2025年中考数学大题&几何压轴-中考大题01-数与式及方程(组)中的计算问题(8大题型)(原卷版).pdf

大题 01 数与式及方程（组）中的计算问题（8 大题型）数与式及方程（组）中的计算问题是中考的必考内容，该部分内容涉及知识点较多，但是考题相对简单，所以需要学生在复习这部分内容时，扎实掌握好基础，在书写计算步骤时注意细节，避免因为粗心而丢分.+题型一：实数与根式的计算1（2023湖南张家界中考真题）计算：|3|(4 )02sin60+1512（2023湖北宜昌一模）已知实数，在数轴上的位置如图所示(1)若|=|，则+=，=(2)化简：2+3(+)3|1）a0=1（a0），a-n=1（a0，n 为正整数）2）|a-b|=a-bab|a-b|=0 a=b|a-b|=b-aab3）特殊的三角函数要记牢.4）在实数混合运算中不注意运算顺序导致结果错误，所以要牢记运算顺序避免出错：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，最后算大括号1（2022湖南娄底中考真题）计算：(2022 )0+(12)1+|1 3|2sin602（2023湖北宜昌一模）已知 a，b 满足 +1+|1|=0，求2022+20234的平方根3（23-24 九年级上四川眉山阶段练习）已知实数、在数轴上的位置如图所示，化简：2|+|+()2()2题型二：代数式的混合计算1（2023青海西宁中考真题）计算：(2 3)2(+5)(5)2（2023湖北襄阳中考真题）化简：1 1221 3（2024黑龙江大庆一模）如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式(1)求整式 P(2)将整式因式分解(3)的最小值为_1）幂的运算2）乘法公式 3）因式分解1（2024重庆模拟预测）计算：(1)(+2)(2)+()2 (2)1 3 124 4 12（2024湖南模拟预测）已知整式=42+4 24(1)将整式分解因式；(2)求证：若取整数，则能被4整除题型三：化简求值1（2023山东淄博中考真题）先化简，再求值：(2)2+(5 )42，其中=5 12，=5 122（2023辽宁丹东中考真题）先化简，再求值：2122 11 13 1，其中=121+(3)0化简求值常见方法汇总：1.直接代入法：把已知字母的值直接代入代数式计算求值.2.间接代入法：将已知的代数式化简后，再将已知字母的值代入化简后的代数式中计算求值.3.整体代入法：观察已知代数式和所求代数式的关系.利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式将已知代数式和所求代数式进行变形，使它们成倍分关系.把已知代数式看成一个整式代入所求代数式中计算求值4.赋值求值法：指代数式中的字母的取值由答题者自己确定，然后求出所提供的代数式的值的一种方法这 是一种开放型题目，答案不唯一.在赋值时，要注意取值范围，选择合适的代数式的值5.隐含条件求值法：先通过隐含条件求出字母值，然后化简再求值 例如：若几个非负数的和为 0，则每个非负数的值均为 0 已知两个单项式为同类项，通过求次数中未知数的值，进而带入到代数式中计算求值.6.利用“无关”求值：若一个代数式的值与某个字母的取值无关时需先对原式进行化简，则可得出该无关字母的系数为 0；若给定字母写错得出正确答案，则该代数式的值与该字母无关7.配方法：若已知条件含有完全平方式，则可通过配方，把条件转化成几个平方和的形式，再利用非负数的性质来确定字母的值，从而求得结果8.平方法：在直接求值比较困难时，有时也可先求出其平方，再求平方值的平方根，但要注意最后结果的符号9.特殊值法：有些试题，用常规方法直接求解比较困难，若根据答案中所提供的信息，选择某些特殊情况进行分析，或选择某些特殊值进行计算，把一般形式变为特殊形式进行判断，这时常常会使题目变得十分简单10.设参法：遇到比值的情况，可对比值整体设参数，把每个字母用参数表示，然后代入计算即可11.利用根与系数的关系求解：如果代数式可以看作某两个“字母”的轮换对称式，而这两个“字母”又可能看作某个一元二次方程的根，可以先用根与系数的关系求得其和、积式，再整体代入求值12.利用消元法求值：若已知条件以比值的形式出现，则可利用比例的性质设比值为一个参数，或利用一个字母来表示另一个字母13.利用倒数法求值：将已知条件或待求的代数式作倒数变形，从而求出代数式的值1（2024广西桂林一模）先化简，再求值：(2 22 3)(+)()，其中=32，=22（2024山东滨州一模）先化简再求值：2 12 1 1，其中=(3 1)0+121+52|1|3（2024四川广元二模）先化简，再求值：2221 +1 2 1 1，其中 x 是不等式组2(1)+2，2+4 1 的整数解4（2024黑龙江哈尔滨一模）先化简，再求代数式 222 124 4 422的值，其中=2(tan45 cos30)题型四：解方程（组）相关计算1.解关于 x 的一元一次方程：4 351=2 232.（2023江苏连云港中考真题）解方程组3+=82 =73（2023江苏连云港中考真题）解方程：2 5 2=3 3 234（2023广东广州中考真题）解方程：26+5=01）解方程的一般步骤：去分母-移项-合并同类项-系数化为 1；2）一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的解法选择：当 a=1，b 为偶数，c0 时，首选配方法；当b=0 时，首选直接开平方法；当c=0 时，可选因式分解法或配方法；当a=1，b0，c0 时，可选配方法或因式分解法；当a1，b0，c0 时，可选公式法或因式分解法.3）解分式方程时易错点：去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项.分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为 0 的根，它不是原分式方程的根解分式方程可能产生使分式方程无意义的根，检验是解分式方程的必要步骤.分式方程有增根与无解并非是同一个概念分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解.1（2023浙江一模）解方程：3 231=5 462（2023陕西西安二模）解方程组：2 13=1,4 =8.3（2023江苏连云港模拟预测）解下列方程：（1）3 5 2=1 12；（2）24+3=0题型五：解一元一次不等式组 （2023江苏中考真题）解不等式组4 8 0,1 3b，则 ac bc若 ab，则 ac b,c0，则 acbc（或）基本性质 3若 ab,c0，则 acbc（或 +330;2有两个相等的实数根时,=0;3）没有实数根时,0.一元二次方程有解分两种情况：1）有两个相等的实数根；2）有两个不相等的实数根2）一元二次方程根与系数的关系如果方程 x2+px+q0 的两个根为x1,x2，那么1+2 ，12.以两个数x1,x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2-（1+2）x+120.一元二次方程根与系数关系的使用条件：a0 且0.用根与系数的关系求值时的常见转化：已知一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的两个根 x1,x21）平方和 21+22=(+)2）倒数和 1x1+1x2=3）差的绝对值|x1-x2|=()=(+)4)12+21=122212=(12)221212 5）(1+1)(2+1)=12+(1+2)+11（2023湖北襄阳一模）已知关于 x 的方程2+(2+1)+2=0(1)求证：无论 k 取任何实数时，方程总有实数根(2)是否存在实数 k 使方程两根的倒数和为 2？若存在，请求出 k 的值；若不存在，请说明理由2（2023江西新余一模）关于 x 的方程2(2+1)+2=0(1)如果方程有实数根，求 k 的取值范围；(2)设1和2是方程的两根，且21+22=6+12，求 k 的值题型七：新定义问题（2023山东枣庄中考真题）对于任意实数 a，b，定义一种新运算：=(2)+6(14，求的取值范围2（2023江苏盐城一模）定义：若两个分式的和为 n（n 为正整数），则称这两个分式互为“N分式”例如.分式3 1与31 互为“三分式”(1)分式12 3 2与_互为“六分式”；(2)若分式 42与222互为“一分式”（其中 a，b 为正数），求 ab 的值；(3)若正数 x，y 互为倒数，求证：分式5 2与52互为“五分式”3（2023河北沧州模拟预测）定义新运算：对于任意实数 m、n 都有=3，例如42=4 2 3 2=8 6=2，请根据上述知识解决下列问题(1)2 4，求 x 取值范围；(2)若 14=3，求 x 的值；(3)若方程=6，中是一个常数，且此方程的一个解为=1，求中的常数 4（22-23 九年级上河北石家庄期末）在实数范围内定义新运算“”，其规则为：=2，根据这个规则，解决下列问题：(1)求(+2)5=0中的值；(2)证明：(+)5=0中，无论 m 为何值，x 总有两个不同的值题型八：比较大小（2023江苏盐城中考真题）课堂上，老师提出了下面的问题：已知3 0，=，=1 3，试比较与的大小小华：整式的大小比较可采用“作差法”.老师：比较2+1与2 1的大小小华：(2+1)(2 1)=2+1 2+1=(1)2+1 0，2+1 2 1老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？(1)请用“作差法”完成老师提出的问题(2)比较大小：2368_2265（填“”“=”或“0ab；a-b=0a=b；a-b0ab2ab对任意负实数 a，b，若 a2b2a1/b，ab0，则 a1ab,a/bb3)任意负实数 a，b，a/b1ab,a/bb1（2023浙江温州模拟预测）观察下面的等式：2312=16，3423=112，4534=120，5645=130(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含的等式表示，为正整数）(2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的(3)请用以上规律比较2022202320212022与2021202220202021的大小2（22-23 九年级下河北保定阶段练习）观察以下 10 个乘积，回答下列问题11 29；12 28；13 27；14 26；15 25；16 24；17 23；18 22；19 21；20 20探究：经探究发现以上各乘积均可以写成平方差的形式例如：11 29=2 2=(+)()，列出方程组，解，的值即可按照以上思路写出“将11 29写成平方差的形式”的完整过程；探究：观察以上 10 个乘积，当+=40时，_202；（比较大小）拓展：当+=时，比较与22的大小，并说明理由 1（2024黑龙江齐齐哈尔一模）（1）计算：132+38+|3 2|+4sin60+123（2）分解因式：23+122182（2024江苏扬州一模）解不等式组：2+1 或 0，2+1 2 1(1)已知2 3 0，=，=2 3，试比较 M 与 N 的大小(2)比较大小：79118_77115（填“”“=”或“3，代数式：=228，=32+6，=342+4(1)因式分解 A；(2)在 A，B，C 中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式5（2023浙江衢州中考真题）小红在解方程73=4 16+1时，第一步出现了错误：解：2 7=(4 1)+1，(1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处(2)写出你的解答过程6（2023青海中考真题）为丰富学生课余生活，提高学生运算能力，数学小组设计了如下的解题接力游戏：(1)解不等式组：2 1 2；(2)当 m 取（1）的一个整数解时，解方程22 =0.7（2023江苏徐州中考真题）（1）解方程组=4+12 5=8（2）解不等式组4 5 3 132 158（2023湖北荆州中考真题）已知关于的一元二次方程2(2+4)+6=0有两个不相等的实数根(1)求的取值范围；(2)当=1时，用配方法解方程9（2023湖北黄石中考真题）关于 x 的一元二次方程2+1=0，当=1时，该方程的正根称为黄金分割数宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数(1)求黄金分割数；(2)已知实数 a，b 满足：2+=1,22=4，且 2，求 ab 的值；(3)已知两个不相等的实数 p，q 满足：2+1=,2+1=，求 的值