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数字信号处理第三版课后答 案西安电子(高西全丁美玉第三版)数字信号处理课后答案1.2 教材第一章习题解答1.用单位脉冲序列及其加权和表示题1图所 示的序列。解：x(n)=5(n+4)+25(n+2)-8(n+1)+28(n)+5(n-1)+25(n-2)+45(n-3)+0.535 4)+235 6)2.用定信与：x(n)=6,0 n 1，该系统就是因果系统，因为输出 只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。如果 x(n)Mf贝(小/因此系统是稳定系统。(3)如果|y(n)|2 x(k)2no+lM 9 因此系统k=n-nQ5是稳定的。系统是非因果的，因为输出还和式口)的将来值有关.(5)系统是因果系统，因为系统的输出不取决 于x(n)的未来值。如果,则伏小田 因此系统是稳定的。7.设线性时不变系统的单位脉冲响应帅)和输入 序列如题7图所示，要求画出输出输出加的 yv1)波形。解：解法(1):采用图解法y(n)=x(n)/z(n)=x(m)/z(n-m)m=0图解法的过程如题7解图所示。解法(2):采用解析法。按照题7图写出x(n)和 h(n)的表达式：x(n)=-8(n+2)+8(n-l)+28(n-3)=28(n)+8(n-1)+5(n-2)因为 x(n)*5(n)=x(n)九()*A8(n k)=Ax(n-k)所 以y(n)=x(n)*2 8(n)+8(n-1)+-5(n-2)=2x(n)+x(n-1)+J-x(n-2)6将x(n)的表达式代入上式，得到(2)(3)解：(1)y=-28(n+2)-5(n+1)-0.55(n)+28(n-1)+8(-2)+4.55(n-3)+28(n-4)+5(n-5)8.设线性时不变系统的单位取样响应贴)和输入 然分别有以下三种情况，分别求出输出.)。jl)J7 V Vk(n)=R(n),x(n)=R(n)9 4 5h()=2R,x(n)=5(n)-8(M-2)94/z(n)=0.5w(n),%=R()n 5y(n)=x(n)*/z(n)=R(m)R(n m)4 5m=-(x)先确定求和域，由RW和确定对于m的非，_ 4V 5、零区间如下：0m3,n-4mn根据非零区间，将II分成四种情况求解：n0,y(n)=0 V0 n 3,y=乙 1=+1m=04 n 7,y(n)=X 1=8-nm=n-47 n,y(n)=0最后结果为0,n 7y(n)=n+1,0 n 38-n,4 n 77y(n)的波形如题8解图(一)所示。(2)y(n)=2R(n)*5(n)-8(n-2)=27?(n)2R(n-2)4 4 4=25(n)+8(n-1)-8(n-4)-8(n-5)y(n)的波形如题8解图(二)所示.(3)y(n)=%()*h(n)二工 R(m)0.5n-mu(n-yyi)-0.5 R(rn)0.5-mw(n-rn)5 5加=oo 根=ooy(n)对于m的非零区间为阵人4旌。0,y(n)=0(2)V 1-0 5-10n4,y()=0.5 乙 0.5-m=_：-0.5=(1 0.5-1)0.5=2-0.51-0.5-im=05)K(e)证明:x()*y(n)=x(m)y(n-m)m=-ooFTx(n)*)()=x(m)y(n-m)e-jnn=-8 加=oo令k=nm,则FTx(n)*y(n)=k=_g m=oo=y(k)e-jwk x(m)e-jwnk=co nt=oo=X(ejw)Y(e/w)2已知x-)=l,|w|w1 1 00,w|w|0)=AejejQn|/(e)|；(p(w0)+e-je-jn(e-0)|e/。()上式中|M)|是w的偶函数，相位函数是W的奇 函数，4.