纯利润与广告费之间的函数关系为.
491．
在宏观经济研究中, 知道某地区的国民收入, 国民储蓄和投资均是时间的函数, 且在任一时刻, 储蓄为国民收入的, 投资额是国民收入增长率的 . 设时国民收入为5(亿元), 假定在时刻的储蓄全部用于投资,试求国民收入函数.
解： 依题意: , , 解之得通解, 将代入通解得
, 所以国民收入函数为
492．试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型.
解： 设在某一时刻, 商品的价格为, 因供需差价, 促使价格变动. 对新的价格, 又有新的供需差, 如此不断地调节价格, 就构成了市场价格形成的动态过程.
假设价格的变化率与需求和供给之差成正比. 记需求函数为, 供给函数为, 其中为参数. 于是得微分方程, , 其中为时商品的价格, 为正常数.
若需求供给函数均为线性函数, , , 则方程为
, , 其中均为正常数, 其解为

下面对所得结果进行讨论:
(1) 设为静态均衡价格, 则应满足, 即,
则, 从而价格函数,取极限: .
它表明: 市场价格逐步趋于均衡价格. 若初始价格 , 则动态价格就维持在均衡价格上, 整个动态过程就变为静态过程.
(2) 由于, 所以当时, , 单调下降向靠拢, 这说明: 初始价格高于均衡价格时,动态价格会逐渐降低, 逐渐接近均衡价格; 而当初始价格低于均衡价格时, 动态价格会逐渐增高, 逐渐接近均衡价格.