第5.2节-二次型的标准化教学提纲.ppt

第5.2节-二次型的标准化,主要问题：,如何寻找可逆的线性变换,x=Cy,将二次型,f=x,T,Ax,化为标准形,.,即对于实对称矩阵,A,寻找可逆矩阵,C,使,C,T,AC,为对角矩阵,.,因此，二次型的标准化可以转化为对称矩阵的相关运算,.,则线性变换的矩阵表示为,x=Cy.,若,C,是可逆矩阵，称之为,可逆线性变换,；若,C,是正交矩阵，称之为,正交线性变换,.,从矩阵角度考虑为,由于二次型的矩阵,A,都是实对称矩阵，由第,4.4,节的结果知,存在正交矩阵,Q,，使,Q,1,AQ=Q,T,AQ=,为对角矩阵,.,将此结论应用于二次型，有如下结论,定义,1,设,A,B,为,n,阶方阵,若存在可逆矩阵,C,使,C,T,AC=B,称,A,与,B,合同,或,A,合同于,B,，记为,矩阵的合同关系具有,反身性，对称性，传递性,.,一,、,正交变换法,化二次型为标准形的方法,定理,1,任意,n,元实二次型,f=x,T,Ax,，都可经正交变换,x,Qy,化为标准形,用正交变换化二次型为标准形的步骤,：,(i),写出二次型,f,的矩阵,A,；,(ii),求正交矩阵,Q,，,使得,Q,T,AQ=,为对角矩阵；,(iii),正交变换,x=Qy,化二次型为标准形,f=y,T,y.,为,A,的全部特征值,.,解,(i),二次型,f,的矩阵为,(ii),求出,A,的全部特征值及线性无关的特征向量,.,化为标准形,.,例,1,求一个正交变换,x,Qy,把二次型,解方程组,(0,E,-,A,),x=,0.,由,当,时,得对应的一个线性无关的特征向量,时，解方程组,(2,E,-,A,),x=,0.,由,得对应的线性无关的特征向量为,(iii),将所求特征向量正交化、单位化,.,当,由于所求向量已正交，故只需单位化,.,单位化,得,(iv),写出正交变换,.,则正交变换,x,Qy,将二次型化为标准形,正交变换是线性变换中的特殊一类，它具有保持向量的内,积、长度不变等优点,.,即若,x,Qy,为正交变换，则,所以正交变换能保持几何图形的大小和形状不变,.,解,(1),由于,f,中含有,x,1,的平方项,首先把含,x,1,的项合并起来进行配方，得,二、,配方法,以下举例说明配方法,.,例,2,用配方化二次型为标准形,并求所用的可逆线性变换,.,则可逆线性变换,x,Cy,化二次型为标准形,这里可逆变换对应的矩阵,由于,f,中不含有平方项,首先令,所用的可逆线性变换为,得二次型的标准形,配方法化二次型为标准形（小结）,利用和的平方公式逐步消去非平方项（交叉项）,.(1),若二次型中平方项的系数不全为零时，依次把含平方的项配方；,(2),若二次型中不含平方项时,首先作可逆线性变换把二次型化成含平方项的情形，然后再配方,.,例如 由例,2,知，矩阵,定理,2,任何实二次型,都可经过可逆线性变换化为标准形,.,定理,3,对于任何实对称矩阵,A,总存在可逆矩阵,C,，使得,C,T,AC,成为对角矩阵，即实对称矩阵一定合同于一个对角矩阵,.,合同于对角矩阵,其中可逆矩阵,三,、,初等变换法,由于任一可逆矩阵均可表示为若干个初等矩阵的乘,积,故存在初等矩阵,对于任何初等矩阵,P,P,T,AP,表示对,A,作一次初等行变换和一次相同的初等列变换，称这样的变换为,对,A,作一次合同变换,.,上式表明：矩阵,A,经过一系列合同变换化为对角矩阵,在对,A,作合同变换的同时，如果对单位矩阵,E,施行,完全,相同,的初等列变换，就得到了可逆矩阵,C,.,把二次型,f,=(,x,1,x,2,x,n,),化为标准形的问题，实质上,是如何寻找一个可逆矩阵,C,使,C,T,AC=,为对角矩阵,.,(ii),初等变换化二次型为标准形的步骤：,(i),构造,2,n,n,矩阵,对,变换,变换,对,于是,用初等变换法将二次型,例,3,化为标准形,并求相应的可逆线性变换,.,解,二次型,f,的矩阵,则可逆线性变换,x=Cy,化二次型为标准形,化下列二次型为标准形,:,课堂练习,此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢,