有理数知识点及经典题型总结讲义.doc

一对一个性辅导
一对一七年级数学教师辅导讲义

课 题
第1讲 有 理 数
授课时间：

备课时间：

教学目标

1、掌握有理数的分类,学会把有理数对应的点画在数轴上；
2、掌握相反数、绝对值、倒数的求法,会比较有理数的大小；
3、掌握有理数的大小比较；
4、掌握有理数的加减乘除幂的运算法则，并会灵活解题。
教学内容
一、正数和负数
⒈正数和负数的概念
负数：比0小的数 正数：比0大的数 0既不是正数，也不是负数
注意：①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断）
②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。
2. 具有相反意义的量
若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：
零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃
3.0表示的意义
⑴0表示“ 没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人；
⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。

练习一
例1、 向北走2000米与向南走1000米，若规定向北走为正，则向北走2000米可记作 ，向南走1000米记作 ，原地不动课记作
例2、 七年级一班第一小组五名同学某次数学测验的平均成绩为85分，一名同学以平均成绩为标准，超过平均分记正，将五名同学的成绩分别记作—15分，—4分，0分，4分，15分。这五名同学的实际成绩分别是多少分？
例3、 观察下面依次排列的一列数，请接着写出后面的数，你能说出第15个、第101个、第2010个的数是什么？
1）、—1、—2、+3、—4、—5、+6、—7、—8、 、 、 ……
2）、—1、、—3、、—5、、—7、、 、 、 ……
易错点：
1）误认为凡带正号的数就是正数，误认为凡带负号的数就是负数
例：a一定是正数吗？
2）对于“0”的含义理解不准确
例：下列说法错误的是（ ）
A、0是自然数 B、0是整数 C、0是偶数 D、海拔0米表示没有海拔

二、有理数
1. 有理数的概念
⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）
⑵正分数和负分数统称为分数
⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。
理解：只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。
注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。
2. 有理数的分类
⑴ 有理数的意义分类 ⑵按正、负来分
正整数 正整数
整数 0 正有理数
负整数 正分数
有理数 有理数 0 （0不能忽视）
正分数 负整数
分数 负有理数
负分数 负分数

总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）
②负整数、0统称为非正整数
③正有理数、0统称为非负有理数
④负有理数、0统称为非正有理数

练习二
例1、把下列各数填在相应的集合内：
π，，-3，2，-1，-0.58，0，-3.14，，0.618，10
整数集合：｛ …｝
分数集合：｛ …｝
非负数集合：｛ …｝
例2、下列说法正确的是（ ）
A 有理数分为正数和负数 B 有理数-a一定表示负数
C 正整数、正分数、负整数、负分数统称为有理数 D 有理数包括整数和分数

数轴
⒈数轴的概念
规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。
注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；⑶同一数轴上的单位长度要统一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。
2.数轴上的点与有理数的关系
⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。
⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点π不是有理数）
3.利用数轴表示两数大小
⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；
⑵正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；
⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。
4.数轴上特殊的最大（小）数
⑴最小的自然数是0，无最大的自然数；
⑵最小的正整数是1，无最大的正整数；
⑶最大的负整数是-1，无最小的负整数
5.a可以表示什么数
⑴a>0表示a是正数；反之，a是正数，则a>0；
⑵a<0表示a是负数；反之，a是负数，则a<0
⑶a=0表示a是0；反之，a是0,，则a=0
6.数轴上点的移动规律
根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几，从而得到所需的点的位置。

练习三
例1、请画出一条数轴，并且在数轴上标出下面的有理数：3，-2，-3.5，，0，+2，0.5.

