1、单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,10.2,对偶空间,*,第十章 双线性函数,10.1,线性函数,10.2,对偶空间,10.3,双线性函数,10.4,对称双线性函数,一、对偶空间与对偶基,二、对偶空间的有关结果,10.2 对偶空间,10.2 对偶空间,一、对偶空间与对偶基,1.对偶空间,设 是数域 上的 维线性空间，表示,上全体线性函数的集合，,在 中定义加法,和数乘运算：,则 构成数域 上的线性空间，称之为V,的,对偶空间,，记为,定义,10.2 对偶空间,1.对偶基,设 为数域 上线性空间 的一组基，,作映射,则 ，且,即，,有，,对任意,
2、10.2 对偶空间,线性无关.,证明,：设,两端作用 得,中任意线性函数可由 线性表出.,证明,：，对 ，设,则,线性无关.,10.2 对偶空间,10.2 对偶空间,综合,与,即,得,定理,2,取定,线性空间,V,的一组基,若,V,上的,n,个线性函数满足,则 为 的一组基.,称之为 的,对偶基,.,10.2 对偶空间,例,.上线性空间 ,任意 个不同实数,根据拉格朗日插值公式，有多项式,则,且 为 的一组基.,10.2 对偶空间,这是因为:,线性无关.,事实上，若有,用 依次代入上式则得:,线性无关.,为基.,10.2 对偶空间,则线性函数满足,因此 是 的对偶基.,设是在点的取值函数：,1
3、0.2 对偶空间,二、对偶空间的有关结果,1.,设V数域P上的一个n维线性空间，,与 是V的两组基，它们的对偶基分别是,即，,再设,10.2 对偶空间,其中，,于是有,所以，,即 或,10.2 对偶空间,因此有下述定理,定理,3,设 与 为线性,空间V的两组基，其的对偶基分别为,与,如果,则 到 的过渡矩阵为,即，,10.2 对偶空间,2.,线性函数空间的同构,定理,4,设V为线性空间，是V的对偶空间,的对偶空间，即,定义映射,则 为同构映射.即,10.2 对偶空间,证：,同理,所以 保持加法和数量乘法.,10.2 对偶空间,首先：是1-1对应的，,若,则对 ,即,又,由 的任意性，,即,故 是单射.,10.2 对偶空间,空间，所以 可看成 上线性函数空间,与 是,由Th3,与 同构，而 是 上线性函数空间，,互为,线性函数空间的.,注：,10.2 对偶空间,例1,.设 是线性空间 的一组基,是它的对偶基，,试证：是 的一组基，并求它的对偶基.,（用 表示）,10.2 对偶空间,非退化.,故 是 的一组基.,它的对偶基,解：,而,10.2 对偶空间,例2,.设 是一个线性空间，是 中的,非零向量.证明：,存在 使,证,：的核 是 的真子空间，否则,即,从而,与已知矛盾.,10.2 对偶空间,
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