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专升本高数章节练习题

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高数章节习题练习
第一节函数极限连续
1、设，求
2、设 ，，求．
3、
4、．
5、设和为任意函数，定义域均为，试判定下列函数的奇偶性．
（1） （2）
6、判定函数的奇偶性．
7、．
8、．
9、．
10、． ．．
11、．．
12、． ．
13、．
14、．
【例1-6】已知是多项式，且，，求．
【例1-7】当时，比较下列无穷小的阶．
1．比 2、比．3、 比．4．比

【例1-8】讨论下列分段函数在指定点处的连续性．
1． 在处的连续性．
2． 在处的连续性．
【例1-9】当常数为何值时，函数 在处连续？
【例1-10】求下列函数的间断点并判断其类型．
1． ． 2． ． 3． ．4． ．
【例1-11】证明方程在区间内至少有一个根．
【例1-12】证明方程至少有一个小于的正根．
一、选择题
1．（ ，1分）函数的定义域是（ ）
（A） （B） （C） （D）
2．（ ，1分）极限等于（ ）
（A） （B （C） （D）
3．（ ，1分）极限（ ）
（A） （B） （C） （D）不存在
4．（ ，1分）若 ，则（ ）
（A） （B） （C） （D）不存在
5．（ ，1分）是函数的（ ）
（A）连续点 （B）可去间断点 （C）跳跃间断点 （D）第二类间断点
6．（ ，3分）设 ，则等于（ ）
（A） （B）不存在 （C） （D）
7．（ ，3分）当时，是的（ ）
（A）高阶无穷小 （B）同阶无穷小，但不等价
（C）低阶无穷小 （D）等价无穷小
8．（ ，3分）当时，是（ ）
（A）比高阶的无穷小 （B）比低阶的无穷小
（C）与同阶的无穷小 （D）与等价的无穷小
9．（ ，2分）设 ， ，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
10．（ ，3分）设，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
11．（ ，3分）设是无穷大，则的变化过程是（ ）
（A） （B） （C） （D）
二、填空题
1．（ ，2分）若函数 在处连续，则 ．
2．（ ，2分）是函数的第 类间断点．
3．（ ，2分）设 ，，则 ．
4．（ ，2分）在处是第 类间断点．
5．（ ，4分）函数的定义域为 ．
6．（ ，4分）设数列有界，且，则 ．
7．（ ，4分）函数的反函数为 ．
8．（ ，4分）函数的定义域为 ．
9．（ ，4分） ．
10．（ ，2分）若函数 在处连续，则 ．
三、计算题
1．（ ，5分）求极限 ，其中为常数．
2．（ ，5分）求极限 ．
3．（ ，5分）求极限 ．
4．（ ，5分）求极限 ．
5．（ ，5分）求极限 ．
6．（ ，5分）求极限 ．
7．（ ，4分）求极限 ．
8．（ ，4分）设，，求．
9．（ ，5分）求极限 ．

第二节、 导数与微分
【例2-1】以下各题中均假定存在，指出表示什么．
1．
2．设，其中，且存在．
3．．
【例2-2】分段函数在分界点处的导数问题．
1．讨论函数 在处的可导性．
2．讨论函数 在处的可导性．
3．已知函数 在处连续且可导，求常数和的值．
【例2-3】已知 ，求．
【例2-4】求下列函数的导数．
1．．
2．
3．．
4．．
【例2-5】求下列幂指函数的导数．
1． （）．
2． （）．
【例2-6】用对数求导法求下列函数的导数．
1． （）．
2．
【例2-7】求下列抽象函数的导数．
1．已知函数可导，求函数的导数．
2．设函数和可导，且，试求函数的导数．
【例2-8】求由下列方程所确定的隐函数的导数．
1．．
2．．
【例2-9】求由下列参数方程所确定的函数的导数．
1． ．
2． ．
【例2-10】求下列函数的微分．
1．．
2．．
3．
4．．
【例2-11】求曲线在点处的切线方程和法线方程．

