教案1-矩阵.doc

第一章 教学内容：

（总计课时：9学时）：
l 矩阵的概念 　　（2学时）
Ø 矩阵的定义、性质；
Ø 矩阵的相等；
Ø 几种特殊矩阵。
l 矩阵的运算 　　（2学时）
Ø 矩阵的加减法、数乘；
Ø 矩阵的乘法；
Ø 矩阵的转置；
Ø 方阵的幂。
l 矩阵的初等变换 　　（3学时）
Ø 矩阵的初等行变换；
Ø 阶梯矩阵
Ø 简化阶梯矩阵。
l 矩阵的秩 　 　（1学时）
Ø 矩阵的秩；
Ø 矩阵的秩的求法。
l 逆矩阵 　　 （2学时）
Ø 逆矩阵概念；
Ø 求逆矩阵。

第一章 矩 阵
§1.1 矩阵的概念

矩阵是线性代数的主要研究对象之一，它在数学的其它分支以及自然科学、现代经济学、管理学和工程技术领域等方面具有广泛的应用。 在本课程中，矩阵是研究线性变换、线性方程组求解的有力且不可替代的工具, 在线性代数中具有重要地位。

矩阵的引入：我们平时常用列表的方式表示一些数据及其数据间的关系。
比如：学生成绩表、工资表、产品产量表等等，为了处理方便可以将它们按照一定的顺序组成一个矩阵数表如下。

例1 ：某企业月份、产品、产量与数表的关系：
某生产部门生产甲，乙，丙，丁四种产品，1～3月份生产数量如下表（单位：吨）
产量
月份
产品

甲
乙
丙
丁
一
50
30
25
10
二
30
60
25
20
三
50
70
0
25

我们把表中的数据按照原来的位置排列出来，就把产量表简写成一个“矩形数表”的形式：

…………这就是矩阵。

一、 矩阵的概念
1、 矩阵的定义
定义1.1：设有个数 排成行列的矩形阵表，
元素
记做如下形式：
行标

列标

称为一个矩阵。
其中： ——称为第行第列元素。
通常用大写字母表示矩阵。
为表明矩阵的行数和列数，矩阵也可简记为：
或
2、 几点说明
① 若，，且，则称两矩阵同型；
② 若，，且，则称两矩阵相等。
举例：
两矩阵同型

两矩阵相等

二、 几种特殊矩阵
1、 零矩阵——个元素全为零的矩阵，称为零矩阵。记作：
或
注意： 不同的零矩阵未必相等的！
2、 行矩阵——只有一行的矩阵，称为行矩阵，记作：

3、 列矩阵——只有一列的矩阵，称为列矩阵，记作：

4、 方阵——行数和列数都等于的矩阵，称为阶矩阵或阶方阵，记作：
主对角线

说明：其中元素称为阶方阵的主对角元素，
过元素 的直线称为阶方阵的主对角线 。
5、 单位矩阵——主对角线上的所有元素全为1，其余元素全为零的阶方阵称为
阶单位矩阵， 即：且：
记作：， 简记：
全为1

§1.2 矩阵的运算

一、 矩阵的线性运算
1、 矩阵的加、减法
定义1.2：设有两个矩阵，，，将它们的对应位置
的元素相加，所得到的矩阵，称为矩阵A与矩阵B的和，
记作：，

注意： 只有同型矩阵才能进行加法运算。

矩阵加法满足的运算律：
⑴ (交换律) ;
⑵ (结合律) ;
⑶ ;
⑷ ;
⑸ (减法) 。

例1 已知：，， 求：；问：有意义么？
解：
无意义！（不同型）
例2：已知： ，求：的值。
解： 由已知条件，有：
则： 解得：
例3：设 ，，求满足的矩阵
解： 把等式两边同时减矩阵，得：