设x(n)=)|=|h(-)|,0(iv)=-0(-w)y(M)二,A|(6加0)，6押6加0叱为(%)+e-jpe-jwone-j0(wo)=A|H(jw0)|cos(w n+(p+0(w)回二将M)以4为周如进行周期延拓,|0,其它 形成周期序列.，画出X和新的波形，求出前11的离散傅里叶级数文.和傅里叶变换。解/trr*画出x(n)和弧的波形如题4解图所示。然左)=皿右)=儆)6-，?=2erg=1+少亭n-0 n-0.工,S7 A,71 伍 7=eJ4k(eJ4k+6一4,=2cos(左)61/4统)以4为周期，或者款k)二e-苧=匕上=上2=/刎句 1-心 c7%(ej%k _ e-jk)然灯以4为周期 1 7sin兀左2 9.1 7sin 兀攵 4X(ejw)=FTn)=)5(w-Z:)4 4左=-oo=然左)5(w-三左)2 2A：=-oo写 兀 _ 兀c 兀二兀 乙 cos(k)eJ4 o(w-k)5.设如图所示的序冽：)的FT向X。)表示，不宜 x(n)x(c/w)接求出版)，完成下列运算：A(e/w)(1)(2)(5)X(ejo)5J X(ejw)dw 9-71f|X(ejw)|2 dw-71解：(1)X(e/o)=x(n)=6=-312(2)X(e 加)dw=x(0)2兀=4兀(5)f|x(e初)|2dw=27i k(到2=28k71=-36.试求如下序列的傅里叶变换:1 1 x(n)=-8(n+l)+5(n)+5(n-l)92 2 2(3)解：x(n)=q总,0 al(2)X(e，w)=T,x(n)e-jn=一e/w+1+e-j 2 2V 2 2=1+_(c+e-向)=1+cos wX(e加)=乙 anu(n)e-jn=乙 Qftejwn=3 1-ae-jn=-n=Q7.设：(1)Q)是实偶函数，(2)M而是实奇函数，分别分析推导以上两种假x(n)设下，的傅里叶变换性质。/trr令 VX(e/w)=乙 x(ji)e-jn式口)是实、偶函数，x(ex(n=oo两边取共辗，得到13X*(e/w)=x(n)ejn=x(n)e-j(-n=X(e-初)n=gn=_g因此乂)上式说明x(n)是实序列,x(e)具有共轨对称性质。X(c)=x(n)e-jn=x(n)cos wn+j sin wnn=-oo=-00由于x(n)是偶函数，x(n)sinwn是奇函数，那么 x(n)sin wn=0ns因此 yX(e%)=乙 x(n)cos wnn=-oo该式说明X.)是实函数，且是W的偶函数。A ejw)总结以上x(n)是实、偶函数时，对应的傅里叶变换.)是实、偶函数。A川)(2)x(n)是实、奇函数。上面已推出，由于x(n)是实序列，乂(.具有共施对称性质，即X(ejw)=X*(e-加)X(ejw)=x(n)e-jn=x(n)coswn+j sin wnn=-oo及=一00由于x(n)是奇函数，上式中xgw是奇函数，那么y乙 x(n)cos wn=0=-00因此 yX(e次)=/乙九sin wnns14这说明x(总是纯虚数，且是W的奇函数。10.若序列财)是实因果序列，其傅里叶变换的实部如下式：H()=1+cosw求序列.及箕傅里叶变换“刖)。解：H(e加)=l+cosw=l+e次+e-加=FTh(n)=乙 h(n)e-jwnh(n)=l,n=0 e1 1,二1h(n)=v0,n 0e1,m 二 0l,n=10,其它nH(ejw)=h(n)e-jwn=l+e-j=2e-JW2COS 2n=oo12.设系统的单位取样响应.一os/输入序列为(，完成下面各题：(1)求出系统输出序列y；(2)分别求此、.)和川的傅里叶变换。解：(1)y(n)=。()*x(n)=anu(n)8(n)+28(n-2)=anu(n)+2an-2u(n-2)(2)15X(c)=S5(n)+25(n-2)e-jwn=1+2e-H(e何)=ctniiCn)e-jn=Siane-jn=-1 cie-jw n=-oo n=01+2e-y(ew)=(6次)盛(ew)=-1 ae-jw13已知工，式中小以采样频率-4。叱对I进行某样，得到采样信号酎和时域 离散信号;，试完成下面各题：(1)写出x的傅里叶变换表示式xg)；x A(八与a a(2)写出%和x的表达式；(3)分别录出发)的傅里叶变换和x序列的傅里 叶变换。解：(1)X(4)=x(t)e-jtdt=J00 2cos(Q t)e-jtdt a-oo a 0=J 8 Q。/力00上式中指数函数的傅里叶变换不存在，引入奇异函数3函数，它的傅里叶变换可以表示成：X(jQ)=2ti5(Q-Q)+5(Q+Q)a 0 0(2)犬=%3(t 一几T)=2cos(Q nT)8(t-nT)a a 0n=-oo n=-oox(n)=2cos(Q hT),-qo h 1-2-u-i 1 1 2n=-oo n=0ZT-2-nw(-n-l)=2-n u(n 1)z-n 2-n z-n=-n=-oo n=-l n=l-2-1 Izk1(6)17ZT2-w(n)-w(n-10)=2?2-nz-nn=01-2-ioz-io-,0 1 2-i z-1|z|_ _(5z-7)z(z-0.5)Q-2)0.5)(z-2)=-34；)+2 曲 W-1)(2)当收敛域。,5小2时，18对，C内有极点0.5；x(n)=Re5F(z),0.5=31，C内有极点05 0,但0是一个n阶寂点,改成求c外极点留数，c外极点只有一个，即2,x(n)=一 Res厂(z),2=-2g2nu(-n-l)息后得至|取,口 寸工J M)=-20-1)(3)当收敛域2同时,心0,C内有极点05,2X=Re sF(z),0.5+Re sF(z),2=3 履 1)+2*na1-QZ-1n=-oo(2)ZTnx(n)二 zgX(z)=Z,z a dz(1-6ZZ-1)2(3)r7Tt Z 乎 g 1 I IZTa-nu(-n)=a-nz-n=ag=-,团 a-i1-azn=0 n=018.已知x(,)3-，分别求：X=2.5z-(1)收敛域05以2对应的原序列,；(2)收敛域国,2对应的原序列加)。/Jiyrl)解：无=12兀)X(z)zn-idz方(z)=X(z)&t3z-i-z,t 2 5z-1+2z-2一3 2(z Q5)(z 2)(1)当收敛域。.5|z|2时，心，内有极点05x(n)=Res尸(z),0.5=0.5=2-n 0,c内有极点0.5,0,但0是一个n阶极点，改求c外 极点留数,c外极点只有2,M)=ResEz),2=2,最后得到x(n)=2-nu(n)+2w(-n-1)=2,20(2(当收敛域出2时，心c内有极点0.5,2,x(n)=Re 5F(z),0.5+Re s户(z),2=0.5+-(z-2)2(z-0.5)(z-2)z=2=0.5 2no c内有极点0.5,2,0,但极点0是一个n阶极点,改成求c外极点留数，可是c外没有极点，因此%=0，最后得到x(n)=(0.5-2-)25.已知网络的输入和单位脉冲响应分别为x(n)=anu(n),h(n)=历 a 1,0 b QZ X V 7 V 7 1-a-n-lbn+1 an+1-bn+l,/、八y(n)=乙 an-mbm=乙 a-mbm=an-=-n0 y(n)=0“1-a-ib a-b”m=0 m=0最后得到/、an+1-bn+l()=-u(n)a-b21(2)用ZT法求制x(z);-i,H(z);-i1 1 bz=X(z)飞“J仁忆)y(n)=Ny(z)z-idz2兀j c令n-1尸(z)=y(z)za=4-V-=U z-Q b-1Z+1(z-a)(z-b)心0,C内有极点出an+l bn+1 an+l bn+1y(n)=Re sF(z),a+Re s方(z)M=+=-a-b b-a ab因为系统是因果系统,00,最后得到/、an+l-bn+1y(zz)=-w(n)a-b28.若序列.)是因果序列，其傅里叶变换的实部如下式:口,、1 QCOSW 1H 讪)=-,R 1+22-2a cos w求序列.及其傅里叶变换e)。以ji)H(ejw)解:l 0.5(e 加+e-加)1-6ZC0S WH(c)=R/1+2 2cos w 1+2-a(ej+e-初)rr/、l 0.5(z+z-1)l 0.5(e加+e-初)(z)=-=-R l+2(z+z-i)(1ZT)(1Z)求上式IZT,得到序列.的共趣对称序列入。eh=(z)zadze 2nj c R22F(z)=H(z)z-iR0.5z2+z 0.5-Z,T因为地）是因果序列,必定是双边序列,收敛域取:闫 a-iN1时，C内有极点h(几)=ResS(z),。二一0.5。32+式-0.5/、-zT(z-a)一(Z )(Z 一 T)1a z=a 2n=0时，c内有极点q,0,F=H(z)zi R0.5z2+z 0.5-a(z-a)(z-a-i)所以又因为所以h(n)=Re sF(z),a+Re sF(z),O=1 eh(n)=h(-n)l,n=0h(n)-0e0.5。0h(),=0eh(n)=0=0,n 0=anu(n)0,n 0H(ejw)=E Qne-jwn1n=01 Ujw3.2教材第三章习题解答1.计算以下诸序列的N点DFT,在变换区间23。口（NT内，序列定义为x(n)=6(n)(4)x(n)=R(),0 m N m2兀：x(n)=cos(nm),0 mN(8)x(n)=sin(w)R(n)0 N(10)(、。x(n)=nR(n)N解:(2)X(k)=n=0nWkn=56()=1,左=0,1,4,N Nn=0X(k)=WknN n=01 W km Z(n /一)1-Wk N.71 7sm(mk)，攵=0,l,A,N-1./兀、sin(一m)N2n=0122k l-ejN(m-k)N,2zlz 7、z(m+k)nC N2n=0j-*(m+k)N+-1-.k=加且左=N-mN,0kN-l0,k H hi或左 N-m(6)x（）=E(8)SI.22.2a.22.,_(eJ Nmn+eN)门、/n 2n=0 n=0解法1直接计算cos(空zwi1 W加二Nx(n)=sin(w n)R(n)80 N=1L2je-jQnnX(k)=(X(n)W kn8n=0Ni y 一也加0”e-jw0n2jn=0严加 N241 1 2,_/(小)1 解法2由DFT的共趣对称性求解 因为x(n)=ejw(yR(n)=7Nlcos(w ri)+jsin(w n)/?(n)0 0 Nx(n)=sin(w n)R(n)=Imtr(n)80 N7所以DFrljx(n)=DFTjlmL(n)I=X(左)8 7 70即x(k)=-jX(左)-X*(N4)8 70 2 7 71 1 1 1 1 1 =-(-)*-(-2j_l-e-2Nk)l_e%Y(N-k)J 2j _()结果与解法1所得结果相同。此题验证了共朝对称性。(10)解法1X(k)=nWkn fc=0,l,A,N-1N n=0上式直接计算较难，可根据循环移位性质来求解X(k)o 因为 所以x(n)=nR(n)Nx(n)-x(n-1)R(n)+NS(n)=R(n)NN N25等式两边进行DFT得到X(k)X(kMk+N=N6(k)N故X(k)=Nd(左)-11-WkN=1,2A,N当。时，可直接计算得出X(0)V 仆 N 5 N(N 1)X(0)=乙 Z2*Wo=ZjH=_N 2n=0 n=0这样，X(k)可写成如下形式：N(N 1)X(k)=解法22N1-WkN，左=0，左=1,2A,N 1时，x(2小丝p n=0时，x(左)=0+W%+2W2%+3W3Z+A+(N 1)W(N-1)Z N N N NWknX(k)=0+W2k+2W3k+3W4 左+A+(N 2)W(n-dz+(N 1)N N N N NX(k)-WknX(k)=Wkn (N 1)=wkn 1 (N 1)=N N N N所以,n=ln=0 x(k)=-N1-WkN，左w 0即X(k)=N(N 1)2，=0-N1-Wk次=1,2A,N 1N262.已知下列x（幻9求Q）=/X（左）;(1)X(k)=N 7一efi=m2N 7 A7；一e-fi,k=N-m，20,其它左x（左）=N.,-jefi,k=mN.7葡je-fi,k=N-m0,其它左解:(1)1 At,-1 IN.22L N.汕、x(n)=IDFTX(k)=L W-kn=-ejeJ Nmn+e-jeeJ N(N-m)nN N N 2 2n=0-1 ejCmn+Q)+e-jCmn+Q)=cos(lmn+6),n=0,l,A N-1(2)x(n)=NN.N-.IC-mn+-CjW2 N 2 N=_/(N.+e)_eT(N”+e)=sin(mn+0),n=0,l,A A-l24 J N3.长度为N=10的两个有限长序列1,0 n 4 x(n)=i 0,5n9x(n)=2.l,0n4-l,5n9作图表示,5、Ji J1解/trr 与和y(n)=x(n)0227.、，、和分别如题3解图(a)、(b)、x(n)x(n)y(n)x(n)x(n)i 2 1 2(c)所示。14.两个有限长序列M)和v的零值区间为：M)=0,n 0,8 n y(n)=0,n 0,20 n 对每个序列作20点DFT,即X(k)=DFTx(n),k=0,1,19Y(k)=DFTy(n)lk=0,1,19如果F(k)=X(k)Y(k),k=a,lL,19 f(n)=IDFTF(k)lk=O,1X,19 试问在哪些点上小*,，为什么？解：如前所示，记仆*加)，而f(m=IDFTF(k)=X5)0 y()f(H)长度为27,/长度为20。已推出二者的关系为/(n)=/(n+20m)R(n)l 20m=-oo只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上，才满 足/=小)所以/(n)=/()=x(n)*y(n),7 n 7?(n)m lm 128r=oo因为y长度为 lmN+M-l=50+100-l=14930所以从n=20到127区域，丫，当然，第 y-y49点到第99点二者亦相等，“所以；所取出的第51点为从第49到99点的。综上所述，总结所得结论V=49 再=51选取y中第49-99点作为滤波输出。m5.2教材第五章习题解答1.设系统用下面的差分方程描述：y()-,5-2)=%()+94 o 3试画出系统的直接型、级联型和并联型结构。解-/trr 3 1 1y()-y(n-l)+-y(n-2)=x(n)+-x(n-l)将上式进行z变换3 1 1y(z)-Y(z)z-i+y(z)z-2=X(Z)+-X(z)z-i1+-Z-1H=-3 3 11-Z-1+-Z-24 8(1)按照系统函数“，根据Masson公式，画出直接型结构如题1解图(一)所示。(2)将“的分母进行因式分解1 11+-Z-1H(z)=,3 31I 11+-Z-1=3_（1_，ZT）（1_/Z-1）2 4按照上式可以有两种级联型结构:（a）1+3Z-1 iW H（Z）=一一一.（1-Z-0（1-Z-0 2 4画出级联型结构如题1解图（二）（a）所示（丁）（1-Z-1）画出级联型结构如题1解图（二）（b）所示（3）将进行部分分式展开1+-Z-1H(z)=ii(T)(i产 i)2 4(z)z1Z+3AB+-rZ41z+-1 1 3(Z”)GJ-/1z+3 1B=-ir(z_/(z-10二-z=321=z 二 一473Hz10 TZ210TZH(z)=Jz-273Zrz-473 rZ410 _，_+_：1 11-z-1 1-z-12 47332根据上式画出并联型结构如题1解图(三)所示。2.设数字滤波器的差分方程为y(n)=(a+b)y(n-1)-aby(n-2)+x(n-2)+(+b)x(n-1)+abx(n)试画出该滤波器的直接型、级联型和并联型结构。