2025年中考数学大题&几何压轴-专题11-四边形压轴(讲练)(原卷版).pdf

专题 11 四边形压轴目 录考情分析考点 四边形压轴【真题研析规律探寻】题型 01 与四边形有关的多结论问题（选/填）题型 02 与四边形有关的平移问题题型 03 与四边形有关的翻折问题题型 04 与四边形有关的旋转问题题型 05 与四边形有关的最值问题题型 06 与四边形有关的动点问题题型 07 与四边形有关的新定义问题题型 08 与四边形有关的阅读理解问题题型 09 与四边形有关的存在性问题题型 10 四边形与圆综合题型 11 四边形与函数综合【核心提炼查漏补缺】【好题必刷强化落实】考点要求命题预测四边形压轴在中考中，涉及四边形压轴题的相关题目单独出题的可能性还是比较大的，多以选择、填空题型出现，但是四边形结合其它几何图形、函数出成压轴题的几率特别大，所占分值也是比较多，属于是中考必考的中等偏上难度的考点.考点 四边形压轴题型 01 与四边形有关的多结论问题（选/填）1（2023黑龙江中考真题）如图，在正方形中，点,分别是,上的动点，且 ，垂足为G，将 沿翻折，得到 ,交于点 P，对角线交于点 H，连接,，下列结论正确的是：=；若 ，则四边形是菱形；当点 E 运动到的中点，tan=2 2；=2 （）A BCD2（2022湖北黄冈中考真题）如图，在矩形 ABCD 中，ABBC，连接 AC，分别以点 A，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧交于点 M，N，直线 MN 分别交 AD，BC 于点 E，F下列结论：四边形 AECF 是菱形；AFB2ACB；ACEFCFCD；若 AF 平分BAC，则 CF2BF其中正确结论的个数是（）A4B3C2D13（2021四川南充中考真题）如图，在矩形 ABCD 中，=15，=20，把边 AB 沿对角线 BD 平移，点，分别对应点 A，B给出下列结论：顺次连接点，C，D 的图形是平行四边形；点 C 到它关于直线的对称点的距离为 48；的最大值为 15；+的最小值为9 17其中正确结论的个数是（）A1 个B2 个C3 个D4 个4（2023山东日照中考真题）如图，矩形中，=6，=8，点P在对角线上，过点P作 ，交边，于点 M，N过点 M 作 交于点 E，连接，下列结论：=；四边形的面积不变；当:=1:2时，=9625；+的最小值是 20其中所有正确结论的序号是 题型 02 与四边形有关的平移问题1（2023吉林中考真题）【操作发现】如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合的部分构成一个四边形转动其中一张纸条，发现四边形总是平行四边形其中判定的依据是_【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条和（)沿对角线翻折，的对应点为点，以矩形的顶点为圆心、为半径画圆，与相切于点，延长交 于点，连接交于点 (1)求证：=(2)当=1，=2时，求的长2（2023江苏无锡中考真题）如图，四边形是边长为4的菱形，=60，点为的中点，为线段上的动点，现将四边形沿翻折得到四边形 (1)当=45时，求四边形的面积；(2)当点在线段上移动时，设=，四边形的面积为，求关于的函数表达式3（2023山东烟台中考真题）【问题背景】如图 1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形进行如下操作：分别以点,为圆心，以大于12的长度为半径作弧，两弧相交于点，作直线交于点，连接；将 沿翻折，点的对应点落在点处，作射线交于点 【问题提出】在矩形中，=5，=3，求线段的长【问题解决】经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：方案一：连接，如图 2经过推理、计算可求出线段的长；方案二：将 绕点旋转180至 处，如图 3经过推理、计算可求出线段的长请你任选其中一种方案求线段的长4（2023四川达州中考真题）（1）如图，在矩形的边上取一点，将 沿翻折，使点落在上处，若=6,=10，求的值；（2）如图，在矩形的边上取一点，将四边形沿翻折，使点落在的延长线上处，若 =24,=6，求的值；（3）如图，在 中，=45,，垂足为点,=10,=6，过点作 交于点，连接，且满足=2，直接写出+53的值题型 04 与四边形有关的旋转问题1（2023辽宁阜新中考真题）如图，在正方形中，线段绕点 C 逆时针旋转到处，旋转角为，点 F 在直线上，且=，连接 (1)如图 1，当0 90时，求的大小（用含的式子表示）求证：=2 (2)如图 2，取线段的中点 G，连接，已知=2，请直接写出在线段旋转过程中（0 