2、 数乘矩阵
定义1.3：用数乘矩阵的每一个元素所得的矩阵，称为数与矩阵
的积，记作：

注意： 数乘矩阵是数去乘中的每一个元素。

数乘矩阵满足的运算律
⑴ ;
⑵ ;
⑶ ;
⑷；
⑸ ；。

例4： 已知 ，求：，。
解： ；
。

例5： 已知 ，，
若矩阵满足关系式，求：。
解： 由关系式 得：

说明：以上矩阵的加法与数乘矩阵合称为矩阵的线性运算。

二、 矩阵的乘法(重点)
1、 矩阵的乘法
定义1.4：设矩阵，矩阵，即：
， ，
则定义与的乘积是一个的矩阵，
记作：
其中，

（等于左的第行的所有元素与右的第列的对应元素乘积的和。）
2、 几点说明
① 相乘条件： 左矩阵Ａ的列数等于右矩阵Ｂ的行数 ；
② 相乘方法：——乘积矩阵的元素等于左Ａ的第行与右Ｂ 的第列的对应元素乘积的和） ；
③ 相乘结果：——乘积C矩阵的行列数，分别取自左Ａ的行数，右B的列数。

例6： 已知 ，， 求：，。
解：
同理：
此例说明：①；　②,，但。
即:两个非零矩阵的乘积可能等于零矩阵！（此不同于数字乘积的规律）
例7：已知 ，， 求：，。
解：
无法计算！
因为矩阵的列数为2，矩阵的行数为3，所以不符合矩阵乘法的条件，故不存在。
此例说明：两个矩阵，若存在， 也不一定存在。

例8：设矩阵，，，求：，。
解：

此例说明：，一般也不能导出：（不满足消去律！）

例9：设矩阵，验证：
证：

一般地，对任意矩阵，只要 有意义，一定有：（由此可见，单位矩阵起着数“1”的作用！）

3、 矩阵乘法满足的运算律
⑴ 结合律:;
⑵ 分配律:;
⑶ 对任意常数,有:
⑷ (矩阵起到数“0”的作用)；
⑸ (矩阵起到数“1”的作用)。
4、 矩阵乘法的三大特征
⑴ 无交换律 即：;
⑵ 无消去律 即：
⑶ 若或。
学生自练1：已知： ，， 求：，。
解： ；

此例看出：与矩阵的乘积为一阶方阵，即一个数；而与矩阵的乘积是一个阶方阵。
学生自练2：已知 ，求：的值。
解： 由题意得：
即：。
三、 方阵的幂
1、 定义
定义1.5：设是阶方阵，（为自然数），则个连乘所得到
的积仍是阶方阵，称为方阵的次幂，记作：。
即：
规定：

说明：① 只有方阵才有幂运算！
② 只能是正整数。

2、 方阵幂运算满足运算律
⑴ ;
⑵
例10：已知：，，
求：⑴ ； ⑵ ； ⑶ ； ⑷ 。
解： ⑴
；
⑵
；
⑶ ；

⑷

学生自练：设 ，求：
解：

四、 矩阵的转置
1、 转置的定义
定义1.6：将矩阵的行与列互换，得到的矩阵，称为矩阵的转置矩阵，
记作： 或
即设：
则：

2、 转置满足的运算律
⑴ ;
⑵ ；
⑶ ;
⑷

例11：已知：，， 求：⑴ ； ⑵ 。
解： ⑴ 首先计算：
； ∴
⑵ ， 显然：
§1.3 矩阵的初等变换

矩阵的初等变换起源于线性方程组的求解问题。利用初等变换将矩阵化为“形状简单”的矩阵，再通过来研究的有关性质，这种方法在矩阵的求逆及解线性方程组等问题中起着非常重要的作用。
一、 矩阵的初等行变换
1、 初等行变换
定义1.7：对矩阵施以下列三种变换，称为矩阵的初等行（列）变换：
⑴ 互换变换：交换矩阵的任意两行（列），记作：
⑵ 倍法变换：以数乘以矩阵的任意一行（列）中的所有元素，记作：
⑶ 消去变换：把某行的倍加到另一行（列）对应元素上，记作：。
这三种变换称为矩阵的初等行（列）变换。
矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换。
2、 符号描述
⑴ 互换变换：交换任意两行，符号表示：
⑵ 倍法变换：第 行 倍，符号表示：
⑶ 消去变换：第行倍加到第行上，符号表示：