例2、如图所示，在数轴上，点A,B,C,D依次表示1.5，-2，2，-2.5。说出各点与原点的位置关系以及与原点的距离是多少个单位长度？

例3、如图，数轴上所标出的点中，相邻两点间的距离相等，则点表示的数为（ ）
A、30 B、50 C、60 D、80
例5、如图，数轴的一部分被墨水污染，被污染的部分内含有的整数为___________

例6、文具店、书店和玩具店一次坐落在一条笔直的东西走向的大街上，文具店位于书店西边20m处，玩具店位于书店东边100m处。小明从书店沿街向东走了40m，接着又向东走了60m，你知道此时小明的位置在哪吗？

例7、有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示，求的值

四、相反数
⒈相反数
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。
注意：⑴相反数是成对出现的；⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；

⑶0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。
2.相反数的性质与判定
⑴任何数都有相反数，且只有一个；
⑵0的相反数是0；
⑶互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=0
3.相反数的几何意义
在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点；原点表示0的相反数。
说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。
4.相反数的求法
⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：5的相反数是-5）；
⑵求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添“-”，然后化简（如；5a+b的相反数是-（5a+b）。化简得-5a-b）；
⑶求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简(如：-5的相反数是-（-5），化简得5)
5.相反数的表示方法
⑴一般地，数a 的相反数是-a ，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。
当a>0时，-a<0（正数的相反数是负数）
当a<0时，-a>0（负数的相反数是正数）
当a=0时，-a=0，（0的相反数是0）
考试常考：已知a,b互为相反数，立马要想到a+b=0.
6.多重符号的化简
多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；“-”号的个数决定最后化简结果；即：“-”的个数是奇数时，结果为负，“-”的个数是偶数时，结果为正。
如.
练习四
例1、有理数的相反数是（ ）
（A） （B） （C）3 （D） –3
例2、a的相反数是 ， -a的相反数是 ， 0的相反数是
例3、若a和b互为相反数，则a+b=
例4、如果，那么，两个实数一定是 （ ）
A.都等于0 B.一正一负 C.互为相反数 D.互为倒数
例5、如果与1互为相反数，则等于（ ）
A．2 B． C．1 D．

五、绝对值
⒈绝对值的几何定义
一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。
2.绝对值的代数定义
⑴一个正数的绝对值是它本身； ⑵一个负数的绝对值是它的相反数； ⑶0的绝对值是0.
可用字母表示为：
①如果a>0，那么|a|=a； ②如果a<0，那么|a|=-a； ③如果a=0，那么|a|=0。
可归纳为①：a≥0，<═> |a|=a （非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。）
②a≤0，<═> |a|=-a （非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。）
3.绝对值的性质
任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。所以，a取任何有理数，都有|a|≥0。即⑴0的绝对值是0；绝对值是0的数是0.即：a=0 <═> |a|=0；
⑵一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0.即：|a|≥0；
⑶任何数的绝对值都不小于原数。即：|a|≥a；
⑷绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若|x|=a（a>0），则x=±a；
⑸互为相反数的两数的绝对值相等。即：|-a|=|a|或若a+b=0，则|a|=|b|；
⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。即：|a|=|b|，则a=b或a=-b；
⑺若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0，则a=0且b=0。
（非负数的常用性质：若几个非负数的和为0，则有且只有这几个非负数同时为0）
4.有理数大小的比较
⑴利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小；
⑵利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数。
5.绝对值的化简
①当a≥0时， |a|=a ； ②当a≤0时， |a|=-a
6.已知一个数的绝对值，求这个数
一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离，一般地，绝对值为同一个正数的有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为0的数是0，没有绝对值为负数的数。
例1.已知︱a︱=5,︱b︱=8,且︱a+b︱= -(a+b),试求a+b的值。

