2025年中考数学大题&几何压轴-专题12-圆压轴-(讲练)(原卷版).pdf

专题 12 圆压轴目 录考情分析考点 圆压轴【真题研析规律探寻】题型 01 与圆有关的多结论问题（选/填）题型 02 与圆有关的平移问题题型 03 与圆有关的翻折问题题型 04 与圆有关的旋转问题题型 05 与圆有关的最值问题题型 06 与圆有关的动点问题题型 07 与圆有关的新定义问题题型 08 阿氏圆题型 09 圆、几何图形、锐角三角函数综合题型 10 与圆有关的存在性问题题型 11 与圆有关的定值问题【核心提炼查漏补缺】【好题必刷强化落实】考点要求命题预测实数的分类在中考中，涉及圆压轴题的相关题目单独出题的可能性还是比较大的，多以解答题形式出现，常结合其它几何图形、锐角三角函数出成压轴题的几率特别大，所占分值也是比较多，属于是中考必考的中等偏上难度的考点.考点 圆压轴题型 01 与圆有关的多结论问题（选/填）1（2022湖北武汉中考真题）如图，点 P 是 上一点，是一条弦，点 C 是上一点，与点 D 关于对称，交 于点 E，与交于点 F，且 给出下面四个结论：平分；=；2=；为 的切线其中所有正确结论的序号是 2（2021广东广州中考真题）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 是边 BC 上一点，且=3，以点 A为圆心，3 为半径的圆分别交 AB、AD 于点 F、G，DF 与 AE 交于点 H并与 交于点 K，连结 HG、CH给出下列四个结论（1）H 是 FK 的中点；（2）；（3）：=9 16；（4）=75，其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）3（2021湖南岳阳中考真题）如图，在 中，=90，的垂直平分线分别交、于点、，=8，为 的外接圆，过点作 的切线交于点，则下列结论正确的是 （写出所有正确结论的序号）=；=；若=40，则的长为89；=；若=6，则=2.244（2020湖南岳阳中考真题）如图，为半O 的直径，是半圆上的三等分点，=8，与半O 相切于点，点为上一动点（不与点，重合），直线交于点，于点，延长交于点，则下列结论正确的是 （写出所有正确结论的序号）=；的长为43；=45；为定值 题型 02 与圆有关的平移问题1（2022湖北宜昌中考真题）已知，在 中，=90，=6，以为直径的 与交于点，将 沿射线平移得到 ，连接 (1)如图 1，与 相切于点求证：=；求 的值；(2)如图 2，延长与 交于点，将 沿折叠，点的对称点恰好落在射线上求证：；若=3，求的长2（2023四川乐山中考真题）已知(1,1),(2,2)是抛物1:=142+（b 为常数）上的两点，当1+2=0时，总有1=2(1)求 b 的值；(2)将抛物线1平移后得到抛物线2:=14()2+1(0)探究下列问题：若抛物线1与抛物线2有一个交点，求 m 的取值范围；设抛物线2与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，抛物线2的顶点为点 E，外接圆的圆心为点F，如果对抛物线1上的任意一点 P，在抛物线2上总存在一点 Q，使得点 P、Q 的纵坐标相等求长的取值范围3（2021湖南株洲中考真题）将一物体（视为边长为2米的正方形）从地面上挪到货车车厢内 如图所示，刚开始点与斜面上的点重合，先将该物体绕点()按逆时针方向旋转至正方形111的位置，再将其沿方向平移至正方形2222的位置（此时点2与点重合），最后将物体移到车厢平台面上已知/，=30，过点作 于点，=13米，=4米（1）求线段的长度；（2）求在此过程中点运动至点2所经过的路程 题型 03 与圆有关的翻折问题1（2021湖北武汉中考真题）如图，是 的直径，是 的弦，先将沿翻折交于点再将沿翻折交于点若设=，则所在的范围是（）A21.9 22.3B22.3 22.7C22.7 23.1D23.1 23.52（2020四川自贡中考真题）如图，在矩形中，是上的一点，连接,将进行翻折，恰好使点落在的中点处，在上取一点，以点为圆心，的长为半径作半圆与相切于点;若=4,则图中阴影部分的面积为 3（2018云南曲靖中考真题）如图，为 的直径，点 C 为 上一点，将沿直线翻折，使的中点 D 恰好与圆心 O 重合，连接，过点 C 的切线与线段的延长线交于点 P，连接，在的另一侧作=(1)判断与 的位置关系，并说明理由；(2)若=3，求四边形的面积 题型 04 与圆有关的旋转问题1（2023浙江嘉兴中考真题）一副三角板和中，=90，=30，=45，=12将它们叠合在一起，边与重合，与相交于点 G（如图 1），此时线段的长是 ，现将 绕点()按顺时针方向旋转（如图 2），边与相交于点 H，连结，在旋转0到60的过程中，线段扫过的面积是 2（2023四川中考真题）如图 1，已知线段，线段绕点在直线上方旋转，连接，以为边在上方作Rt ，且=30 (1)若=90，以为边在上方作Rt ，且=90，=30，连接，用等式表示线段与的数量关系是；(2)如图 2，在(1)的条件下，若 ，=4，=2，求的长；(3)如图 3，若=90，=4，=2，当的值最大时，求此时tan的值3（2022山东潍坊中考真题）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，车轮缚以竹简，旋转时低则舀水，高则泻水如图，水力驱动筒车按逆时针方向转动，竹筒把水引至 A 处，水沿射线方向泻至水渠，水渠所在直线与水面平行；设筒车为 ，与直线交于 P，Q 两点，与直线交于 B，C 两点，恰有2=，连接,(1)求证：为 的切线；(2)筒车的半径为3m，=,=30当水面上升，A，O，Q 三点恰好共线时，求筒车在水面下的最大深度（精确到0.1m，参考值：2 1.4,3 1.7）题型 05 与圆有关的最值问题1（2023陕西中考真题）（1）如图，在 中，=，=120，=24若 的半径为 4，点在 上，点在上，连接，求线段的最小值；（2）如图所示，五边形是某市工业新区的外环路，新区管委会在点处，点处是该市的一个交通枢纽已知：=90，=10000m，=6000m根据新区的自然环境及实际需求，现要在矩形区域内（含边界）修一个半径为30m的圆型环道 ；过圆心，作 ，垂足为，与 交于点连接，点在 上，连接其中，线段、及是要修的三条道路，要在所修道路、之和最短的情况下，使所修道路最短，试求此时环道 的圆心到的距离的长 2（2023重庆中考真题）在Rt 中，=90，=60，点为线段上一动点，连接 (1)如图 1，若=9，=3，求线段的长(2)如图 2，以为边在上方作等边 ，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点 若=，求证：=+(3)在取得最小值的条件下以为边在右侧作等边 点为所在直线上一点，将 沿所在直线翻折至 所在平面内得到 连接，点为的中点，连接，当取最大值时，连接，将 沿所在直线翻折至 所在平面内得到 ，请直接写出此时的值 3（2022北京中考真题）在平面直角坐标系中，已知点(,),.对于点给出如下定义：将点向右(0)或向左(0)平移|个单位长度，再向上(0)或向下(0)平移|个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”(1)如图，点(1,1),点在线段的延长线上，若点(2,0),点为点的“对应点”在图中画出点；连接,交线段于点.求证：=12;(2)的半径为 1，是 上一点，点在线段上，且=(12 1)，若为 外一点点为点的“对应点”，连接.当点在 上运动时直接写出长的最大值与最小值的差（用含的式子表示）.4（2021贵州遵义中考真题）点 A 是半径为 2 3的O 上一动点，点 B 是O 外一定点，OB6连接OA，AB（1）【阅读感知】如图，当ABC 是等边三角形时，连接 OC，求 OC 的最大值；将下列解答过程补充完整解：将线段 OB 绕点 B 顺时针旋转 60到 OB，连接 OO，CO由旋转的性质知：OBO60，BOBO6，即OBO是等边三角形OOBO6又ABC 是等边三角形ABC60，ABBCOBOABC60OBAOBC 在OBA 和OBC 中，=（SAS）OAOC在OOC 中，OCOO+OC当 O，O，C 三点共线，且点 C 在 OO的延长线上时，OCOO+OC即 OCOO+OC当 O，O，C 三点共线，且点 C 在 OO的延长线上时，OC 取最大值，最大值是（2）【类比探究】如图，当四边形 ABCD 是正方形时，连接 OC，求 OC 的最小值；（3）【理解运用】如图，当ABC 是以 AB 为腰，顶角为 120的等腰三角形时，连接 OC，求 OC 的最小值，并直接写出此时ABC 的周长题型 06 与圆有关的动点问题1（2023内蒙古呼和浩特中考真题）已知在Rt 中，=90，=6，=8，以边为直径作 ，与边交于点，点为边的中点，连接 (1)求证：是 的切线；(2)点为直线上任意一动点，连接交 于点，连接当tan=13时，求的长；求的最大值2（2023浙江中考真题）小贺在复习浙教版教材九上第 81 页第 5 题后，进行变式、探究与思考：如图 1，的直径垂直弦 AB 于点 E，且=8，=2 (1)复习回顾：求的长(2)探究拓展：如图 2，连接，点 G 是上一动点，连接，延长交的延长线于点 F当点 G 是的中点时，求证：=；设=，=，请写出 y 关于 x 的函数关系式，并说明理由；如图 3，连接，当 为等腰三角形时，请计算的长3（2023湖南娄底中考真题）如图 1，点为等边 的重心，点为边的中点，连接并延长至点，使得=，连接，(1)求证：四边形为菱形(2)如图 2，以点为圆心，为半径作 判断直线与 的位置关系，并予以证明点为劣弧上一动点（与点、点不重合），连接并延长交于点，连接并延长交于点，求证：+为定值4（2023湖南中考真题）如图，点 A，B，C 在 上运动，满足2=2+2，延长至点 D，使得=，点 E 是弦上一动点（不与点 A，C 重合），过点 E 作弦的垂线，交于点 F，交的延长线于点 N，交 于点 M（点 M 在劣弧上）(1)是 的切线吗？