3、 等价关系
如果矩阵经过有限次初等变换化为矩阵，则称等价，记为
矩阵的等价具有以下性质：
⑴ 自反性：
⑵ 对称性： 若，则
⑶ 传递性：若，，则
二、 阶梯矩阵
1、 行阶梯矩阵
定义1.8：已知非零矩阵，若它满足下面两个条件：
⑴ 若矩阵有零行(元素全为“0”的行)，则全在矩阵的最下方；
⑵ 矩阵的各非零行(元素不全为“0”的行)，从，第一个非零元素下方的元素均为0 。
满足上述两条，则称矩阵称为行阶梯形矩阵。
行阶梯矩阵——如果矩阵中元素全为零的行在最下面，而非零行中非零元素自上
而下逐行减少并呈阶梯状，称此矩阵为行阶梯形矩阵。

A、B为阶梯矩阵。

不为0

C为非阶梯矩阵

2、 利用初等行变换化阶梯形矩阵
化阶梯形矩阵步骤：
⑴ 首先使第一行第一个元素为“1”，然后将其下方同列元素化为“0”；
⑵ 再将第二行从第一个非零元素下方元素化为“0”，依次类推，直至将矩阵化为阶梯形矩阵。

利用矩阵的初等变换将矩阵化为行阶梯矩阵是解决矩阵问题的主要方法之一，
同学们应该熟练掌握！
例1：利用初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵。
解：
…………即为阶梯形矩阵。
例2：利用初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵 。
解：
（此为阶梯形矩阵）。

学生自练1：利用初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵。

解：
（此为阶梯形矩阵）。

三、 简化阶梯矩阵
1、 简化阶梯矩阵
定义1.9：如果阶梯形矩阵还满足：
⑴ 各非零行首非零元素皆为“1” ；
⑵ 各非零行首非零元素所在列的其余元素均为“0”。
则称该阶梯形矩阵为简化阶梯形矩阵。

2、 化简化阶梯形矩阵
⑴ 先化阶梯形矩阵（按照前面方法）；
⑵ 将上述阶梯形矩阵的各非零行从第一个元素化为“1”，直至所有非零行第一个元素全为“1”；
⑶ 从非零行最后一行起，将该非零行首非零元素“1”上方的元素化为“0” ，从，依次类推，直至将所有非零行首非零元素“1”所在列的其余元素化为“0”，即为简化阶梯矩阵了。

例3：利用初等行变换将矩阵化为简化阶梯形矩阵。
解：
（阶梯矩阵）
（简化阶梯矩阵）。
学生自练2：将下列矩阵化为简化阶梯形矩阵。
解：

§1.4矩阵的秩

一、 矩阵的秩
由前所述，任何一个矩阵都可以经过有限次初等行变换化为阶梯矩阵。一个矩阵的阶梯矩阵不唯一 ，但其非零行的行数是唯一的。
1、 矩阵的秩
定义1.10：矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵以后，该阶梯形矩阵的非零行的行数称
为矩阵的秩。记作：

矩阵的秩是矩阵的本质属性之一，在今后讨论逆矩阵和线性方程组时，有重要作用！

定理1：矩阵经初等变换后，不改变矩阵的秩。

2、 用初等变换求矩阵的秩
步骤如下：
⑴ 将矩阵用初等行变换化为阶梯形矩阵；
⑵ 数出该阶梯形矩阵非零行的行数；
⑶ 得矩阵的秩：。
例4： 已知矩阵， 求：
解：