练习2.已知︱a︱=5,︱b︱=8,且∣ab∣= -ab,试求a+b的值。

有理数的加减法
1.有理数的加法法则
⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
⑶互为相反数的两数相加，和为零；
⑷一个数与零相加，仍得这个数。
2.有理数加法的运算律
⑴加法交换律：a+b=b+a
⑵加法结合律：a+b)+c=a+(b+c)
在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：
①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”；
②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”；
③分母相同的数先相加——“同分母结合法”；
④几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”；
⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。
3.加法性质
一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加0后的和等于原数。即：
⑴当b>0时，a+b>a ⑵当b<0时，a+b去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为：a-b=a+(-b)。
5.有理数加减法统一成加法的意义
在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算。
在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。如：
(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.
和式的读法：①按这个式子表示的意义读作“负8、负7、负6、正5的和”
②按运算意义读作“负8减7减6加5”
6.有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧：
Ⅰ.把符号相同的加数相结合（同号结合法）
(-33)-(-18)+(-15)1)+(+23)
原式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23) （将减法转换成加法）
=-33+18-15-1+23 （省略加号和括号）
=(-33-15-1)+(18+23) （把符号相同的加数相结合）
=-49+41 （运用加法法则一进行运算）
=-8 （运用加法法则二进行运算）
Ⅱ.把和为整数的加数相结合 （凑整法）
(+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8)
原式=(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8) （将减法转换成加法）
=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8 （省略加号和括号）
=(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8 （把和为整数的加数相结合）
=4-10+3.8 （运用加法法则进行运算）
=7.8-10 （把符号相同的加数相结合，并进行运算）
=-2.2 （得出结论）
Ⅲ.把分母相同或便于通分的加数相结合（同分母结合法）
--+-+-
原式=(--)+(-+)+(+-)
=-1+0-=-1

Ⅳ.既有小数又有分数的运算要统一后再结合（先统一后结合）
(+0.125)-(-3)+(-3)-(-10)-(+1.25)
原式=(+)+(+3)+(-3)+(+10)+(-1)
=+3-3+10-1
=(3-1)+(-3)+10
=2-3+10
=-3+13
=10
Ⅴ.把带分数拆分后再结合（先拆分后结合）
-3+10-12+4
原式=(3+10-12+4)+(-+)+(-)
=-1++
=-1++
= -
Ⅵ.分组结合
2-3-4+5+6-7-8+9…+66-67-68+69
原式=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+…+(66-67-68+69)
=0
Ⅶ.先拆项后结合
（1+3+5+7…+99）-（2+4+6+8…+100）

有理数的乘除法
1.有理数的乘法法则
法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（“同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三）
法则二：任何数同0相乘，都得0；
法则三：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数；
法则四：几个数相乘，如果其中有因数为0,则积等于0.
2.倒数
乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为a·=1（a≠0），就是说a和互为倒数，即a是的倒数，是a的倒数。
注意：①0没有倒数；
②求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置；
③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。（求一个数的倒数，不改变这个数的性质）；
④倒数等于它本身的数是1或-1,不包括0。
考试经常考：已知a,b互为倒数，立马要想到ab=1.
例2.已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值为5．试求下式的值：

3.有理数的乘法运算律
⑴乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即ab=ba
⑵乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即(ab)c=a(bc).
⑶乘法分配律：一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加。即a(b+c)=ab+ac
4.有理数的除法法则
（1）除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数。
（2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0
5.有理数的乘除混合运算
（1）乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。
（2）有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照‘先乘除，后加减’的顺序进行。
练习3.快速计算
（1) ---------减法没有结合律!

（2） -----------除法没有结合律!

（3） -----------除法没有分配律!

（4） --------------同一级运算时一定要从左向右!

有理数的乘方
1.乘方的概念
求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在 中，a 叫做底数，n 叫做指数。
2.乘方的性质
（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。
（2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。
练习4：计算：

练习5．为正整数时， +的值是（ ）
A．2 B．-2 C．0 D．不能确定
练习6：1.计算： 2.已知，求的值。

练习7：观察下列算式发现规律：，，，，，，，……，用你所发现的规律写出：的末位数字是________。

练习8：某校初一年级共有8个班，以每班65人为标准，超过的人数记为正数，不足的人数记为负数，统计情况记录如下：-1，-6，+2，-3，+4，0，-7，+3，求该校初一年级总人数。

有理数的混合运算
做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：
1.先乘方，再乘除，最后加减；
2.同级运算，从左到右进行；
3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。