【例2-12】求曲线在点处的切线方程和法线方程．

【例2-13】求椭圆在点处的切线方程和法线方程．
【历年真题】
一、选择题
1．（ ，1分）已知，则等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
2．（ ，1分）曲线在点处的法线方程为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
3．（ ，1分）设函数在点处不连续，则（ ）
（A）存在 （B）不存在
（C）必存在 （D）在点处可微
4．（ ，1分）若，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
5．（ ，3分）函数，在点处（ ）
（A）可导 （B）间断 （C）连续不可导 （D）连续可导
6．（ ，3分）设在处可导，且，则不等于（ ）
（A） （B）
（C） （D）
7．（ ，3分）下列选项中可作为函数在点处的导数定义的选项是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
8．（ ，3分）若可导，且，则（ ）
（A） （B）
（C） （D）
9．（ ，2分）设，为可导函数，则（ ）
（A） （B）
（C） （D）
10．（ ，3分）设，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
11．（ ，3分）设，则（ ）
（A） （B）
（C） （D）
12．（ ，3分）（ ）
（A） （B） （C） （D）
二、填空题
1．（ ，2分）若曲线在点处的切线平行于直线，则 ．
2．（ ，2分）设，则 ．
3．（ ，4分曲线在点的切线的斜率等于 ．
4．（ ，4分）由参数方程 确定的 ．
5．（ ，2分）曲线在点处的切线方程是 ．
6．（ ，2分）函数不可导点的个数是 ．
7．（ ，2分）设，则 ．
三、计算题
1．（ ，5分）设函数由方程所确定，求．
2．（ ，5分）求函数（）的导数．
3．（ ，5分）设，求．
4．（ ，4分）设可导，且，求．
5．（ ，5分）已知 ．（1）在处连续，求； （2）求．

第三节、微分中值定理与导数的应用

【例3-1】验证罗尔定理对函数在区间上的正确性．

【例3-2】验证拉格朗日中值定理对函数在区间上的正确性．

【例3-3】不求导数，判断函数的导数有几个零点，这些零点分别在什么范围．

【例3-4】证明，其中．

【例3-5】求下列函数的极限．
1．求 ．
2．求 ．
3．求 ．
4．求 ．
5．求 ．
6．求 ．
7．求 ．
8．求 ．
【例3-6】求下列函数的单调区间．
1．．

2． ．

【例3-7】利用函数的单调性证明不等式．
1．试证当时，成立．
2．试证当时，．
【例3-8】证明方程在区间内有且仅有一个实根．
【例3-9】求下列函数的极值．
1．．

2．．
【例3-10】求函数在区间上的最值．

【例3-11】求下列曲线的凹凸区间和拐点．
1．．
2．．
【历年真题】
一、选择题
1．（ ，1分）若函数满足，则必为的（ ）
（A）极大值点 （B）极小值点 （C）驻点 （D）拐点
2．（ ，1分）当时，曲线（ ）
（A）没有水平渐近线 （B）仅有水平渐近线
（C）仅有铅直渐近线 （D）既有水平渐近线，又有铅直渐近线
3．（ ，3分）函数在区间上满足拉格朗日公式中的等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
4．（ ，3分）曲线上切线平行于轴的点为（ ）
（A） （B） （C） （D）
5．（ ，3分）若在区间内，导数，二阶导数，则函数在该区间内（ ）
（A）单调增加，曲线为凸的 （B）单调增加，曲线为凹的
（C）单调减少，曲线为凸的 （D）单调减少，曲线为凹的
二、填空题
1．（ ，2分）函数的单调减区间是 ．
2．（ ，2分）当时，是 函数（填“单调递增”单调递减”）．
3．（ ，2分）函数在区间上的最大值点是 ．
4．（ ，4分）曲线在处的切线方程为 ．
5．（ ，3分）的凸区间是 ．
6．（ ，3分）曲线经过点的切线方程为 ．
三、应用题或综合题
1．（ ，10分）现有边长为厘米的正方形纸板，将其四角各剪去一个大小相同的小正方形，折做成无盖纸箱，问剪区的小正方形边长为多少时做成的无盖纸箱容积最大？

