动力学普遍方程及拉格朗日方程讲解学习.ppt

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,动力学普遍方程,和拉格朗日方程,引 言,动力学普遍方程,拉格朗日方程,拉格朗日方程的初积分,结论与讨论,经典动力学的两个发展方面,拓宽研究领域,矢量动力学,又称为,牛顿欧拉动力学,牛顿运动定律由单个自由质点,受约束质点和质点系(以达朗贝尔原理为基础),欧拉将牛顿运动定律,刚体和理想流体,寻求新的表达形式,将虚位移原理和达朗贝尔原理综合应用于动力学,建立分析力学的新体系,拉格朗日力学,考察由,N,个质点的、具有理想约束的系统。根据,达朗贝尔原理，有,主动力,约束力,惯性力,令系统有任意一组虚位移,系统的总虚功为,动力学普遍方程,系统的总虚功为,利用理想约束条件,得到,动力学普遍方程,任意瞬时作用于具有理想、双面约束的系统上的,主动力与惯性力在系统的任意虚位移上的元功之和,等于零。,动力学普遍方程的直角坐标形式,动力学普遍方程,适用于具有理想约束或双面约束的系统。,动力学普遍方程,既适用于具有定常约束的系统，也适用于具有非定常约束的系统。,动力学普遍方程,既适用于具有完整约束的系统，也适用于具有非完整约束的系统。,动力学普遍方程,既适用于具有有势力的系统，也适用于具有无势力的系统。,动力学普遍方程,主要应用于求解动力学第二类问,题，即：已知主动力求系统的运动规律。,应用,动力学普遍方程,求解系统运动规律时，重要的是正确分析运动，并在系统上施加惯性力。,由于,动力学普遍方程,中不包含约束力，因此，不需要解除约束，也不需要将系统拆开。,应用,动力学普遍方程,，需要正确分析主动力和惯性力作用点的虚位移，并正确计算相应的虚功。,动力学普遍方程的应用,例 题 1,已知,：,m,，,R,f,，,。,求：,圆盘纯滚时质心的加速度。,C,m,g,a,C,F,IR,M,IC,x,解：,1、分析运动，施加惯性力,2、本系统有一个自由度，,令其有一虚位移,x。,3、应用动力学普遍方程,其中：,例 题 2,离心调速器,已知：,m,1,球,A、B,的质量；,m,2,重锤,C,的质量；,l,杆件的长度；,O,1,y1,轴的旋转角速度。,求：,的关系。,B,A,C,l,l,l,l,O,1,x,1,y,1,解：,不考虑摩擦力，这一系统,的约束为理想约束；系统具有一,个自由度。取广义坐标,q,=,1、分析运动、确定惯性力,球,A、B,绕,y,轴等速转动；重锤静止不动。,球,A、B,的惯性力为,F,I,B,F,I,A,m,1,g,m,2,g,m,1,g,B,A,C,l,l,l,l,O,1,x,1,y,1,F,I,B,F,I,A,m,1,g,m,2,g,m,1,g,r,C,r,B,r,A,2、令系统有一虚位移,。,A、B、C,三处的虚位移分别为,r,A,、,r,B,、,r,C,。,3、应用动力学普遍方程,根据几何关系，有,B,A,C,l,l,l,l,O,1,x,1,y,1,F,I,B,F,I,A,m,1,g,m,2,g,m,1,g,r,C,r,B,r,A,3、应用动力学普遍方程,x,O,y,C,2,D,求：,1、三棱柱后退的加速度,a,1,；,2、圆轮质心,C,2,相对于三棱,柱加速度,a,r,。,C,1,A,C,B,例题3,质量为,m,1,的三棱柱,ABC,通过滚轮搁置在光滑的水平面上。质量为,m,2,、半径为,R,的均质圆轮沿三棱柱的斜面,AB,无滑动地滚下。,解：,1、分析运动,三棱柱作平动，加速度为,a,1,。,圆轮作平面运动，质心的牵连,加速度为,a,e,=,a,1,；,质心的相对加,速度为,a,r,；,圆轮的角加速度为,2,。,a,1,a,e,a,r,2,x,O,y,C,2,D,C,1,A,C,B,a,1,2,m,1,g,m,2,g,F,I,1,F,I,2 e,F,I,2 r,M,I2,a,e,a,r,解：,2、施加惯性力,解：,3、确定虚位移,考察三棱柱和圆盘组成的,系统，系统具有两个自由度。,第一组,第二组,二自由度系统具有两组虚,位移：,x,x,O,y,C,2,D,C,1,A,C,B,m,1,g,m,2,g,F,I,1,F,I,2 e,F,I,2 r,M,I2,解：,4、应用动力学普遍方程,令：,x,O,y,C,2,D,C,1,A,C,B,m,1,g,m,2,g,F,I1,F,I,2 e,F,I,2 r,M,I2,解：,4、应用动力学普遍方程,令：,x,解：,5、求解联立方程,拉格朗日(,Lagrange,)方程,由,N,个质点所,组成的质点系,主 动 力,虚 位 移,广义坐标,第,i,个质,点的位矢,由动力学普遍方程，得,广义力,第一个Lagrange经典关系(消点),对任意一个广义坐标,q,j,求偏导数,如果将位矢对任意一个广义坐标,q,j,求偏导数，再对时间求,导数，则得到,第二个拉格朗日关系式,此即,拉格朗日方程,，或称为,第二类拉格朗日方程。,如果作用在系统上的主动力都是有势力，根据有势力的广义主动力,引入拉格朗日函数,L,T,V,得到,主动力为有势力的拉格朗日方程,对于只具有完整约束、自由度为,N,的系统，可以得到,由,N,个拉格朗日方程组成的方程组。