科学记数法
把一个大于10的数表示成 的形式（其中， n是正整数）这种记数法是科学记数法。
如:地球上的陆地面积约为149 000 000km2，用科学记数法表示为 。

第1讲 作业
一．填空题
1．－│－7│的相反数为____，相反数等于本身的数为_______．
2．已知│x│=，│y│=，且xy>0，则x－y=______．
3．x与2的差为，则－x=_____．
4．近似数1.50精确到_______，78950用科学记数法表示为_____．
5．按规律写数，－，，－，…第6个数是______．
二、选择题
1.下列说法正确的是（ ）
A. 最小的有理数是0；
B. 最大的负整数是－1；
C. 最小的自然数是1；
D. 最小的正数是1.
2.下列说法正确的是（ ）
A. 两个有理数的和为零，则这两个有理数都为0；
B. 两个有理数的和一定大于其中任何一个加数；
C. 两个有理数的和为正数，则这两个数中至少有一个加数是正数；
D. 两个有理数的和为负数，则这两个数一定都是负数.
3.下列说法正确的是（ ）
A. 一个正数减去一个负数，结果是正数；
B. 零减去一个数一定是负数；
C. 一个负数减去一个负数，结果是负数；
D. “－2－3”读作“负2减负3”
4.下列说法正确的是（ ）
A. 个有理数相乘，当因数是奇数个时，积为负；
B. 个有理数相乘，当正因数有奇数个时，积为负；
C. 个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负；
D. 个有理数相乘，当积为负时，负因数有奇数个.
5.下列说法正确的是（ ）
A. 相反数是本身的数是1和0；
B. 倒数是本身的数是1和0；
C. 绝对值是 本身的数是0和正数；
D. 平方等于64的数是8.
6、已知字母、表示有理数，如果+=0，则下列说法正确的是（ ）
A . 、中一定有一个是负数 B. 、都为0
C. 与不可能相等 D. 与的绝对值相等
7、一个数的平方为16，则这个数是（ ）
A.或 B. C. D.或
8、绝对值大于2且小于5的所有整数的和是 （ ）
A. 7 B. －7 C. 0 D. 5
10、等于（ ）
A． B. C. D.
11、数轴上的点A、B、C、D分别表示数a、b、c、d，已知A在B的右侧，C在B的左侧，D在B、C之间，则下列式子成立的是（ ）
A、aa C、c-0.5，则a是正数 B、若<0，则
C、若，则 D、若，则
14、a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，则下列结论中错误的是（ ）
A、a+b<0 B、a+c<0 C、a-b>0 D、b-c<
三、计算
1、+－4.8 2、

3、 4、

5、+ 6、

7、…

四、解答题
1．如果、互为相反数，、互为倒数，没有倒数，的绝对值等于2．
那么代数式的值是多少？请你求出来．

2、已知与互为相反数，求的值。

3、已知均为非零的有理数，且，求的值。

4．“”代表一种新运算，已知，求的值．其中和满足方程．

五、某地探空气球的气象观测资料表明，高度每增加1千米，气温大约降低6℃。若该地地面温度为21℃，高空某处温度为－39℃，求此处的高度是多少千米？

六、找规律：下列数中的第2003项是多少？2004项呢？第n个呢？
1，－2，3，－4，5，－6··· ···

七、下表记录的是流花河今年某一周内的水位变化情况，上周末（星期六）的水位已达到警戒水位33米。（正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降）
⑴本周哪一天河流的水位最高？哪一天河流的水位最低？它们位于警戒水位之上还是之下？
⑵与上周末相比,本周末河流的水位是上升了还是下降了？
⑶以警戒水位作为零点，用折线统计图表示本周的水位情况。
星期
日
一
二
三
四
五
六
水位变化（米）
＋0.2
+0.8
-0.4
+0.2
+0.3
-0.5
-0.2

水位变化（米） 解：
1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

日 一 二 三 四 五 六 星期

14