2．（ ，10分）设函数在上连续，而且对于上的任意所对应的函数值均为，证明：在上至少存在一点，使得．

3．（ ，10分）某工厂需要围建一个面积为的矩形堆料场，一边能够利用原有的墙壁，其它三边需要砌新的墙壁．问堆料场的长和宽各为多少时，才能使砌墙所用的材
料最省？

4．（ ，10分）当，时，．

5．（ ，8分）求函数的单调区间、极值、凹凸区间与拐点．

6．（ ，8分）求函数的单调区间、极值、凹凸区间和拐点．

7．（ ，8分）在周长为定值的所有扇形中，当扇形的半径取何值时所得扇形的面积最大？

8．（ ，10分）求函数的单调区间、极值及凹凸区间、拐点．

9．（ ，10分）设函数在上连续，且．证明方程在内有且仅有一个根．

10．（ ，8分）已知与在处切线相同，写出该切线方程并求．

第四节、不定积分

【例4-1】计算下列不定积分．
1．．
2．．
3．
4．．
5．．
6．．
7．．
8．．
9．．
10．．
11．．
12．．
13．．
14．．
【例4-2】计算下列不定积分．
1．．
2．．
3．．
4．．
5．．
6．．
7．．
8．．
【例4-3】计算下列不定积分．
1．．
2．．
3．．
4．．
【例4-4】设，求．

【例4-5】已知是的一个原函数，求．
【历年真题】
一、选择题
1．（ ，1分）下列等式中，正确的一个是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
2．（ ，3分）设（），则（ ）
（A） （B） （C） （D）
3．（ ，2分）若，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
4．（ ，3分）（ ）
（A） （B）
（C） （D）
二、填空题
1．（ ，2分）不定积分 ．
2．（ ，2分）设，则 ．
三、计算题
1．（ ，5分）求不定积分．

2．（ ，5分）求不定积分．

3．（ ，4分）若，求．

4．（ ，5分）求不定积分．
四、应用题或综合题
1．（ ，8分）设的一个原函数为，求．

第五节、定积分
【例5-1】计算下列定积分．
1．．
2．．
3．．
4．．
5．．
6．．
7． （）．
8．．
【例5-2】计算下列定积分．
1．．
2．．
3．．
4．．
【例5-3】计算下列广义积分．
1．．
2．．
3．．
4．．
【例5-4】计算下列积分上限函数的导数．
1．．
2．．
3．．
4．．
【例5-5】求下列极限．
1．．
2．．
3．．
4．．
【例5-6】设函数 计算 ．

【例5-7】计算定积分．

【例5-8】求下列平面图形的面积．
1． 计算由两条抛物线和所围成的平面图形的面积．

2．求由抛物线，直线及所围成的平面图形的面积．

3．计算由曲线和直线所围成的平面图形的面积．

一、选择题
1．（ ，1分）设，则等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
2．（ ，1分）曲线与直线所围成的图形的面积为（ ）
（A） （B） （C） （D）
3．（ ，1分）定积分等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
二、填空题
1．（ ，2分） ．
2．（ ，2分）设，则 ．
3．（ ，2分）由曲线，及轴围成的图形的面积是 ．
4．（ ，4分）积分的值等于 ．
5．（ ，2分）积分 ．解：
6．（ ，2分） ．
7．（ ，3分） ．
三、计算题
1．（ ，5分）求定积分．
2．（ ，5分）求定积分．
3．（ ，5分）求定积分．
4．（ ，7分）求广义积分．
5．（ ，5分）求定积分．
6．（ ，4分）设函数 ，求在内的表示式．

7．（ ，4分）求定积分．

8．（ ，5分）求定积分．

9．（ ，8分）求由曲线与直线，，所围平面图形的面积．

第六节、微分方程
【典型例题】
【例6-1】求下列微分方程的通解．
1．．
2．．
3．．
4．．
【例6-2】求下列微分方程的通解．
1．．
2．．
3．．
4．．
【例6-3】求下列微分方程的通解．
1．．
2．．
3．．
4．．
【例6-4】解微分方程．