解：将差分方程进行Z变换，得到Y(z)=(+b)Y(z)z-i-abY(z)z-2+X(z)z-2+(a+Z?)X(z)z-i+abX(z)y(z)/7+(+/?)-1+n-2 H(z)=X(z)1-(+)z-i+abz-2(1)按照Massion公式直接画出直接型结构如 题2解图(一)所示。(2)将的分子和分母进行因式分解：H(z)=(+z-i)S+z-1)(1-6ZZ-1)(1-Z?Z-1)=5”)按照上式可以有两种级联型结构:(a)J(z)=z-i+a1-画出级联型结构如题2解图(二)(a)所示。b)q(z)=)=z-1+b1 az-iz-1+1-te-i33画出级联型结构如题2解图(二)(b)所示3.设系统的系统函数为_ 4(1+z-i)(l-1.414z-i+z-2),z-(l-0.5z-i)(l+0.9z-i+0.18z-2)试画出各种可能的级联型结构。解：由于系统函数的分子和分母各有两个因式，可以 有两种级联型结构。H=H(z)1 2(1)4（l+z-i）,l-0.5z-i1 1.414z-i+z-2 H(z)=2 1-0.9z-i+0.81z-2画出级联型结构如题3解图(a)所示“(Z)Jt+Z-2,1 l-0.5z-i4(1+z-i)H(z)=-2 1-0.9z-i+0.81z-2画出级联型结构如题3解图(b)所示。4.图中画出了四个系统，试用各子系统的单位脉 冲响应分别表示各总系统的单位脉冲响应，并求 其总系统函数。图d解/Ut*(d)h(n)=h(n)*h(n)+h(九)+h(n)1 2 3 4 534=h(n)*h(n)+h(n)*h(n)*h(n)+h(n)1 2 1 3 4 5Hg=H(z)H(z)+H H(z)H(z)+H(z)1 2 1 3 4 55.写出图中流图的系统函数及差分方程。图d解-(d)(z)=rsin0 ez-i1-rcosO z-i-rcosO z-i+r2 sim -2+/2 cos2-2rsinO z-i l-2rcos6 zi+/2Z2j(n)=2rcosOy(n-1)-r2y(n-2)+rsin0 x(n-l)6.写出图中流图的系统函数。图f解：(f)C 1 C C 12+2 2+z-1“=1 4 3=1 2 3J428%一2 J4产8.已知FIR滤波器的单位脉冲响应为 h(n)=8(n)-5(n-l)+8(n-4),试用频率采样结构实现该滤波器。设采样点数N=5,要求画出频率采样网络 结构，写出滤波器参数的计算公式。解：已知频率采样结构的公式为H(k)1 W-k z-i N式中，N=535H(k)=DFTh(n)=/z(n)W=X8(n)-8(n-l)+8(n-4)河加N Nn=0 n=0=1 6一依+d 4a，左=0,1,2,3,4它的频率采样结构如题8解图所示。6.2教材第六章习题解答1.设计一个巴特沃斯低通滤波器，要求通带截止频率 通带最大衰减 阻带截止频/一 a-dcll)p p率一外，阻带最小衰减3用。求出滤波器归一J 1 ZKilZ Cl-DCLD化传输函数“以及实际的“。a a(1)求阶数N。N=-.用1g入 spksp吧上=.吧匚。562 lOo i 1q QN a=sp Q pV 102.5-12ti x 12x103 c-=22n x6x103将k和入值代入N的计算公式得sp sp=_10.0562=4 15 lg2所以取N=5(实际应用中，根据具体要求，也可 能取N=4,指标稍微差一点，但阶数低一阶，使 系统实现电路得到简化。)(2)求归一化系统函数”，由阶数N=5直接H 5)a36查表得到5阶巴特沃斯归一化低通滤波器系统 函数”为aH(p)=-1-。+3.2361/+5.236103+5.23618+3.2361p+l或 H(p)=-i-a(p2+0.618/7+1)(2+1.618/7+1)(/?