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一次函数解析式的求法
作者及工作单位 江西省南康市大岭中学 钟丽雯

求函数解析式，是初中代数的一个重要内容，下面介绍函数中最基本的函数��一次函数几种常见的解法。
一、待定系数法
待定系数法是求函数解析式的基本方法，其一般步骤为，首先设出所求函数解析式，再根据题设条件列出相应的方程（组），最后将所求待定系数的值代入所设的函数解析式即可。
例1. 已知一次函数的图象经过点A（2，）和B，点B是另一条直线与y轴的交点，求这个函数的解析式。
解：设一次函数的解析式为，则由题意得交点B的坐标为（0，3），
又一次函数的图象经过点A（2，-1）和点B（0，3），
解得
所求的函数解析式为。
例2. 已知（其中a,b是常数）成正比例，求证：（1）y是x的一次函数；
（2）如果时，时，把y表示成x的函数式。
分析：（1）欲证y是x的一次函数，即把y表示成“”的形式，由与成正比例，故可设，经变形可证。
（2）把两组值代入由（1）得到的函数表示式中，求得参数的值。
解：（1）设

，故y是x的一次函数。
（2）把分别代入中，得

所求的解析式为。
二、平移变换法
平移变换法，就是把函数的图象沿x轴向右（）或向左（）平移|a|个单位，再沿y轴向上（）或向下平移|b|个单位，即可得到函数的图象。利用这个平移法则可直接写出所求函数图象的解析式。
例3. 将直线向左平移3个单位，再向上平移一个单位，所得的直线解析式为_______。
解：根据题意及平移变换法则
得，即
三、数形结合法
数形结合法，就是根据问题的需要，既可以把数量关系转化为图形性质去研究也可以把图形性质转化为数量关系来讨论。
例4. 已知两个一次函数和，试用两种不同的方法比较它们同一个自变量对应的函数值的大小。
分析：比较两个一次函数值的大小，可以从图象法，代入法两个角度比较。

解：解法一：（图象法）在同一坐标系中作出一次函数的图象。
如图，观察可知当时与相交于（1，-1），即
；
当的函数图象在的函数图象的下方，即。
当时的函数图象在的函数图象的上方，即。
解法二：（代数法）
当
当
当
由此可见，上述两种解法，分别从数、形两种角度入手，相得益彰。
例5. 如图，正方形ABCD的边长是4，将此正方形置于平面直角坐标系xOy中，使AB在x轴的正半轴上，A点的坐标是（1，0）。

（1）经过点C的直线与x轴交于点E，求四边形AECD的面积。
（2）若直线l经过点E且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，求直线l的方程并在坐标系中画出直线l。
分析：（1）要求四边形ABCD面积，因为正方形ABCD中DC//AE。可见四边形AECD为梯形。
为此只要求AE即可。
（2）要使直线l把正方形面积分成相等两部分，只要直线l过正方形的对称中心，即对角线交点。
解：（1）由，得。
。
四边形AECD为直角梯形，
（平方单位）
（2）过正方形对称中心的直线，总是将正方形分成面积相等的两部分。
过点E及正方形对称中心的直线即为所求的直线l。
连接AC、BD交于G。
则E（2，0），G（3，2）代入的，
解得
所求直线l的方程为。
四、分类讨论法
分类讨论法，就是在题目中未出现图形或具体条件时将会出现多种可能性，因此要分别进行讨论。
例6. 如果一次函数的自变量x的取值范围是，相应函数值的范围是，求此函数的解析式。
分析：由于一次函数的图象是直线，故当时，图象是线段，由一次函数的增减性，函数的最值一定对应x的最值即y的最大值9，一定对应x的最大值6，或最小值，这要视k的符号而定。
解：对k的值分两种情况进行讨论：
（1）当时，则y的值随x的增大而增大，因此，一定是当时，。
当时，
故得 解之得
所求函数解析式为。
当时，y随x的增大而减小，一定是。
于是得解得
所求解析式为
综合上述两种情况。符合条件的解析式为

数学问题是千变万化的，但我们总能找着常规，学习用运动变化的观点看待数学问题，这对我们的学习是大有裨益的。

年级
　初中
学科
数学
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内容标题
　　一次函数解析式的求法
分类索引号
　　G.622.46
分类索引描述
　　辅导与自学
主题词
　　一次函数解析式的求法
栏目名称
　专题辅导
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