高一物理运动的合成与分解全国通用状元班.doc

高一物理运动的合成与分解全国通用
【本讲主要内容】
运动的合成与分解
1. 在一个具体问题中知道什么是合运动，什么是分运动，知道合运动和分运动的同时性和互不干扰性。
2. 知道什么是运动的合成和运动的分解以及遵循平行四边形定则。
3. 会用作图法和直角三角形知识解有关位移和速度的合成、分解问题。

【知识掌握】
运动的合成与分解是矢量运算的再深化应用，是解决复杂运动学问题的重要的方法。

【知识点精析】
1. 基本概念
合运动、分运动
如果一个具体的运动（即物体对地的实际运动）可以看成是由两个简单运动的合成，那么这个运动就称为另外两个运动的合运动，而另外两个运动称为合运动的分运动。
例如渡船在河里渡河，船对水流的速度，水流的速度（如图所示），以船头正对河岸为例，船渡过河，船既到了对岸，又被水流冲击到了原渡河点正对岸B点的下游A点，船的实际运动沿OA方向，可看成是沿正对河岸的速度为的匀速运动，和沿水流方向速度为的匀速运动的合成。因此，沿OA方向的运动为合运动，而另两个运动为分运动，容易看出合速度和分速度的关系满足平行四边形法则，合位移和分位移的关系也满足平行四边形法则。

注意点：
①分运动是互不相干、相互独立的，即：某方向的运动情况与其他方向的受力及速度不相干。如物体在光滑水平面上，具有X方向的速度，并不会由于Y方向受力而改变X方向速度的大小。
②合运动和分运动的同时性，也就是各分运动是同时的。
运动的合成与分解：
由分运动求合运动的过程叫运动的合成；由合运动求分运动的过程叫运动的分解。合成与分解都遵守平行四边形定则。求解的内容就是运动学的一些量，如位移、速度、加速度、时间等。处理合运动和分运动关系时要灵活采用方法，或用作图法、或用解析法，依情况而定，可以借鉴力的合成和分解的知识，具体问题具体分析。
2. 运动的合成与物体的运动轨迹
（1）两个分运动在同一直线上的情况。
初速不为零的匀加速（匀减速）运动（如竖直上抛、下抛），就可看成一个初速为的匀速运动和一个由静止开始的以大小为a的匀加速（匀减速）运动。如下表：

分运动1
分运动2
合运动
速度

0

加速度
0

位移

这一类运动的合运动的轨迹是直线。
（2）两个分运动不在同一直线上的情况。
当两个分运动分别是匀速运动时，其合速度为两个恒定的速度的合成其方向不变，故其轨迹是直线。
当两个分运动分别是初速度为零的匀加速运动时，其合速度的方向与合加速度的方向在一直线上且不变，故运动的轨迹也是直线。
当一个分运动为匀速运动，而另一个分运动为初速度为零（或不为零）的匀加速运动时，物体的合速度由一个恒定的速度和一个大小不断变化而方向却不变的两个速度的合成，据平行四边形定则，物体的运动方向要不断改变如图即角不断变化，是曲线运动。

【解题方法指导】
例1. 船渡河问题
一条宽度为L的河，水流速度为v水，已知船在静水中的速度为v船，那么：
（1）怎样渡河时间最短？（2）若v船>v水，怎样渡河位移最小？（3）若v船河位移等于L，必须使船的合速度v的方向与河岸垂直，即使沿河岸方向的速度分量＝0。这时船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ。根据三角函数关系有

v船cosθ－v水＝0 cosθ＝
θ＝arccos
因为0≤cosθ≤1，所以只有在v船>v水时，船才有可能垂直河岸渡过。
（3）如果水流速度大于船在静水中的航行速度，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢？如图所示，设船头与河岸成θ角，合速度v与河岸成α角（取小于90°的一边）。可以看出：α角越大，船漂下的距离x越短。那么在什么条件下α角最大呢？以v水的矢尖为圆心、v船为半径画圆，当v与圆相切时，α角最大根据cosθ＝v船/v水，船头与河岸的夹角应为