+1)当然，也可以按(612)式计算出极点：按(6.11)式写由表达式aH(p)=-a Ac(P-P)k=o代入 值并进行分母展开得到与查表相同的结pk果。(3)去归一化(即LPLP频率变换)，由归-化系统函数”得到实际滤波器系统函数。由于本题中：3叱 即Q-Q-26xl03M，因此P c pH(s)=H(p)sa a p=-。5S5+3.2361Q S4+5.2361Q2 53+5.2361Q3 S2+3.2361Q4 s+Q5对分母因式形式；则有 H(s)=H(p)p-Qaa37(52+0.6180Q 5。2)(52+1.61800 s-Q2)(s+Q)如上结果中，；的叔未代入相乘，应样使读者能 清楚地看到去启一化后，3dB截止频率对归一化 系统函数的改变作用。2.设计一个切比雪夫低通滤波器，要求通带截止频率 通带最在衰减速?力，阻带截J=ikrlz a=U.Zanp.p止频率f 12版，阻带最小衰减,50用。求出归一J=IZ/c/iz a (Jan化传输函数”和实际的a a解：(1)确定滤波器技术指标：a-Q2dB 9 Q=2k/=6k xlOsraJ/51p p pa=50dH,Q=2兀/=24k xl()3rad/sX=1,X=j=4 p s Qp(2)求阶数N和丁N _ Arch(k-i)Areg)10。-1“一-x 1456.6510。i“p 1N=4(665):/659 Arc/z(4)为了满足指标要求，取N=4。e=7100 1-1=0.217138(2)求归一化系统函数H(p)as 2n-C(p p)1.7386c(p-p)k kk=i k=其中，极点。由(6.2.38)式求出如下：kPk=-c(1)sin(Q；，)+jc/z6)cos(Q；，),k=1,2,3,4=Arsh(-)=-Arsh!-)x 0.5580N s 4 0.2171p=-c/z(0.5580)sin(l)+jc/z(0.5580)cos(-)=-0.4438+jl.07151 8 83兀 3兀p=-c/z(0.5580)sin(一)+jc/z(0.5580)cos()=-1.0715+J0.44382 8 85兀 5兀p=-c/z(0.5580)sin()+jc/z(0.5580)cos()=-1.0715-jO.44383 8 87ti 7kp=-c/z(0.5580)sin(一)+jc/z(0.5580)cos(一)=-0.4438jl.0715(3)4将“去归匚化，求得姿际滤波器系统函H(p)HaH(s)=H(2)_ sa q p-Q 4-=-1.7368口(5-。p)1.7368口(5-s)p k k其中k=lS 二。p k p k=6n xl03p,k-1,2,3,4 9 区=p*,p=p*所 k 4 13 2s=s*,s=s*4 1 3 2O将两对共施极点对应的因子相乘,得到分母为二阶因子的形式，其系数全为实数。以H(s)a7.2687x1016(52-2Re s s+卜|2)(2-2Re s s+卜|2)7.2687x1016(2+1.6731x1045+4.7791x108)(52+4.0394x1045+4.7790 x108)394.已知模拟滤波器的传输函数为：a(1)H(s)=土；a(S+)2+/72(2)H一 b o式中，a,b为常数,设“因果 n(o)-n)a(S+)2+/72 a稳定，试采用脉冲响应不变法，分别将其转换成 数字滤波器”。