数出阶梯形矩阵非零行的行数既为矩阵的秩。
∴

例5：已知矩阵，求：，
解：

（阶梯形矩阵） ∴
而：
∴
由此得到一个结论：
结论是：矩阵的转置不改变矩阵的秩！

3、 满秩矩阵
由矩阵定义可知，对一个矩阵，，其秩不大于行数，且不大于列数，即：
当矩阵的秩符合下述条件，
时
则称矩阵为——满秩矩阵。
特别地：当 。 例如：
，， ∴为满秩矩阵。
，，∴为满秩矩阵。
，，而最小的行数=列数=4， ∴ 为非满秩矩阵。
定理2：任何满秩矩阵都能经过初等行变换化为单位矩阵。
例6 设矩阵， 试判断是否为满秩矩阵，若是，将化为单位矩阵。
解： 此为阶梯形矩阵，
∴ 为满秩矩阵。
继续化为阶梯形矩阵如下：
此为单位矩阵。
§1.5 逆矩阵

一、 逆矩阵概念及性质
在数的运算中，对于数 ，总存在唯一一个数 ，
使得：
数的逆在解方程中起着重要作用！
例如：解一元线性方程 ，
当 时，其解为：
（此解可看做是在方程 两边同时乘以，得：

那么，对于一个矩阵，是否也存在一个类似计算？

1、 逆矩阵概念
定义1.11：对于阶方阵，如果存在一个阶方阵，使得：

则称方阵是可逆矩阵，且称方阵是方阵的逆矩阵，记作：

说明：⑴ 矩阵必须是方阵，不是方阵根本不存在逆矩阵；
⑵ 与互为逆矩阵，即：，
⑶ 如果方阵是可逆矩阵，则它的逆矩阵是唯一的；
⑷ 不是所有方阵都可逆，显然零矩阵不可逆。
（ ∵ 没有任何一个方阵满足）

2、 逆矩阵性质
⑴ 如果方阵可逆，则它的逆矩阵也可逆，即：

⑵ 如果方阵可逆，则它的转置矩阵也可逆，即：

⑶ 如果、为同阶可逆矩阵，则它们的积也可逆，即：

不是所有矩阵均可逆！那么什么样的矩阵才是可逆的？ 如何求逆矩阵？

二、 逆矩阵求法
1、 方阵可逆的充要条件
[定理1]：方阵可逆的充分必要条件是：满秩。
即： 满秩矩阵一定是可逆的！

满秩矩阵——设是阶矩阵，若，则称A为满秩矩阵。

由矩阵定义可知，对一个矩阵，，其秩：

最小的行数和列数
当矩阵的秩符合下述条件：
时
则称矩阵为——满秩矩阵。
任何满秩矩阵都能经过初等行变换化为单位矩阵！

[定理2]：若对可逆矩阵施以有限次初等行变换可化为单位矩阵，则对施以同样的初等变换一定能化为。
即：

2、 逆矩阵的求法
由此可得到用初等变换求逆矩阵的方法：
⑴ 在阶方阵的右侧加上与同阶的单位矩阵，构成分块矩阵 ；
⑵ 对这个矩阵作初等行变换，使子块化为，同时子块就化为了，
即：

例1： 已知矩阵：，求：是否可逆，如可逆求出。
解：做矩阵

即：，则
化为单位矩阵，必可逆。）
则： 。

例2：已知矩阵：，判断是否可逆？
解：做矩阵

∵ 左侧子块不能化为，（即不满秩）
∴ 不可逆，也即没有逆矩阵。

三、 解矩阵方程
归纳矩阵方程三种类型解的形式如下：

例3：解矩阵方程 ，其中：，
解：首先求，做矩阵

∴ ，
由得：
。

例4：解矩阵方程 ，其中：，
解：首先求，做矩阵

，
∴ ， 由 得：
。

例5：解矩阵方程： ，
，，
解： 首先求和：

∴ ，
而：
∴ ，

由得：

。

27
第一章 矩阵