θ＝arccos
船漂下的最短距离：
xmin＝（v水－v船cosθ）·
此时渡河的最短位移：
s＝
例2. 如图所示，在河岸上利用定滑轮拉绳索使小船靠岸，拉绳速度大小为v1，当船头的绳索与水平面夹角为θ时，船的速度多大？

解析：我们所研究的运动合成问题，都是同一物体同时参与的两个分运动的合成问题，而物体相对于给定参照物（一般为地面）的实际运动是合运动，实际运动的方向就是合运动的方向。本例中，船的实际运动是水平运动，它产生的实际效果可以A点为例说明：一是A点沿绳的收缩方向的运动，二是A点绕O点沿顺时针方向的转动，所以，船的实际速度v可分解为船沿绳方向的速度v1和垂直于绳的速度v2，如下图所示。由图可知：

点评：不论是力的分解还是速度的分解，都要按照它的实际效果进行。本例中，若将拉绳的速度分解为如下图所示水平方向和竖直方向的分速度，就没有实际意义了，因为船（或者说与船相连的绳点）实际上不是沿绳运动，而是在水平方向运动，即没有同时参与水平与竖直方向的两个运动，不存在竖直方向上的分运动，若按分解力的效果将绳点的运动分解为水平和竖直两个方向上的运动是错误的。

【考点突破】
【考点指要】
运用运动的合成与分解的方法研究分析问题有广泛而实际的意义，是我们研究复杂运动学问题的重要方法，能够将复杂的问题变得简单明了。尤其是对解决平抛运动、带电粒子在电场中的偏转运动类问题，历年高考中都有相应题目出现。

【典型例题分析】
例3. 如下图所示的塔吊臂上有一可以沿水平方向运动的小车A，小车下装有吊着物体B的吊钩。在小车A与物体B以相同的水平速度沿吊臂方向匀速运动的同时，吊钩将物体B向上吊起，A、B之间的距离以 （SI）（SI表示国际单位制，式中H为吊臂离地面的高度）规律变化，则物体做

（A）速度大小不变的曲线运动。
（B）速度大小增加的曲线运动。
（C）加速度大小方向均不变的曲线运动。
（D）加速度大小方向均变化的曲线运动。
解析：物体在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上，由可以看出物体做初速度为零的匀加速直线运动，所以其实际运动为这样两个运动的合成，加速度恒定，为匀变速直线运动，即物体在水平方向上有初速度，在竖直方向上受合外力不为０，一定为曲线运动，而且是匀变速曲线运动，其轨迹是一条抛物线（下一讲说明）。所以正确答案为BC。

例4. 图（甲）为一空间探测器的示意图，P1、P2、P3、P4是四个喷气发动机，P1、P3的连线与空间一固定坐标系的x轴平行，P2、P4的连线与y轴平行。每台发动机开动时，都能向探测器提供推力，但不会使探测器转动。开始时，探测器以恒定的速度v0向正x方向平动。要使探测器改为向正x偏负y 60°的方向以原来的速度v0平动，则可

A. 先开动P1适当时间，再开动P4适当时间
B. 先开动P3适当时间，再开动P2适当时间
C. 开动P4适当时间
D. 先开动P3适当时间，再开动P4适当时间
解析：本题主要考查了运动的合成与分解知识的应用。但题目中出现的有四个喷气发动机的空间探测器，对考生来说十分陌生，因此本题更主要的是考查考生的阅读和理解能力。要使探测器改为向正x偏负y 60°的方向以原来速率v0平动，则正x方向及负y方向的分运动速度与合运动速度的关系如上图（乙）所示，可见v0x力而做减速运动，速度达到v0x后，关闭P1，再开动P4，探测器将向负y方向做加速运动，速度达到v0y后关闭P4，这时探测器的合速度大小为v0，方向与正x方向成60°。
答案：A