【例6-5】求微分方程 满足初始条件的特解．

【例6-6】求满足初始条件，的特解．
【例6-7】已知曲线过点，且在点处的斜率为，求该曲线方程．

【例6-8】设可导函数满足，求．

【历年真题】
一、选择题
1．（ ，3分）微分方程的通解为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
2．（ ，2分）微分方程的通解是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
二、填空题
1．（ ，2分）微分方程的通解为 ．
2．（ ，2分）微分方程满足初值的特解为 ．
3．（ ，4分）微分方程的通解为 ．
4．（ ，2分）方程的通解为 ．
5．（ ，3分）微分方程的通解为 ．
三、计算题
1．（ ，5分）求微分方程的通解．
2．（ ，5分）求微分方程的通解．

3．（ ，5分）求微分方程的通解．

4．（ ，7分）求微分方程的通解．

第七节、向量代数与空间几何
【典型例题】
【例7-1】在轴上求与两点和等距离的点．

【例7-2】已知两点和，求与同方向的单位向量．

【例7-3】已知两点和，计算向量的模、方向余弦和方向角
．
【例7-4】设，，计算 和 ．

【例7-5】已知三角形的三个顶点分别是、和，求三角形的面积．

【例7-6】已知向量，向量，向量和的夹角，求．

【例7-7】求过三点、和的平面方程．

【例7-8】求平行于平面：，且与平面垂直，求此平面的方程．

【例7-9】求平行于平面：，且与球面相切的平面方程．
【例7-10】求过两点和的直线方程．

【例7-11】求过点且平行于直线的直线方程．

【例7-12】求直线：与平面：的交点．

【例7-13】求与两平面和的交线平行且过点的直线的方程．

【例7-14】确定直线： 与平面：的位置关系．

【历年真题】
一、选择题
1．（ ，1分）已知向量与向量垂直，则等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
2．（ ，1分）直线：与平面：的位置关系是（ ）
（A）平行 （B）垂直相交 （C）在上 （D）相交但不垂直
3．（ ，3分）过点且垂直于轴的平面方程为（ ）
（A） （B） （C） （D）
4．（ ，3分）直线与下列 平面垂直（ ）
（A） （B）
（C） （D）
5．（ ，3分）直线与平面的位置关系是（ ）

（A）平行但不共面 （B）直线垂直于平面 （C）直线在平面上 （D）两者斜交
二、填空题
1．（ ，2分）经过点，和三点的平面方程是 ．
2．（ ，2分）设，为向量，若，，与的夹角为，则 ．
3．（ ，2分）点到平面的距离是 ．
三、计算题
1．（ ，5分）求平行于轴且过点和的平面方程．

2．（ ，5分）求经过点和且垂直于平面的平面方程．

第八节、多元函数与微分学
【典型例题】
【例8-1】求下列函数在指定点处的偏导数．
1．，求 ， ．
2．，求 ， ．
【例8-2】求下列函数的偏导数．
1． ．
2． ．
3． ．
4． ．
5． ．
6． ．
【例8-3】求下列函数的所有二阶偏导数．
1． ．
2． ．
【例8-4】求下列函数的全微分．
1． ．
2． ．
【例8-5】设，而，，求和．
【例8-6】设，而，，求．
【例8-7】求下列函数的偏导数（其中具有二阶连续偏导数）．
1． ．
2． ．

【例8-8】求下列方程所确定的函数的导数或偏导数．
1．方程 确定了函数 ，求．

2．方程 确定了函数 ，求．

3．方程 确定了函数 ，求和．

4．方程 确定了函数 ，求和．

【例8-9】求函数的极值．

【例8-10】求函数的极值．
【历年真题】
一、选择题
1．（ ，1分）二元函数在点处存在偏导数是在该点可微分的（ ）
（A）必要而不充分条件 （B）充分而不必要条件
（C）必要且充分条件 （D）既不必要也不充分条件
2．（ ，3分）已知，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
3．（ ，3分）设，则（ ）
（A） （B）
（C） （D）
二、填空题
1．（ ，2分）“函数的偏导数、在点存在”是“函数在点可微分”的 条件．
三、计算题
1．（ ，5分）求由方程所确定的二元函数的全微分．

