甘肃省天水市高三数学上学期第三次考试试题-理-新人教A版.doc

天水一中2010级2012——2013学年度第一学期第三次考试试题
数学（理科）
试卷说明：
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟，请将你所做各题答案写在试卷后面的答题卡上.
一、选择题（每小题5分，共60分．下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）
1、已知集合，，则为（ ）
（A） (B) (C) (D)
2.函数的图像大致为（ ）

3．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是(　　)
A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β

B．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β
C．若m∥n，m∥α，则n∥α
D．若n⊥α，n⊥β，则α∥β
4．已知{为等比数列，若的值为（ ）
A．10 B．20 C．60 D．100
5．已知等差数列的前项和为，且,则（ ）
A． B． C． D．4
6．一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何的体积为（ ）

A． B．
C．
D．
7、定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则（ ）
（A） （B）
（C） （D）
8、函数满足且时，，函数则函数在区间内的零点个数为（ ）
（A）5 （B）7 (C)8 (D) 10
9．在△ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，AC=1，M 为 AB 中点，将△ACM 沿 CM 折起，使 A、B 间的距离为 ，则 M 到面 ABC 的距离为 （ ）
A． B．
C．1 D．
10．函数的图像恒过定点 A，若点 A 在直线且m,n>0则 3m ++n 的最小值为 （ ）
A．13 B．16 C．11+ D．28
11．若 函 数 且|-|的 最 小值为的值为（ ）
A． B． C． D．
12．已 知 A 、 B 、 C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 点 ， O 是 三 角 形 ABC 的 重 心 ， 动 点 P 满 足，则点 P 一定为三角形的 （ ）
A．AB 边中线的中点 B．AB 边中线的三等分点（非重心）
C．重心 D．AB边的中点
二、填空题（共四小题，每小题5分，共20分）
13．已知线段PQ两端点的坐标分别为P(－1，1)和Q(2，2)，若直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是________
14． _
15．若点 P（x，y）满足线性约束条件，O为坐标原点，则的最大值_________
16．设集合，如果满足：对任意，都存在,使得，那么称为集合的一个聚点，则在下列集合中：（1）；（2）;(3);(4)，以为聚点的集合有
（写出所有你认为正确的结论的序号）．
三、解答题（共6小题，共70分；请写出必要的过程和推演步骤）
17．（本小题10分）在△ABC中，分别为三个内角的对边，锐角满足．
(1)求的值；
(2) 若，当取最大值时，求的值．
18．（本小题12分）已知数列的首项为，其前项和为，且对任意正整数有：、、成等差数列．
（1）求证：数列成等比数列；（2）求数列的通项公式．
19．（本小题12分）如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，AD＝，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．
(1)点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；
(2)求证：无论点E在BC边的何处，都有；
(3)当为何值时,与平面所成角的大小为 45°.
20. 已知函数 ，且函数与的
图像关于直线对称，又， .
1）求的表达式及值域;
2）问是否存在实数m ， 使得命题 和
满足复合命题 且为真命题？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由.
21．(本小题12分)已知函数f(x)＝，g(x)＝aln x，a∈R.
(1)设h(x)＝f(x)－g(x)，当h(x)存在最小值时，求最小值φ(a)的解析式；
(2)对于(1)中的φ(a)，证明当a∈(0，＋∞)时，φ(a)≤1.
22. (本小题12分) 已知函数和点，过点作曲线的两条切线、，切点分别为、．
（Ⅰ）设，试求函数的表达式；
（Ⅱ）是否存在，使得、与三点共线．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数，在区间内总存在个实数，，使得不等式成立，求的最大值．

天水一中2010级2012——2013学年度第一学期第三次考试试题
数学参考答案（理科）
一、选择题（每题5分，共60分）
1．A 2．D 3．D 4。 D 5．A
6．D 7． B 8．C 9． A 10．B 11． B 12．B
二、填空题（共四小题，每小题5分，共20分）
13．－≤m≤ 14． 15．6 16．（2）（3）
三、解答题（共6小题，共70分；请写出必要的过程和推演步骤）
17．解 (1)∵锐角B满足……………1分
∵
．…………………… 5分
(2) ∵，……………… 8分
∴
∴…………10分
∴．
∴
∴
……10分

18．解：(1)证明：

即
(2)由(1)知是以为首项，2为公比的等比数列
又

19．解：(1)当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行．
∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，∴EF∥PC.
又EF⊄平面PAC，而PC⊂平面PAC，∴EF∥平面PAC.
(2)证明：建立如图所示空间直角坐标系，则
P(0,0,1)，B(0,1,0)，
F(0，，)，D(，0,0)，
设BE＝x(0≤x≤)，则E(x,1,0)，
·＝(x,1，－1)·(0，，)＝0，∴PE⊥AF.
(3)设平面PDE的法向量为m＝(p，q,1)，
由，得m＝(，1－，1)．
而＝(0,0,1)，依题意PA与平面PDE所成角为45°，
所以sin45°＝＝，∴＝，
得BE＝x＝－或BE＝x＝＋>(舍)．
故BE＝－时，PA与平面PDE所成角为45°.
20. 解 1）由，可得，故，
由于在上递减，所以的值域为
（2）在上递减，故真 且 ；
又即，故真，
故存在满足复合命题 且为真命题。
21、【解】　(1)由条件知h(x)＝－aln x(x＞0)．
∴h′(x)＝－＝.
①当a＞0时，令h′(x)＝0，解得x＝4a2，
∴当0＜x＜4a2时，h′(x)＜0，h(x)在(0，4a2)上递减；
当x＞4a2时，h′(x)＞0，h(x)在(4a2，＋∞)上递增．
∴x＝4a2是h(x)在(0，＋∞)上的唯一极值点，
且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点．
∴最小值φ(a)＝h(4a2)＝2a－aln 4a2＝2a(1－ln 2a)．
②当a≤0时，h′(x)＝＞0，h(x)在(0，＋∞)上递增，无最小值．
故h(x)的最小值为φ(a)＝2a(1－ln 2a)(a＞0)．
(2)由(1)知φ(a)＝2a(1－ln 2a)，(a＞0)．
则φ′(a)＝－2ln 2a，令φ′(a)＝0，解得a＝.
当0＜a＜时，φ′(a)＞0，
∴φ(a)在(0)上递增；
当a＞时，φ′(a)＜0，
∴φ(a)在(，＋∞)上递减．
∴φ(a)在a＝处取得极大值φ()＝1，
∵φ(a)在(0，＋∞)上有且只有一个极值点，
所以φ()＝1也是φ(a)的最大值．
∴当a∈(0，＋∞)时，总有φ(a)≤1.
22.解：（Ⅰ）设、两点的横坐标分别为、， ，
∴切线的方程为：，
又切线过点， 有，即， （1）
同理，由切线也过点，得．（2）
由（1）、（2），可得是方程的两根， （ * ）
，
把（ * ）式代入,得,
因此，函数的表达式为．
（Ⅱ）当点、与共线时，，
＝，即＝，
化简，得，
，． （3）
把（*）式代入（3），解得． 存在，使得点、与三点共线，且 ．
（Ⅲ）解法：易知在区间上为增函数，，
则．
依题意，不等式对一切的正整数恒成立，
，
即对一切的正整数恒成立．
， ，
． 由于为正整数，．
又当时，存在，，对所有的满足条件．
因此，的最大值为．
解法：依题意，当区间的长度最小时，得到的最大值，即是所求值．
，长度最小的区间为，
当时，与解法相同分析，得，解得．
后面解题步骤与解法相同（略）．

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