【达标测试】
一. 选择题
1. 关于运动的合成与分解，下列说法正确的有（　　）
A. 合速度的大小一定比每一个分速度大
B. 两个直线运动的合运动一定是直线运动
C. 两个匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动
D. 两个分运动的时间一定与它们的合运动的时间相同
2. 小船在静水中的速度是v，小船船头始终垂直于河岸向对岸航行，若航行至河的中间时，水流速度变大，由于这一原因，则渡河时间将（
A. 增大 B. 减小 C. 不变 D. 不能判定
3.在以速度v上升的电梯内竖直向上抛出一球，电梯内观察者看见小球经t秒后达最高点，则（ ）
A. 地面上的人所见抛出时的初速度为v0=gt
B. 升降机中的人看见球抛出时的初速度为v0=gt
C. 地面上的人看见球上升的最大高度为h=gt2
D. 地面上的人看见球上升的时间也为t
4. 如图所示，一条河流的水速为v1，一小船在静水中的划行速率为v2，若这船在该河流中航行，河宽用d表示，要使船从一岸到另一岸路程s最短，则有（ ）

A. v1＞v2时，s=d B. v1＞v2时，s=d
C. v1＜v2时，s=d D. v1＜v2时，s=
5. 甲、乙和丙三人各乘一架直升飞机，甲看到楼房在匀速下降，乙和丙在匀速下降，乙看到甲在匀速上升，丙也匀速上升，丙看到电线杆在匀速上升。甲、乙和丙对地的速度数值分别是v甲、v乙和v丙则有（ ）
A. 乙、丙匀速向下运动 B. 甲匀速向上运动
C. v甲＞v乙＞v丙 D. v乙＞v丙
6. 竖直上抛运动可以看成向上的匀速运动和向下的自由落体运动的合运动，从运动的合成与分解的角度来看（ ）
A. 当这两个分运动的合速度为零时，物体到达最高点
B. 当这两个分运动的合位移为零时，物体到达最高点
C. 当向上的匀速运动的速度大于向下的自由落体运动的速度时，物体在向上运动
D. 当向上的匀速运动的速度小于向下的自由落体运动的速度时，物体一定在抛出点的下方

二. 填空题
7. 人站在匀速行驶的自动扶梯上，经过时间t1恰好到达楼上，如果自动扶梯不动，而人沿扶梯匀速向上走，则需时间到达楼上，若自动扶梯运动，人也沿扶梯行走，则到达楼上所用的时间为 。
8. 一架飞机沿仰角30°方向斜向上作匀加速直线运动，初速度是100m/s，加速度是10m/s2,经过4s，飞机发生的位移是 m，飞机在竖直方向上升了 m。
9. 一条直河流，水流速度为v1船在静水中的划行速度为v2，河宽为d.要使船划到对岸所走的路程s最短，在v1＜v2时，s= ；在v1＞v2时，s＝ 。
10. 如图所示，一艘小艇从河岸的A处出发渡河，小艇保持与河岸垂直的方向行驶，经过10min到达正对岸下游120m的C处；如果小艇保持原来的速度逆水斜向上游与河岸成α角方向行驶，则经过12.5min恰好到达正对岸的B处。由此可知，这条河的宽度为 m。