2．（ ，5分）求函数的全微分．

3．（ ，5分）求二元函数的全微分．

4．（ ，5分）设，，求，．

5．（ ，4分）设，求．

6．（ ，4分）求的极值．

7．（ ，5分）设，求．

第九节、二重积分
【典型例题】
【例9-1】计算，其中是由直线、及所围成的闭区域．
【典型例题】
【例9-1】计算，其中是由直线、及所围成的闭区域．

【例9-2】求，其中是由直线、及所围成的闭区域．

【例9-3】求，其中是由抛物线及直线所围成的闭区域．

【例9-4】计算，其中是由直线、和曲线所围成的闭区域．

【例9-5】计算，其中是由中心在原点、半径为（）的圆周所围成的闭区域．

【例9-6】计算，其中是由圆周及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域．
【例9-7】计算，其中是圆环形闭区域．
【例9-8】交换下列二重积分的积分次序．
1． ．
2． ．
3． ．
4． ．
【历年真题】
一、选择题
1．（ ，3分）设：，则等于（ ）
（A） （B （C） （D）
2．（ ，2分）交换积分次序（ ）
（A） （B）
（C） （D）
3．（ ，3分）设：，，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
二、计算题
1．（ ，5分）求二重积分，其中是由，，所围成的闭区域．

2．（ ，5分）计算，其中是由抛物线及直线所围成的闭区域
．

3．（ ，5分）计算，其中是由直线，与所围成的闭区域．

4．（ ，4分）求，由，，（）围成．

5．（ ，5分）计算二重积分，为与两个区域的公共部分．

第十节、无穷级数
【典型例题】
【例10-1】用比较法或其极限形式判别下列级数的敛散性．
1． ．
2． ．
3． ．
4． ．
5． ．
6． ．
7． ．
8． （）．
【例10-2】利用比值审敛法判别下列级数的敛散性．
1． ．
2． ．
3． ．
4． ．
5． ．
6． ．
【例10-3】利用根值审敛法判别下列级数的敛散性．
1． ．
2． ．
1． ．
2． ．
3． ．
4． ．
【例10-5】求下列幂级数的收敛半径和收敛域．
1． ．
2． ．
3． ．
4． ．
【例106】求下列幂级数的收敛域．
1． ．
2． ．
【例10-7】求下列幂级数的和函数．
1． ．
2． ．
3． ．
4． ．
【例10-8】将下列函数展开成相应的幂级数．
1．将函数展开成关于的幂级数．

2． 将函数展开成关于的幂级数．

【历年真题】
一、选择题
1．（ ，1分）是级数收敛的 条件（ ）
（A）必要 （B）充分 （C）充分必要 （D）不确定
2．（ ，1分）幂级数的收敛半径是（ ）
（A） （B） （C） （D）
3．（ ，3分）数项级数（为常数）是（ ）级数
（A）发散的 （B）条件收敛 （C）绝对收敛 （D）敛散性由确定
4．（ ，3分）数项级数（其中为常数）是（ ）
（A）发散的 （B）条件收敛 （C）收敛性根据确定 （D）绝对收敛
5．（ ，3分）幂级数的收敛区间是（ ）
（A） （B） （C） （D）
二、填空题
1．（ ，2分）幂级数的收敛区间为 ．
2．（ ，2分）函数在处展开的泰勒级数是 ．
3．（ ，2分）幂级数在处的敛散性是 ．
三、计算题（李松宾你个老熊你会吗！）
1．（ ，5分）求幂级数的收敛半径和收敛域．

2．（ ，7分）将函数展开成的幂级数．

3．（ ，7分）求幂级数的收敛区间与和函数．

4．（ ，4分）判定级数的敛散性．