相差为4的素数对无限(点数论版).doc

相差为4的素数对无限!(格点数论版)
张 忠（言）
江苏省南通市崇川区 邮编：226002

摘要: 本文依据同余理论, 通过格点二次筛法对联立一元二次不同余方程组的解集: … 的分析与验证, 发现整数的一个重要规律: 在前闭后开区间内至少有一个. 依据该规律, 本文证明了相差为的素数对无限.

关键词: 素数, 整数的多维式, 模, 不同余, 格点筛法, 集合的势.

0. 引言.
大于的偶数是否都可表为二个奇素数之和? 孪生素数对是否无限? 相差4的素数对是否无限? 这些都是一直困惑着人们的古老数论问题, 甚至许多大数学家都认为: 人们至今也未能找到真正能解决这些问题的方法和途径. 而本文谨用同余理论和筛法, 来揭示至少可证明”相差为的素数对无限”的上述整数的一个重要规律.

1. 基本慨念, 名词, 定义及代(符)号的意义.
1.1. 若无特别声明, 本文中小写字母表整数, 大写字母表整数集合. 例:
…, 表的欧拉数, 表模的简化剩余集,
表素数集合, 且 ＜＜且.
1.2. 表集合的势, 即集合内元素的个数.
1.3. 为同余符号, 为不同余符号.
1.4. 整数的多维式. 若 , 则可将其记作: …, 并称其为的多维式,在不至引起误解时,可省略式中. 而由孙子定理与欧拉定理知:

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1.5. 定义一: 定义一元一次不同余方程,＜, 为(素数)模之的(一次)筛, 简记为, 例: 为: 而该不同余方程的解称称为的缩剩余, 为的缩剩余集. 作为特例, 当时, 称为模的简化剩余,为模的简化剩余集.
1.6. 定义二. 若: , …, 则定义联立(一次)不同余方程组: ,＜,… 为(合数)模之筛, 并简记为: 或…. 该联立方程的解称为(合数)模之筛的(一次)缩剩余. 作为特例: 当时, 该联立方程的解即模的简化剩余.
图一: 的格点筛
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由图一: 可得模的最小正简化剩余系: .
1.7. 定义三: 若,,＜, 则定义不同余方程: ,为(素)模之(或)的二次筛, 并简记为; 为的二次缩剩余, 为区别与模之其它二次筛的缩剩余, 模之筛的缩剩余记为或.
因当且时: 与分别为模的两个不同剩余类, 但模之的二次筛与模之的二次筛相同, 故模之的二次筛与模之的二次筛为模之异名同类筛, 故知模之二次异名同类筛的二次缩剩余也相同. 模之筛系内有且仅有类筛: ,,,….
例一: 图二为求的最小非负二次缩剩余系的格点图解法:
模7
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图二. :
(注: 上图列中含红色格点的整数表示被筛除.)
又: . 称为筛的最小绝对值缩剩余系.
1.8. 定义四. 若: …, , … 则定义不同余方程组: ,… 为(合数)模之的二次筛:
…… .
的任一确定值称为不同余方程组的(关于模的)一个解类(或特解). 从二次不同余方程组的各类解中任取一个值组成的集合为该二次不同余方程组 (关于模)的解系, 即…的(关于模的)二次缩剩余系. 故知:
……
例二. 当, 时: , 模之的最小非负二次缩剩余系可由图三:获知:; 也可将其表为模之的最小绝对值二次缩剩余系: .
图三.
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又因:,,,, 所以: ,
,, 是模的二次异名同类筛, 故:
, 且:====.
1.9. 虚筛与实筛. 若: ＜＜…, 而同时被,,…筛除, 则称被且仅被实筛, 而分别被,…等虚筛; 若集合中有一元素被实筛, 则称集合被实筛, 若集合中无一元素被实筛, 则称集合被虚筛.