360）面积的最大值2（2023内蒙古赤峰中考真题）数学兴趣小组探究了以下几何图形如图，把一个含有45角的三角尺放在正方形中，使45角的顶点始终与正方形的顶点重合，绕点旋转三角尺时，45角的两边，始终与正方形的边，所在直线分别相交于点，连接，可得 【探究一】如图，把 绕点 C 逆时针旋转90得到 ，同时得到点在直线上求证：=；【探究二】在图中，连接，分别交，于点，求证：；【探究三】把三角尺旋转到如图所示位置，直线与三角尺45角两边，分别交于点，连接交于点，求的值3（2023浙江绍兴中考真题）在平行四边形中（顶点,按逆时针方向排列），=12,=10,为锐角，且sin=45 (1)如图 1，求边上的高的长(2)是边上的一动点，点,同时绕点按逆时针方向旋转90得点,如图 2，当点落在射线上时，求的长当 是直角三角形时，求的长4（2022辽宁阜新中考真题）已知，四边形是正方形，绕点旋转（），=90，=，连接，(1)如图1，求证：；(2)直线与相交于点如图2，于点，于点，求证：四边形是正方形；如图3，连接，若=4，=2，直接写出在 旋转的过程中，线段长度的最小值题型 05 与四边形有关的最值问题1（2023山东济南中考真题）在矩形中，=2，=2 3，点在边上，将射线绕点逆时针旋转 90，交延长线于点，以线段，为邻边作矩形(1)如图 1，连接，求的度数和的值；(2)如图 2，当点在射线上时，求线段的长；(3)如图 3，当=时，在平面内有一动点，满足=，连接，求+的最小值2（2023江苏徐州中考真题）【阅读理解】如图 1，在矩形中，若=,=，由勾股定理，得2=2+2，同理2=2+2，故2+2=2(2+2)【探究发现】如图 2，四边形为平行四边形，若=,=，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由【拓展提升】如图 3，已知为 的一条中线，=,=,=求证：2=22224 【尝试应用】如图 4，在矩形中，若=8,=12，点 P 在边上，则2+2的最小值为_ 3（2023重庆中考真题）如图，在等边 中，于点，为线段上一动点（不与，重合），连接，将绕点顺时针旋转60得到线段，连接(1)如图 1，求证：=；(2)如图 2，连接交于点，连接，与所在直线交于点，求证：=；(3)如图3，连接交于点，连接，将 沿所在直线翻折至 所在平面内，得到 ，将 沿所在直线翻折至 所在平面内，得到 ，连接，若=4，直接写出+的最小值4（2023山东淄博中考真题）在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动(1)操作判断小红将两个完全相同的矩形纸片和拼成“L”形图案，如图试判断：的形状为_ (2)深入探究小红在保持矩形不动的条件下，将矩形绕点旋转，若=2，=4探究一：当点恰好落在的延长线上时，设与相交于点如图求 的面积探究二：连接，取的中点，连接，如图求线段长度的最大值和最小值 5（2022江苏镇江中考真题）已知，点、分别在正方形的边、上(1)如图 1，当四边形是正方形时，求证：+=；(2)如图 2，已知=，=，当、的大小有_关系时，四边形是矩形；(3)如图 3，=，、相交于点，:=4:5，已知正方形的边长为 16，长为 20，当 的面积取最大值时，判断四边形是怎样的四边形？证明你的结论题型 06 与四边形有关的动点问题1（2023海南中考真题）如图 1，在菱形中，对角线，相交于点，=6，=60，点为线段上的动点（不与点，重合），连接并延长交边于点，交的延长线于点 (1)当点恰好为的中点时，求证：；(2)求线段的长；(3)当 为直角三角形时，求的值；(4)如图 2，作线段的垂直平分线，交于点，交于点，连接，在点的运动过程中，的度 数是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由2（2023广东广州中考真题）如图，在正方形中，E 是边上一动点（不与点 A，D 重合）边关于对称的线段为，连接 (1)若=15，求证：是等边三角形；(2)延长，交射线于点 G；能否为等腰三角形？如果能，求此时的度数；如果不能，请说明理由；若=3+6，求 面积的最大值，并求此时的长3（2023吉林中考真题）如图，在正方形中，=4cm，点是对角线的中点，动点，分别从点，同时出发，点以1cm/s的速度沿边向终点匀速运动，点以2cm/s的速度沿折线 向终点匀速运动 连接并延长交边于点，连接并延长交折线 于点，连接，得到四边形设点的运动时间为（）（0 2时，x 的取值范围是_(3)如图，已知点 A，B 是抛物线=122+92上的“梦之点”，点 C 是抛物线的顶点，连接，判断 的形状，并说明理由3（2020湖南益阳中考真题）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题：（1）如图 1，正方形中，是上的点，将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，则四边形为“直等补”四边形，为什么2）如图 