1、 线线垂直测试题
1.如图，已知四边形ABCD 是矩形，PA⊥平面ABCD，
M, N分别是AB, PC的中点.
(1)求证：MN∥平面PAD；(2)求证：MN⊥DC；
2．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°，且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直底面ABCD.
(1) 若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD； (2)求证：AD⊥PB；
3．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面．
（Ⅰ）若，分别为，中点，求证：∥平面；
（Ⅱ）求证：；
4．在直
2、三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，点D在棱AB上．
(1)求证：AC⊥B1C；
（2）若D是AB中点，求证：AC1∥平面B1CD.
5．如图，四边形PCBM是直角梯形，，，，．又，，，直线与直线所成的角为60°．
（1）求证：； （2）求三棱锥的体积.
A
P
C
B
M
6．如图,三棱柱中,,,.
(1)证明:;
(2)若,,求三棱柱的体积.
7．如图, 已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC,CE∥BG，且，平面ABCD
3、⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2.
（1）求证: EC⊥CD ；
（2）求证：AG∥平面BDE；
（3）求：几何体EG-ABCD的体积.
线线垂直答案
1.（1）设PD的中点为E，连AE, NE，则易得四边形AMNE是平行四边形，则 MN∥AE ，
， 所以 MN∥平面PAD
（2）∵PA⊥平面ABCD ， CD，∴PA⊥CD
又AD⊥CD , PA∩DA=A，∴ CD平面PAD ，∵
∴CD⊥AE ∵
4、MN∥AE ∴MN⊥DC
2．(1)证明：∵在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，
G为AD的中点，得BG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD.
(2)证明：连结PG，因为△PAD为正三角形，G为AD的中点，得PG⊥AD.
由(1)知BG⊥AD，
∵PG∩BG＝G，PG⊂平面PGB，BG⊂平面PGB
∴AD⊥平面PGB.
∵PB⊂平面PGB，∴AD⊥PB.
3．证明：（Ⅰ）如图，连结．
因为底面是正方形，
所以与互相平分．
又因为是中点，
所以是中点．
在△中，是中点，是中点，
所以
5、∥．
又因为平面，平面，
所以∥平面． 4分
（Ⅱ）因为平面底面，且平面平面，
又，平面，
所以面．
又因为平面，
所以．即． 9分
4．.(1)证明：在△ABC中，因为AB=5，AC=4，BC=3，
所以AC2+BC2=AB2，所以AC⊥BC．
因为直三棱柱ABC-A1B1C1，所以CC1⊥AC，
因为BC∩AC=C，所以AC⊥平面BB1C1C．
所以AC⊥B1C． 6分
（2）连结BC1，交B1C于E，连接
6、DE．
因为直三棱柱ABC-A1B1C1，D是AB中点，所以侧面BB1C1C为矩形，
DE为△ABC1的中位线，所以DE//AC1．
因为DE平面B1CD，AC1平面B1CD，所以AC1∥平面B1CD． 12分
5.（1）证明：∵,，又
∴ ⊥平面，平面ABC， ∴ 5分
（2）过做,连接，
则，MN⊥平面ABC, 7分
在中，由余弦定理得，
在中，, ∴
∴点M到平面的距离为1，
而 10分.
∴ 12分
6.(1)取AB的中点,连接、、,
因为CA=CB,所以,由于,,故为等边三角形，
所以, 因为，
所以平面.又，故.
(2)由题设知都是边长为2的等边三角形，
所以
7．（1）证明：由平面ABCD⊥平面BCEG，
平面ABCD∩平面BCEG=BC, 平面BCEG,
EC⊥平面ABCD，3分
又CD平面BCDA, 故 EC⊥CD4分
（2）证明：在平面BCDG中，过G作GN⊥CE交BE于M，连DM，则由已知知；MG=MN，MN∥BC∥DA,且
MG∥AD,MG=AD， 故四边形ADMG为平行四边形，
AG∥DM6分
∵DM平面BDE，AG平面BDE， AG∥平面BDE8分
（3）解： 10分
12分
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