2. 引理及定理.
引理一. 受最大二次筛除的区间, 必分别受 (…) 的实筛.
证: 设受最大二次筛除的区间内的个数最少, 有且仅有个, 且其中一个. 现反设受()虚筛, 则由知, 必存在整数: 且 ,
故知:
则受模之二次筛的区间内有且仅有个,当再受模之的二次筛时, 必被实筛, 即受筛除的区间必受实筛, 内最多仅有个, 该结论与原设矛盾, 故知引理一成立.
定理一. 若: , , 前闭后开区间, 模之筛的二次缩剩余系为:, , 则: 受模之最大二次筛的内至少有一个, 即: . (证明暂略! 详情请见文后说明①.)
下面仅给出定理一的验证方法及当时的验证结果,以供参考.
(1) 当时: , , , 是模之的二次缩剩余集, ,
模的二次筛系内有且仅有类两两不同的筛: ,,,,则由格点二次筛法可求: ,
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故知: . 故由验证知当定理时一成立.
(2) 当时: , ,, 筛系内有且仅有类筛, 则由格点二次筛法可求:
, , ,
, , ,
, , ,
, , .
故由验证知当时: ,定理一成立!
(3) 当n=4时: , , ,
二次筛系内有且仅有类筛. 由由验证知在集系
中势最小的集合有且仅有下列四类:
; ;
; .
故由验证知当时: .定理一成立!
(4) 当时: , , ,
二次筛系内有且仅有类筛.由验证知在集系中势最小的集合有且仅有三类: ,
, .
故由验证知当时: .定理一成立.
(5)当时: , , ,
二次筛系…内有且仅有类筛.由验证知在集系…中势最小的集合有且仅有下列六类: (如若有误, 敬请指正!)
, ,
, ,
, .
故由验证知当时: … 定理一成立.
由上面验证知,当…时: ….定理一都成立.
定理二. 若: , , ,… 则: 在前闭后开区间内至少有二个.
证: 由定理一知, 受最大筛除的前闭后开区间:内至少有一个, …而由引理一知: 必受的实筛, 至少被实筛去一个. 故知在区间内至少有二个.
3.命题证明.
命题一. 若: , 则当时, 在开区间内至少有一对相差为的素数. 即: 相差为的素数对无限.
分析: 若当时存在奇数: 使＜＜, 且, 则由素数判别法知: 必为大于的相差为的素数对.
证: ∵素数的个数无限, ∴若() 一旦确定, 则,及开区间也因之确定. 且知: .
现令: 且:即: ,…
因: , 故有且只有一种可能: ＞, 即＞.
由定理二知: 半开闭区间内至少有二个奇数, 使:
, 故开区间 内至少有一个, 使＜＜, 且:. 故由素数判别法知: 必为相差为的素数对.
故知当时, 在开区间内至少有一对相差为的素数.
故命题一成立.

验证.
① 当时: , ,. 由命题一知在开区间内至少有一对差为的相邻素数对.
图四
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由图四知在开区间内有且仅有一个,故知在开区间内有(且仅有) 一对相差为的素数: .
故由①知当时命题一成立!
② 当时: , ,.
由命题二知在开区间内至少有一对相差为的素数.
图五. .
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由图五知在开区间内有且仅有三个, 故知在开区间内有(且仅有) 三对相差为的素数: :
; ; .
故知当时命题一成立!
③ 当时: , ,.
由命题一知在开区间内至少有一对差为的相邻素数对.
图六:
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由图六知在开区间内有且仅有四个, 故知在开区间内有(且仅有) 四对相差为的素数: :
; ; ; .
故由③知, 当时: 原命题成立.
故由①②③知, 当时: 原命题成立.
同理, 由命题一易证命题二:
命题二. 相差为的素数对无限.( 证明略!)

参考文献:
1. 华罗庚. 数论导引. 科学出版社出版, 1957年第一版.
2. 熊全淹. 初等数论. 湖北人民出版社出版, 1982年第一版.
3. 闵嗣鹤, 严士健. 初等数论. 人民教育出版社出版, 1982年9月第二版.

说明:
①由于目前几乎所有的数学家们都一致认为: 用初等的方法是不可能证明孪生素数想等数论难题的, 所以为避免该文遭遇本人前一篇论文: “在个连续整数中至少有两个模…的简化剩余———“杰波夫猜想”成立! (格点数论版)” 的相同遭遇: 发表十余年来居然一直得不到重视与关注; 同时也为避免本文天长日久后产生不必要的麻烦, 故本文中的定理一(及其它相关定理)未给出证明. 望谅!
②拙作“杰波夫猜想成立!(格点数论版)”一文可在“百度网”,“docin.con豆丁网”及“道客巴巴网”中查阅, 祈请大家指教, 谢谢!