请作出你的判断并给出证明；(2)记 ，的面积分别为1，2，若1 =(2)2，求(tan)2的值；(3)若 的半径为 1，设=，1+1=，试求 y 关于 x 的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围题型 07 与圆有关的新定义问题1（2023北京中考真题）在平面直角坐标系中，的半径为 1对于 的弦和 外一点 C给出如下定义：若直线，中一条经过点 O，另一条是 的切线，则称点 C 是弦的“关联点”(1)如图，点(1,0)，122,22，222,22在点1(1,1)，2(2,0)，3(0,2)中，弦1的“关联点”是_若点 C 是弦2的“关联点”，直接写出的长；(2)已知点(0,3)，6 55,0 对于线段上一点 S，存在 的弦，使得点 S 是弦的“关联点”，记的长为 t，当点 S 在线段上运动时，直接写出 t 的取值范围2（2023甘肃兰州中考真题）在平面直角坐标系中，给出如下定义：为图形上任意一点，如果点到直线的距离等于图形上任意两点距离的最大值时，那么点称为直线的“伴随点”例如：如图 1，已知点(1,2)，(3,2)，(2,2)在线段上，则点是直线：轴的“伴随点”(1)如图 2，已知点(1,0)，(3,0)，是线段上一点，直线过(1,0)，0,33两点，当点是直线的“伴随点”时，求点的坐标；(2)如图 3，轴上方有一等边三角形，轴，顶点 A 在轴上且在上方，=5，点是 上一点，且点是直线：轴的“伴随点”当点到轴的距离最小时，求等边三角形的边长；(3)如图 4，以(1,0)，(2,0)，(2,1)为顶点的正方形上始终存在点，使得点是直线：=+的“伴随点”请直接写出的取值范围3（2020湖北咸宁中考真题定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形理解：（1）若四边形是对余四边形，则与的度数之和为_；证明：（2）如图 1，是 的直径，点,在 上，相交于点 D求证：四边形是对余四边形；探究：（3）如图 2，在对余四边形中，=，=60，探究线段，和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由题型 08 与圆有关的阅读理解问题1（2021四川遂宁中考真题）已知平面直角坐标系中，点 P（0,0）和直线 AxByC0（其中 A，B不全为 0），则点 P 到直线 AxByC0 的距离可用公式=|00|22来计算 例如：求点 P（1，2）到直线 y2x1 的距离，因为直线 y2x1 可化为 2xy10，其中 A2，B1，C1，所以点 P（1，2）到直线 y2x1 的距离为：=|00|22=|21（1）2 1|22(1)2=15=55根据以上材料，解答下列问题：（1）求点 M（0，3）到直线=3+9的距离；（2）在（1）的条件下，M 的半径 r 4，判断M 与直线=3+9的位置关系，若相交，设其弦长为 n，求 n 的值；若不相交，说明理由2（2019山西中考真题）阅读以下材料，并按要求完成相应地任务：莱昂哈德欧拉(Leonhard Euler)是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在ABC 中，R 和 r 分别为外接圆和内切圆的半径，O 和 I 分别为其外心和内心，则2=22.如图 1，O 和I 分别是ABC 的外接圆和内切圆，I 与 AB 相切分于点 F，设O 的半径为 R，I 的半径为 r，外心 O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心 I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离 OId，则有 d2R22Rr下面是该定理的证明过程（部分）：延长 AI 交O 于点 D，过点 I 作O 的直径 MN，连接 DM，AN.D=N，DMI=NAI(同弧所对的圆周角相等)，MDIANI，=，=，如图 2，在图 1(隐去 MD，AN)的基础上作O 的直径 DE，连接 BE，BD，BI，IF，DE 是O 的直径，DBE=90，I 与 AB 相切于点 F，AFI=90，DBE=IFA，BAD=E(同弧所对圆周角相等)，AIFEDB，=，=，任务：(1)观察发现：=+，=(用含 R，d 的代数式表示)；(2)请判断 BD 和 ID 的数量关系，并说明理由；(3)请观察式子和式子，并利用任务(1)，(2)的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；(4)应用：若ABC 的外接圆的半径为 