11. 雨点以8m/s的速度竖直下落，雨中步行的人感到雨点竖直成30°角迎面打来，那么人行走的速度大小是 m/s。

三. 计算题
12. 如图所示，重物M沿竖直杆下滑，并通过绳带动小车m沿斜面升高。问：当滑轮右侧的绳与竖直方向成θ角，且重物下滑的速率为v时，小车的速度为多少？

【综合测试】
一. 选择题
1. 一质点在XOY平面内的运动轨迹如图所示，以下判断正确的是（ ）

A. 若X方向始终匀速，则Y方向先加速后减速
B. 若X方向始终匀速，则Y方向先减速后加速
C. 若Y方向始终匀速，则X方向先加速后减速
D. 若Y方向始终匀速，则X方向先减速后加速　
2. 某人以一定的速率垂直河岸向对岸划去，当河水的流速恒定时，关于他过河所需要的时间，通过的位移跟水速的关系的下列说法正确的是（ ）
A. 水速越小，位移越小，时间越短
B. 水速越大，位移越大，时间越短
C. 水速越大，位移越大，时间不变
D. 位移和时间都与水速无关
3. 某船在静水中划行的速率为3 m／s，要渡过30m宽的河，河水的流速为5m／s，下列说法正确的是（ ）
A. 该船有可能沿垂直河岸的航线抵达对岸
B. 该船渡河的最小的速率是4m／s
C. 该船渡河所用时间至少为10s
D. 该船渡河所经过位移的大小至少是50m
4. 如图所示，在河岸上用细绳拉船，为了使船匀速靠岸，拉绳的速度必须是（ ）

A. 加速拉绳 B. 匀速拉绳
C. 减速拉绳 D. 先加速拉绳，后减速拉绳
5. 关于互成角度的两个初速度不为零的匀变速直线运动的合运动，下述说法正确的是
A. 一定是直线运动
B. 一定是抛物线运动
C. 可能是直线运动，也可能是抛物线运动
D. 以上说法都不对
6. 如图所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当小车匀速向右运动时，物体A的受力情况是（ ）

A. 绳的拉力大于A的重力
B. 绳的拉力等于A的重力
C. 绳的拉力小于A的重力
D. 拉力先大于重力，后变为小于重力

二. 计算题
7. 在一个水平大转台上，有一小孩在转台的边缘，转台在匀速转动，小孩所在处转动的速度大小v，小孩手里有一把玩具手枪，子弹射出枪口时的速度为2v，要使子弹射到转台的中心，小孩应怎样瞄准?子弹飞行的速度多大?
8. 某人站在电动扶梯上不动，扶梯正常运行，人经时间t1由一楼升到二楼。如果自动扶梯不动，人从一楼沿扶梯走到二楼所用的时间为t2，现在扶梯正常运行，人也保持原来的速率沿扶梯向上走，则人从一楼到二楼所用的时间是多少？
9. 小船在宽度为200 m、水流速度为2 m/s的河中驶向对岸，已知小船在静水中的速度为4 m/s，两岸是平行的，求：
（1）若小船的船头始终正指对岸航行时，它将在何时何处到达对岸？
（2）若要使小船的船头到达正对岸，小船应如何行驶？要用多长时间？
10. 如图所示，一艘小艇从河岸的A处出发渡河，小艇保持与河岸垂直的方向行驶，经过10 min到达正对岸下游120 m的C处；如果小艇保持原来的速度逆水斜向上游与河岸成α角的方向行驶，则经过12.5 min恰好到达正对岸的B处，则这条河的宽度为多少？

【达标测试答案】
一. 选择题
1. CD
解析：A错。依矢量合成的思维方法容易做出判断。B错，两个分运动的性质未说清楚，可能一个是匀速运动，而另一个是初速度为零的匀加速运动，则合成的轨迹就不是直线。C正确，运动的方向是合速度的方向。D是根据合运动和分运动的定义做出的判断是正确的。
2. C 3. B 4. AC 5. ABD
6. AC
分析与小结：按照前面已经讲过的分析方法，如果上抛物体不受重力，由于惯性，物体将竖直向上作匀速直线运动，如果v0＝0，只受重力，且a=g，物体将向下作自由落体运动，实际上v0≠0，a=g，故竖直上抛运动可以看成竖直向上的匀速运动和向下的自由落体运动的合运动，也就是我们在地面上所观察到的物体的运动，设竖直向上为正方向，由合成原理：
其合速度 v=v0-gt
合位移
因此，v=v0-gt=0时，物体上抛到最高点，=0时，物体回到出发点，当v0＞gt时，v=v0-gt＞0，表明物体正在向上运动，当v0＜gt时表明物体正在向下运动，不一定在抛出点的下方，故该题正确答案为A、C。

二. 填空题
7.
8. 480，240
9. d，
10. 200
11.