解/iJt*该题所给反正是模拟滤波器二阶基本节的两种 典型形式所以，求解该题具有代表性，解该题 的过程，就是导出这两种典型形式的“的脉冲 响应不变法转换公式，设采样周期为九(1)H _a(S+)2+/72(s)的极点为：as=-a-jb 9 s=-a-jb落“部芬分式展开(用待定系数法)：a八/、s-a A AH(s)=-=3+2a(S+)2+/72 S-S S-S 1 2A(s-s)+A(5-5)(A+A)s-As-As=_2 2_j_=2_i 2 2 1(S+Q)2+/72(S+Q)2+/72比较分子各项系数可知：A、B应满足方程：A+A=1J3+6-23-2H(s)=12s2+3s+1 s+0.5 s+143H(z)=1l-e-o.5Tz-i-1+-1-e-Tz-i T=2或通分合并两项得1-1=-+-1-e-iz-i l-e-2z-iH(z)=(e-i-e-2)z-i l-(e-i+e-2)z-i+e-3z-2(2)用双线性变换法H=H(s)2 1-z-ia s=.-,T=2Tl+z-i1(1+Z-1)2(1 ZT)2+(1 Z-1)(l+Z-1)+(1+ZT：1+2z-i+z-23+z-2H)=H(s)2 1-z-i t oTl+z-i_ 1-1-712(4)2+3J+ll+Z-1 l+Z-1(1+Z-1)22(111)2+3(1z-2)+(1+z-)244_ l+2z-i+z-2 6 2z-i7.假设某模拟滤波器是一个低通滤波器，又 a知M数字滤波器“的通带中心位于下 a _zil面的哪种情说？并说明原因。（1）3。（低通）；（高通）；（3）除0或兀外的某一频率（带通）。解：按题意可写出H=H a s=-z-1 故 cos .c z+1 e加+1.2.s=jQ=j-=j cot z-l z=ejw ejw 1 w 2 2 即|Q|=cot.原模拟低通滤波器以Q_0为通带中心，由上式可 知，Q=o时，对应于兀，故答案为（2）o459.设计低通数字滤波器，要求通带内频率低于 02.时，容许幅度误差在IdB之内；频率在0.3 到 之间的阻带衰减大于10dB；试采用巴特沃斯 71型模拟滤波器进行设计，用脉冲响应不变法进行 转换，采样间隔T=lmso解：本题要求用巴特沃斯型模拟滤波器设计，所 以，由巴特沃斯滤波器的单调下降特性，数字滤 波器指标描述如下：w=0.2nrad,a=ldB p pw=Q.3Ttrad,a=10dB采用脉冲响应不复法转换；所以，相应模拟低通 巴特沃斯滤波器指标为：WQ=0.2k x 1000=20071 rad/s a=ldBp T p=0.3k x 1000=300k(rad/s),a=10dB(1)求滤波器阶数N及归一化系统函数HJp)Igk-通1g九sp；叵三更三=0.1696sp vioo.i-i v loi-iq Q 30071 1 二A=4=-=1.5sp Q 20071p46取N=5,查表6.1的模拟滤波器系统函数的归一 化低通原型为：H(p)=-a xC(P P)k k=0p=-0.3090+70.9511=p*0 4p=-0.8090+)0.5818=p*1 3P=12将部分分式展开：a其中，系数为:H 5)=1 4a kWA=0.1382+jO.4253,oA=-0.8091-j-1.1135,iA=1.8947,2A=0.8091+jl.1135,3A=-0.1382-jO.42534(2)去归一化求得相应的模拟滤波器系统函数H(5)我们希望阻带指标刚好，让通带指标留有富裕量，所以按(6.2.18)式求3dB截止频率Q。CQ=Q(1Oo.i,-1)-=300兀(10-l)-w=756.566(rarf/5)c s口(、口(、S y Cl A V BH(s)=H(p)夕=乙_=乙。Q s-Ll p s-sc k=o c k k=o k47其中KT B=Q A,s=Q p。(3)再脉沛响应不变法将“转换成数字滤波器a系统函数：H(Z)Y BH(z)=乙-k-,T=1ms=IO-35l eyz-i4=o)一ef z-i我们知道，脉冲响应不变法的主要缺点是存在频 率混叠失真,设计的滤波器阻带指标变差。另外,由该题的设计过程可见，当N较大时，部分分 式展开求解系数4或5相当困难，所以实际工作 k k中用得很少，主要采用双线性变换法设计。48