2，已知四边形是“直等补”四边形，=5，=1，点到直线的距离为求的长若、分别是、边上的动点，求周长的最小值题型 08 与四边形有关的阅读理解问题1（2023山西中考真题）阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务瓦里尼翁平行四边形 我们知道，如图 1，在四边形中，点,分别是边,，的中点，顺次连接,，得到的四边形是平行四边形 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形瓦里尼翁，16541722 是法国数学家、力学家瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切 当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半此结论可借助图 1 证明如下：证明：如图 2，连接，分别交,于点,，过点作 于点，交于点,分别为,的中点，,=12（依据 1）=，=12四边形是瓦里尼翁平行四边形，即 ，即 ，四边形是平行四边形（依据 2）=12 =12 =，=12同理，任务：(1)填空：材料中的依据 1 是指：_依据 2 是指：_ (2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形及它的瓦里尼翁平行四边形，使得四边形为矩形；（要求同时画出四边形的对角线）(3)在图 1 中，分别连接,得到图 3，请猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线,长度的关系，并证明你的结论 2（2022贵州黔东南中考真题）阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：如图，和 都是等边三角形，点在上求证：以、为边的三角形是钝角三角形(1)【探究发现】小明通过探究发现：连接，根据已知条件，可以证明=，=120，从而得出 为钝角三角形，故以、为边的三角形是钝角三角形请你根据小明的思路，写出完整的证明过程(2)【拓展迁移】如图，四边形和四边形都是正方形，点在上试猜想：以、为边的三角形的形状，并说明理由若2+2=10，试求出正方形的面积3（2020湖南湘潭中考真题）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心 （1）特例感知：如图（一），已知边长为 2 的等边 的重心为点，求 与 的面积（2）性质探究：如图（二），已知 的重心为点，请判断、是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值：如果不是，请说明理由（3）性质应用：如图（三），在正方形中，点是的中点，连接交对角线于点若正方形的边长为 4，求的长度；若=1，求正方形的面积题型 09 与四边形有关的存在性问题1（2023黑龙江中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在 x 轴上，=60，的长是一元二次方程24 12=0的根，过点 C 作 x 轴的垂线，交对角线于点 D，直线分别交 x 轴和 y 轴于点 F 和点 E，动点 M 从点 O 以每秒 1 个单位长度的速度沿向终点 D 运动，动点 N 从点 F 以每秒 2 个单位长度的速度沿向终点 E 运动两点同时出发，设运动时间为 t 秒 (1)求直线的解析式(2)连接，求 的面积 S 与运动时间 t 的函数关系式(3)点 N 在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点 Q使得以 A，C，N，Q 为项点的四边形是矩形若存在，直接写出点 Q 的坐标，若不存在，说明理由2（2022四川资阳中考真题）已知二次函数图象的顶点坐标为(1,4)，且与 x 轴交于点(1,0)(1)求二次函数的表达式；(2)如图，将二次函数图象绕 x 轴的正半轴上一点(,0)旋转180，此时点 A、B 的对应点分别为点 C、D连结、，当四边形为矩形时，求 m 的值；在的条件下，若点 M 是直线=上一点，原二次函数图象上是否存在一点 Q，使得以点 B、C、M、Q 为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由3（2022贵州安顺中考真题）如图 1，在矩形中，=10，=8，是边上的一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上的点处，延长交的延长线于点(1)求线段的长；(2)求证四边形为菱形；(3)如图 2，分别是线段，上的动点（与端点不重合），且=，设=，是否存在这样的点，使 是直角三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由4（2022内蒙古赤峰中考真题）同学们还记得吗？图、图是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：(1)【问题一】如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形111的一个顶点，1交 于点，1交于点，则与的数量关系为_；(2)【问题二】受图启发，兴趣小组画出了图：直线、经过正方形的对称中心，直线分别与、交于点、，直线分别与、交于点、，且 ，若正方形边长为 8，求四边形的面积；(3)【问题三】受图启发，兴趣小组画出了图：正方形的顶点在正方形的边上，顶点在的延长线上，且=6，=2 在直线上是否存在点，使 为直角三角形？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由题型 10 四边形与圆综合1（2023广东中考真题）综合探究如图 1，在矩形中()，对角线，相交于点，点关于的对称点为，连接交于点，连接(1)求证：；(2)以点为圆心，为半径作圆如图 2，与相切，求证：=3；如图 3，与相切，=1，求 的面积2（2023上海中考真题）如图（1）所示，已知在 中，=，在边上，点为边中点，为以为圆心，为半径的圆分别交，于点，联结交于点 (1)如果=，求证：四边形为平行四边形；(2)如图（2）所示，联结，如果=90,=,=4，求边的长；(3)联结，如果 是以为腰的等腰三角形，且=，求的值3（2022浙江舟山中考真题）如图 1在正方形中，点 F，H 分别在边，上，连结，交于点 E，已知=(1)线段与垂直吗？请说明理由(2)如图 2，过点 A，H，F 的圆交于点 P，连结交于点 K求证：=(3)如图 3，在（2）的条件下，当点 K 是线段的中点时，求的值题型 11 四边形与函数综合1（2023江苏泰州中考真题）在平面直角坐标系中，点(，0)，(，0)(0)的位置和函数1=(0)、2=(0的条件下任意变化时，的面积是否变化？请说明理由；(3)试判断直线与边的交点是否在函数2的图像上？并说明理由2（2023江苏连云港中考真题）【问题情境 建构函数】（1）如图 1，在矩形中，=4,是的中点，垂足为设=,=，试用含的代数式表示 【由数想形 新知初探】（2）在上述表达式中，与成函数关系，其图像如图 2 所示若取任意实数，此时的函数图像是否具有对称性？若有，请说明理由，并在图 2 上补全函数图像 【数形结合 深度探究】（3）在“取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：函数值随的增大而增大；函数值的取值范围是 4 2 0)的图象上点 A，分别作 x 轴，y 轴的平行线交=1的图象于 B，D 两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为1，2，3，4，若2+3+4=52，则的值为（）A4B3C2D12（2023山东泰安中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Rt 的一条直角边在 x 轴上，点 A 的坐标为(6，4)；Rt 中，=90，=4 3，=30，连接，点 M 是中点，连接将Rt 以点 O 为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（）A3B6 2 4C2 13 2D23（2023四川遂宁中考真题）如图，在 中，=10，=6，=8，点 P 为线段上的动点，以每秒 1 个单位长度的速度从点 A 向点 B 移动，到达点 B 时停止过点 P 作 于点 M、作 于点 N，连接，线段的长度 y 与点 P 的运动时间 t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点 E的坐标为（）A 5，5B 6,245C325,245D325,5二、填空题4（2023黑龙江牡丹江中考真题）如图，在正方形中，E 在边上，交对角线于点 F，于 M，的平分线所在直线分别交，于点 N，P，连接下列结论：:=:；=；=；若=1，=4，则=2，其中正确的是 5（2023浙江台州中考真题）如图，点，在线段上（点 C 在点，之间），分别以，为边向同侧作等边三角形与等边三角形，边长分别为，与交于点 H，延长，交于点 G，长为 c （1）若四边形的周长与 的周长相等，则，之间的等量关系为 （2）若四边形的面积与 的面积相等，则 a，b，c 之间的等量关系为 三、解答题6（2023广东深圳中考真题）（1）如图，在矩形中，为边上一点，连接，若=，过作 交于点，求证：；若矩形=20时，则 =_ （2）如图，在菱形中，cos=13，过作 交的延长线于点，过作 交于点，若菱形=24时，求 