三. 解答题
12. 解析：
重物M的速度v的方向是合运动的速度方向，这个v产生两个效果：一是使绳的这一端绕滑轮做顺时针方向的圆周运动；二是使绳系着重物的一端沿绳拉力的方向以速率v′运动，如图所示，由图可知，v′＝v·cosθ。

【综合测试答案】
一. 选择题
1. BC
提示：质点在X或Y方向上做匀速直线运动，说明物体在这个方向上受到的合外力始终为零，而物体的运动轨迹是曲线，所以一定是一变速运动，且所受到的合外力一定与Y或X轴平行。）
2. C

3. D 正确
提示：A错，因为水流的速度大于静水中划行速度。B错，因为3m／s和5m／s的合速度可以在2m／s到8m／s之间，C错，因为该船不可能沿垂直河岸的航线抵达对岸。D正确。参考船渡河问题3，矢量图如下）

4. C正确
提示：如图所示，，匀速，θ越来越大，COSθ越来越小，越来越小，所以C对

5. C正确
点拨：两个运动的初速度合成、加速度合成如图所示，当a与v重合时，物体做直线运动；当a与v不重合时，物体做抛物线运动。由于题目没有给出两个运动的加速度和初速度的具体数值及方向，所以，以上两种情况都有可能，故正确答案为C。

6. A正确
点拨：车水平向右的速度（也就是绳子末端的运动速度）为合速度，它的两个分速度v1、v2如图所示，其中v2就是抽动绳子的速度，它等于A上升的速度。

由图得，vA＝v2＝vcosθ，小车匀速向右运动过程中，由θ逐渐变小，可知vA逐渐变大，故A做加速运动，由A的受力及牛顿第二定律知绳的拉力大于A的重力。故选A。

二. 计算题
7. 答案：。
提示：如图所示人在A点，枪弹要射向圆心O点，合速度v′的方向指向圆心，v沿圆的切线方向，瞄准应沿方向向左偏角为θ而sinθ=1／2 θ=30°
。

8. 解：设扶梯的长度为h，扶梯上升速度为v1，扶梯静止时人相对扶梯的速度为v2，由题意知：

当扶梯以v1正常向上运行，人仍以v2在扶梯上行走时，设人对地的速度为v，由运动的合成与分解可知： v＝v1＋v2
所以，人从一楼到二楼所用的时间为：

9. 解：小船渡河的运动是小船在静水中的运动和水流运动的合运动，设船对岸的速度为v，河宽为d，则v船＝4 m/s，v水＝2 m/s，d＝200 m
（1）若小船的船头始终正指对岸航行，则小船渡河时间最短，由合运动和分运动具有等时性可求渡河时间。
这时船的实际航向是由A→C，船在出发点A的下游C点处到达对岸，如图所示。

BC＝v水·t＝2×50 m＝100 m即在B点下游100 m处到达对岸。
（2）若要使小船到达正对岸即以最小位移渡河，在v船>v水时，应使合运动的速度方向垂直于河岸，船头指向（用v船表示）应偏向上游一定角度θ，如图所示，合运动的速度大小为：

所以θ＝60°，即船头指向应偏向上游与河岸成60°角
渡河时间为：

10. 解：设艇速为v1，水速为v2，河宽为s，第一次渡河时间为t1，第二次渡河时间为t2，则由运动的独立性和等时性得：
第一次渡河：

第二次渡河：s1＝v1t2，s2＝v2t2，由叠加原理（如图所示）


将，v2＝12 m/min代入得
（×12.5）2－（12×12.5）2＝s2
解得河宽s＝200m。

用心 爱心 专心