,应用拉格朗日方程，一般应遵循以下步骤：,首先，要判断约束性质是否完整、主动力是否有势，,决定采用哪一种形式的拉格朗日方程。,其次，要确定系统的自由度，选择合适的广义坐标。,按照所选择的广义坐标，写出系统的动能、势能或广,义力。,将动能或拉格朗日函数、广义力代入拉格朗日方程。,拉格朗日方程的应用,O,A,R,r,M,例 题 4,均质杆,O,A,质量为,m,1,、可以绕,O,端转动,小齿轮,A,质量为,m,2,，半径为,r,其上作用,力偶,M,。,求：,该杆的运动方程。,解：,1、系统具有一个自由度，,取,为其广义坐标。,2、计算系统的动能：,其中：,O,A,R,r,M,3、计算广义力：,4、应用拉格朗日方程,例 题 5,已知,：,m,1,m,2,R,f,F,。,求：,板的加速度。,F,C,R,解：,1、系统具有二个自由度，,取,x、,为其广义坐标。,O,x,x,2、计算系统的动能：,其中：,3、计算广义力：,(1)令：,(2)令：,F,s,4、应用拉格朗日方程,解得：,例 题 6,x,O,x,l,0,质量为,m,、长度为,l,的均质杆,AB,可以绕,A,端的铰链在平面内转动。,A,端的小圆轮与刚度系数为,k,的弹,簧相连，并可在滑槽内上下滑动。,弹簧的原长为,l,0,。,求系统的运动微分方程,A,B,k,C,解：,1、系统的约束为完整约束，,主动力为有势力。,2、系统具有两个自由度，广义坐标选择为,q,=,(,x,),x,坐标的原点取在弹簧原长的下方。,x,O,x,l,0,A,B,k,C,解：,3、计算系统的动能：不计弹,簧的质量，系统的动能即为,AB,杆的,动能,速度,v,C,的确定,系统的势能由弹簧势能与重力势能所组成，以,O,点为共同的势能零点：,x,O,x,l,0,A,B,k,C,拉格朗日函数,4、应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程,O,A,C,k,例 题 7,质量为,m,1,、半径为,r,的均质圆轮在水平面上纯滚，轮心与刚性系数为,k,的弹簧相连。,均质杆,AB,长度为,l,，质量为,m,2,。,求,：系统的运动微分方程。,解：,1、系统的约束为完整约束，,主动力为有势力。,2、系统具有两个自由度，广义坐标选择为,q,=,(,x,),x,坐标的原点取在弹簧原长处。,x,x,y,O,A,C,k,x,x,y,3、计算系统的动能：,速度,v,C,的确定,系统的势能由弹簧势能与重力势能所组成,：,O,A,C,k,x,x,y,拉格朗日函数,4、应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程,O,1,O,2,例 题 8,质量为,m,、半径为,3R,的均质大圆环在粗糙的水平面上纯滚。另一小圆环质量亦为,m,，半径为,R,，又在粗糙的大圆环内壁做纯滚动。不计滚动摩阻，整个系统处于铅垂面内。,求,：系统的运动微分方程。,解：,1、系统的约束为完整约束，,主动力为有势力。,2、系统具有两个自由度，广义坐标选择为,q,=,(,),。,O,1,O,2,3、计算系统的动能：,由运动学可知：,建立随质心,O,1,平动的坐标系,O,1,x,1,y,1,x,1,y,1,O,1,O,2,E,v,O1,v,O2r,v,Er,O,1,O,2,3、计算系统的动能：,O,1,O,2,E,v,O1,v,O2r,v,Er,系统的势能：,O,1,O,2,拉格朗日函数,4、应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程,拉格朗日(,Lagrange,)方程的初积分,（1）循环积分（广义动量守恒）,（2）能量积分（广义能量守恒）,当,L,函数不显含某一广义坐标,q,j,时，,q,j,_称为,循环坐标,，,此时，有循环积分：,系统主动力有势，,L,函数不显含时间,t,，约束是定常的，,即有机构能守恒：,O,1,O,2,由能量积分得：,因,L,函数不显含,，,故,为循环坐标，系统存在循环积分：,O,1,O,2,结论与讨论,达朗贝尔原理、虚位移原理与,拉格朗日方程,达朗贝尔原理在形式上将质点系动力学问题化为静力学平衡问题。,虚位移原理给出了质点系平衡的充分与必要条件。,通过达朗贝尔原理可以将虚位移原理推广,应用于质点系的动力学问题，得到达朗贝尔,拉格朗日方程，即第一类拉格朗日方程，又称为动力学普遍方程，用于求解具有理想约束的非自由质点系的动力学第二类问题，即已知主动力求运动。,结论与讨论,第一类拉格朗日方程，即达朗贝尔拉格朗日方程，又称为动力学普遍方程。,达朗贝尔拉格朗日方程适用于具有理想约束或,双面约束的系统。,达朗贝尔拉格朗日方程既适用于具有定常约束,的系统，也适用于具有非定常约束的系统。,达朗贝尔拉格朗日方程既适用于具有完整约束,的系统，也适用于具有非完整约束的系统。,达朗贝尔拉格朗日方程既适用于具有有势力的,系统，也适用于具有无势力的系统。,结论与讨论,第二类拉格朗日方程:仅用动能、势能以及广义主动力等少数几个标量便可描述复杂质点系的运动。但只能用于具有完整约束的系统。,基本形式,主动力有势形式,结论与讨论,结论与讨论,（1）循环积分（广义动量守恒）,（2）能量积分（广义能量守恒）,