5cm，内切圆的半径为 2cm，则ABC 的外心与内心之间的距离为cm.3（2018四川达州中考真题）阅读下列材料：已知：如图 1，等边A1A2A3内接于O，点 P 是12上的任意一点，连接 PA1，PA2，PA3，可证：PA1+PA2=PA3，从而得到：12123=12是定值（1）以下是小红的一种证明方法，请在方框内将证明过程补充完整；证明：如图 1，作PA1M=60，A1M 交 A2P 的延长线于点 MA1A2A3是等边三角形，A3A1A2=60，A3A1P=A2A1M又 A3A1=A2A1，A1A3P=A1A2P，A1A3PA1A2M PA3=MA2=PA2+PM=PA2+PA112123=12，是定值（2）延伸：如图 2，把（1）中条件“等边A1A2A3”改为“正方形 A1A2A3A4”，其余条件不变，请问：121234还是定值吗？为什么？（3）拓展：如图 3，把（1）中条件“等边A1A2A3”改为“正五边形 A1A2A3A4A5其余条件不变，则1212345=（只写出结果）题型 09 阿氏圆1（2021四川宜宾中考真题）如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线与 x 轴分别交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C（0，6），抛物线的顶点坐标为 E（2，8），连结 BC、BE、CE（1）求抛物线的表达式；（2）判断BCE 的形状，并说明理由；（3）如图 2，以 C 为圆心，2为半径作C，在C 上是否存在点 P，使得 BP12EP 的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由2（2023湖北黄石中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线=2+与 x 轴交于两点(3,0),(4,0)，与 y 轴交于点(0,4)(1)求此抛物线的解析式；(2)已知抛物线上有一点(0,0)，其中0 0，若+=90，求0的值；(3)若点 D，E 分别是线段，上的动点，且=2，求+2的最小值3（2023山东烟台中考真题）如图，抛物线=2+5与轴交于,两点，与轴交于点,=4抛物线的对称轴=3与经过点的直线=1交于点，与轴交于点 (1)求直线及抛物线的表达式；(2)在抛物线上是否存在点，使得 是以为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)以点为圆心，画半径为 2 的圆，点为 上一个动点，请求出+12的最小值题型 10 圆、几何图形、锐角三角函数综合1（2022浙江宁波中考真题）如图 1，为锐角三角形的外接圆，点 D 在上，交于点 E，点 F 在上，满足 =,交于点 G，=，连结，设=(1)用含的代数式表示(2)求证：(3)如图 2，为 的直径当的长为 2 时，求的长当:=4:11时，求cos的值2（2023浙江台州中考真题）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置，如图，是 的直径，直线是 的切线，为切点，是圆上两点（不与点重合，且在直径的同侧），分别作射线，交直线于点，点 (1)如图 1，当=6，的长为时，求的长(2)如图 2，当=34，=时，求的值(3)如图 3，当sin=64，=时，连接 BP，PQ，直接写出的值3（2021广西柳州中考真题）如图，四边形中，/,=1,=5，以 A 为圆心，为半径作圆，延长交 于点 F，延长交 于点 E，连结，交于点 G（1）求证：为 的切线；（2）求cos的值；（3）求线段的长题型 11 与圆有关的存在性问题1（2023广东广州中考真题）已知点(,)在函数=2(【数学理解】德国数学家米勒曾提出最大视角问题，对该问题的一般描述是：如图2，已知点，是的边上的两个定点，是边上的一个动点，当且仅当 的外接圆与边相切于点时，最大，人们称这一命题为米勒定理【问题解决】（2）如图3，已知点，的坐标分别是(0,1)，(0,3)，是轴正半轴上的一动点，当 的外接圆 与轴相切于点时，最大，当最大时，求点的坐标 10（2023重庆模拟预测）在 中，=，在边上作等边 ，直线(1)如图 1，若点在线段上，=5，=132，=10，求点到线段的距离；(2)如图 2，若点在 的内部，连接，过点作 ，交与点求证：+=32；(3)如图 3，若点在 的外部，为等腰直角三角形，过点作 ，交的延长线于点，延长，交的延长线与点，为延长线上一点将 绕点顺时针方向旋转至 ，且旋转角0 90若=1，=2 3 3 26，当+22的值最小时，直接写出 的面积11（2023浙江宁波三模）如图 1，内接于 ，点为劣弧上一点，满足=12，过点作的垂线，垂足为点，交 于点 (1)求证：=；(2)若=56，求的值；(3)求证：=+；(4)如图 3，若=13，=，用含有的代数式表示tan