东北育才2015-2016学年高一下学期第二次月考数学试题.doc

2015-2016学年下学期高一年级第二次阶段性考试
数学试卷
考试时间：120分钟 总分：150分 命题人：高一数学组
一、选择题：（每题5分，满分60分）
1.与最接近的数是（ ）
A． B． C． D．
2.执行如图所示的程序框图，若输出的S的值为，则实数的取值范围为（ ）

A. B. C. D.
3．设向量、、满足，且，则的值为（ ）
A. 7 B. 5 C. D.
4.某高中计划从全校学生中按年级采用分层抽样方法抽取20名学生进行心理测试，其中高三有学生900人，已知高一与高二共抽取了14人，则全校学生人数为( )
A. 2700 B. 2400 C. 3600 D. 3000
5. 中，、、分别是角、、的对边，若，且，则的值为 （ ）
A． 4 B. 3 C. 2 D. 1
6.已知是平面上不共线三点，是的重心，动点满足，则一定为的（ ）
A．边中线的三等分点（非重心）B．边的中点 C．边中线的中点 D．重心
7. 已知则（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，的边长为，分别是中点，记，，则( )
A. B.
C. D.，但的值不确定
9.在中任取两个不同的数作为坐标构成的平面向量的集合为，对中的每一个向量，作与其大小相等且数量积为零的向量，构成向量集合，分别在向量集合、中各任取一个向量，其满足的概率是（ ）
A. B. C. D.
10.在中，是直角，， 的内切圆交于点，点是图中阴影区域内的一点（不包含边界），若，则的值可以是
A. B. C. D
11.下列四个命题：
①函数的最小正周期是；
②函数是偶函数；
③函数的图象的一条对称轴为直线，则；
④函数在上单调递增。
上述说法中正确的是（ ）
A.① B. ①④ C. ②③ D. ①②③
12. 已知是锐角内一点，满足，且，若，则实数（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（每题5分，满分20分）
13. 已知为的角平分线,，则 .
14. 已知角的终边上一点的坐标为,则角的最小正值为 .
15.在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续天每天新增感染人数不超过人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是_____________
①平均数；②标准差；③平均数且极差小于或等于2；
④平均数且标准差；⑤众数等于1且极差小于或等于1.
16. 已知的三个内角所对的边分别为，则下列命题中正确的有 （填上你认为所有正确的命题序号）
①若，则是正三角形；
②若，则是正三角形；
③若，则是正三角形；
④若是边中点且，则是正三角形；
⑤若，则是正三角形.
三、解答题：（17题10分，18-22题，每题12分，满分70分）
17.设锐角△内角所对应的边分别为．已知．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，，求．

18．已知函数，且当时，的最小值为2.
（1）求的值，并求的单调增区间；
（2）将函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的倍，再把所得图象向右平移个单位，得到函数，求方程在区间上的所有根之和.

19．某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：
日 期
12月1日
12月2日
12月3日
12月4日
12月5日
温差（°C）
10
11
13
12
8
发芽数（颗）
23
25
30
26
16
该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．
（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；
（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程；
（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？
(注： )

20.如图，勘探队员朝一座山行进，在前后两处观察塔尖及山顶.已知在同一水平面，在同一平面且与水平面垂直．
设塔高，山高，，，仰角，仰角，仰角．

（Ⅰ）试用表示；
（Ⅱ）设仰角.写出（不必说明理由）用表示的代数式．

21.某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示．已知两组技工在单位时间内加工的合格零件平均数都为．
0
1

乙组
甲组

（1）分别求出，的值；
（2）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方差和，并由此分析两组技工的加工水平；
（3）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件个数之和大于，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．
（注：方差，其中为数据的平均数）．

22. 已知的面积满足,且,.
(Ⅰ)若,求的取值范围;
(Ⅱ)求函数的最大值.
2015-2016学年下学期高一年级第二次阶段性考试
数学试卷
考试时间：120分钟 总分：150分 命题人：高一数学组
一、选择题：（每题5分，满分60分）
BCCDB ABCDB CD
二、填空题：（每题5分，满分20分）
13. 14. 15. ③⑤ 16.①③④⑤
三、解答题：（17题10分，18-22题，每题12分，满分70分）
17.设锐角△内角所对应的边分别为．已知．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，，求．
解：（Ⅰ）因为，由正弦定理得：.
所以.
又因为是锐角，所以. ……4分
（Ⅱ）由余弦定理得.
因为，，，
所以有，整理得.
解得.
由余弦定理得. ……10分
18．已知函数，且当时，的最小值为2.
（1）求的值，并求的单调增区间；
（2）将函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的倍，再把所得图象向右平移个单位，得到函数，求方程在区间上的所有根之和.
解：（1） 2分
因为，时，的最小值为2，所以，. 4分

由，可得的单调增区间为
6分
（2） 9分
由，
. 11分
12分

19．某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：
日 期
12月1日
12月2日
12月3日
12月4日
12月5日
温差（°C）
10
11
13
12
8
发芽数（颗）
23
25
30
26
16
该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．
（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；
（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程；
（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？
(注： )
解：（1）设抽到不相邻两组数据为事件，因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有4种，
所以 ．…………………………………3分
故选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率是
（2）由数据，求得，，.
，，.
由公式，求得，
所以y关于x的线性回归方程为．…………………9分
（3）当x=10时，，|22－23|＜2；
同样，当x=8时，，|17－16|＜2．
所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的． ……………………12分

20.如图，勘探队员朝一座山行进，在前后两处观察塔尖及山顶.已知在同一水平面，在同一平面且与水平面垂直．
设塔高，山高，，，仰角，仰角，仰角．

（Ⅰ）试用表示；
（Ⅱ）设仰角.写出（不必说明理由）用表示的代数式．

解：
（Ⅰ）
由题意得：即：
所以
整理得.（或.) ……8分
（Ⅱ）用表示的代数式为：
21.某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示．已知两组技工在单位时间内加工的合格零件平均数都为．

乙组
甲组

（1）分别求出，的值；
（2）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方差和，并由此分析两组技工的加工水平；
（3）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件个数之和大于，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．
（注：方差，其中为数据的平均数）．
解：（1）根据题意可得：，∴，，∴；
（2）根据题意可得：
，
，
∵，，∴甲乙两组的整体水平相当，乙组更稳定一些；
（3）质监部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，设两人加工的合格零件数分别为，则所有的有,，，，，，，，，共计个，而的基本事件有，，，共计个基本事件，故满足的基本事件共有14，即该车间“质量合格”的基本事件有14个，故该车间“质量合格”的概率为．

22. 已知的面积满足,且,.
(Ⅰ)若,求的取值范围;
(Ⅱ)求函数的最大值.

所以

,所以
（2）

设

所以，
对称轴,所以当时，

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