的值 （3）如图在平行四边形中，=60，=6，=5，点在上，且=2，点为上一点，连接，过作 交平行四边形的边于点，若 =7 3时，请直接写出的长 7（2023湖南中考真题）问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形的边上任意取一点 G，以为边长向外作正方形，将正方形绕点 B 顺时针旋转 特例感知：（1）当在上时，连接，相交于点 P，小红发现点 P 恰为的中点，如图针对小红发现的结论，请给出证明；（2）小红继续连接，并延长与相交，发现交点恰好也是中点 P，如图，根据小红发现的结论，请判断 的形状，并说明理由；规律探究：（3）如图，将正方形绕点 B 顺时针旋转，连接，点 P 是中点，连接，的形状是否发生改变？请说明理由8（2023吉林长春中考真题）如图在矩形=3，=5，点在边上，且=2动点从点出发，沿折线 以每秒1个单位长度的速度运动，作=90，交边或边于点，连续当点与点重合时，点停止运动设点的运动时间为秒（0）(1)当点和点重合时，线段的长为_；(2)当点和点重合时，求tan；(3)当点在边上运动时，的形状始终是等腰直角三角形如图请说明理由；(4)作点关于直线的对称点，连接、，当四边形和矩形重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出的取值范围9（2023湖北襄阳中考真题）【问题背景】人教版八年级下册数学教材第 63 页“实验与探究”问题 1 如下：如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形111的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形111绕点怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的14.想一想，这是为什么？（此问题不需要作答）九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形的对角线相交于点，点落在线段上，=（为常数）【特例证明】（1）如图 1，将Rt 的直角顶点与点重合，两直角边分别与边，相交于点，.填空：=_；求证：=（提示：借鉴解决【问题背景】的思路和方法，可直接证明 ；也可过点分别作，的垂线构造全等三角形证明请选择其中一种方法解答问题）【类比探究】（2）如图 2，将图 1 中的 沿方向平移，判断与的数量关系用含的式子表示），并说明理由【拓展运用】（3）如图 3，点在边上，=45，延长交边于点，若=，求的值10（2023山东潍坊中考真题）材料阅读用数形结合的方法，可以探究+2+3+.+的值，其中0 1 例求12+122+123+12+的值方法 1：借助面积为 1 的正方形，观察图可知12+122+123+12+的结果等于该正方形的面积，即12+122+123+12+=1方法 2：借助函数=12+12和=的图象，观察图可知12+122+123+12+的结果等于1，2，3，等各条竖直线段的长度之和，即两个函数图象的交点到轴的距离因为两个函数图象的交点(1,1)到轴的距为 1，所以，12+122+123+12+=1 【实践应用】任务一 完善23+232+233+23+的求值过程 方法 1：借助面积为 2 的正方形，观察图可知23+232+233+23+=_方法 2：借助函数=23+23和=的图象，观察图可知因为两个函数图象的交点的坐标为_，所以，23+232+233+23+=_ 任务二 参照上面的过程，选择合适的方法，求34+342+343+342+的值任务三 用方法 2，求+2+3+的值（结果用表示）【迁移拓展】长宽之比为5 12:1的矩形是黄金矩形，将黄金矩形依次截去一个正方形后，得到的新矩形仍是黄金矩形观察图，直接写出5 122+5 124+5 126+5 122+的值 11（2023吉林长春中考真题）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线=2+2（是常数）经过点(2,2)点的坐标为(,0)，点在该抛物线上，横坐标为1 其中 0 (1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标；(2)当点在轴上时，求点的坐标；(3)该抛物线与轴的左交点为，当抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为2 时，求的值(4)当点在轴上方时，过点作 轴于点，连结、若四边形的边和抛物线有两个交点（不包括四边形的顶点），设这两个交点分别为点、点，线段的中点为当以点、（或以点、）为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半时，直接写出所有满足条件的的值