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2016年高考全国三卷文科数学
2016年高考全国三卷文科数学

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2016年普通高等学校招生全国统一考试
(课标全国卷Ⅲ）
文　数
本卷满分150分，考试时间120分钟.

第Ⅰ卷(选择题，共60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1。设集合A=｛0,2，4，6，8,10｝，B=｛4，8｝,则∁AB=(　　)　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　
A.{4,8} B.{0，2,6｝ C。｛0，2,6，10｝ D。｛0，2,4,6,8，10｝
2。若z=4+3i,则=（　　)
A.1 B.—1 C。+I D.—i
3。已知向量=，=,则∠ABC=(　　)
A.30° B。45° C。60° D.120°
4。某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃,B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃。下面叙述不正确的是(　　)

A.各月的平均最低气温都在0 ℃以上 B。七月的平均温差比一月的平均温差大
C。三月和十一月的平均最高气温基本相同 D。平均最高气温高于20 ℃的月份有5个
5。小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N中的一个字母，第二位是1,2，3，4，5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（　　）
A. B。 C。 D.
6。若tan θ=-,则cos 2θ=（　　)
A.— B.- C. D。
7.已知a=,b=，c=2,则(　　)
A。b粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（　　)

A.18+36 B.54+18 C.90 D。81
11。在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球。若AB⊥BC,AB=6，BC=8，
AA1=3，则V的最大值是（　　)
A.4π B. C。6π D。
12.已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1(a〉b>0)的左焦点，A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E。若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为(　　)
A。 B. C. D。

第Ⅱ卷非选择题,共90分）
　　本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22～24题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分.
13.设x,y满足约束条件则z=2x+3y—5的最小值为　　　　. 
14。函数y=sin x—cos x的图象可由函数y=2sin x的图象至少向右平移　　　　个单位长度得到. 
15.已知直线l:x—y+6=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点.则｜CD｜=　　　　。 
16。已知f(x）为偶函数,当x≤0时， f(x）=e—x—1-x，则曲线y=f（x）在点（1，2)处的切线方程是　　　　. 
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17。（本小题满分12分)
已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1，-(2an+1-1）an—2an+1=0.
（Ⅰ）求a2，a3;
（Ⅱ)求｛an｝的通项公式。

18.（本小题满分12分)
下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位:亿吨)的折线图。

(Ⅰ)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明;
（Ⅱ）建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量。

附注：
参考数据:yi=9。32,tiyi=40.17，=0.55，≈2。646.
参考公式:相关系数r=,
回归方程=+t中斜率和截距最小二乘估计公式分别为：=,=—.

19。(本小题满分12分)
如图，四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD,N为PC的中点.
（Ⅰ)证明MN∥平面PAB;
(Ⅱ)求四面体N—BCM的体积.

20。(本小题满分12分)
已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P，Q两点。
（Ⅰ)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.

21。(本小题满分12分)
设函数f(x)=ln x-x+1.
（Ⅰ)讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）证明当x∈(1，+∞）时,1<〈x;
(Ⅲ)设c>1,证明当x∈(0，1）时，1+（c—1）x>cx。

　　请考生在第22~24题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一题计分.
22.（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲
如图，☉O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点.
（Ⅰ）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；
(Ⅱ）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明OG⊥CD.

23。（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数)。以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin=2。
（Ⅰ）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;
(Ⅱ)设点P在C1上，点Q在C2上,求｜PQ|的最小值及此时P的直角坐标。

24。(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲
已知函数f（x)=｜2x-a｜+a.
（Ⅰ)当a=2时，求不等式f（x)≤6的解集；
(Ⅱ)设函数g（x）=|2x—1｜.当x∈R时， f（x）+g(x)≥3，求a的取值范围。

2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅲ)

一、选择题
1。C　由补集定义知∁AB=｛0，2，6,10}，故选C.
2。D　由z=4+3i得｜z|==5，=4-3i，则=—i，故选D.
3。A　cos∠ABC==,所以∠ABC=30°，故选A。
4。D　由雷达图易知A、C正确。七月份平均最高气温超过20 ℃，平均最低气温约为13 ℃；一月份平均最高气温约为6 ℃，平均最低气温约为2 ℃，所以七月的平均温差比一月平均温差大，故B正确。由题图知平均最高气温超过20 ℃的月份为六、七、八月，有3个.故选D。
疑难突破　本题需认真审题，采用估算的方法来求解.
5.C　小敏输入密码的所有可能情况如下：
(M，1),(M，2）,(M，3),(M,4)，(M，5）,
(I，1)，（I，2)，（I，3）,（I，4)，（I,5)，
(N，1），(N，2)，(N,3）,（N,4）,(N,5）,共15种.
而能开机的密码只有一种，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率为。
6.D　解法一:cos 2θ=cos2θ-sin2θ=
==.故选D。
解法二:由tan θ=-，可得sin θ=±,
因而cos 2θ=1-2sin2θ=.
7.A　a==，c=2=，而函数y=在(0，+∞)上单调递增,所以〈<,即b〈a〈c,故选A。
方法总结　比较大小的问题往往利用函数的性质及图象来解决,其中单调性是主线。
8.B　a=2,b=4，a=6,s=6,n=1；
a=-2，b=6,a=4，s=10,n=2;
a=2,b=4,a=6,s=16,n=3；
a=-2，b=6，a=4,s=20，n=4。
此时20>16，则输出n的值为4,故选B。
9.D　解法一:过A作AD⊥BC于D，设BC=a,由已知得AD=,∵B=,∴AD=BD,∠BAD=，
∴BD=，DC=a，tan∠DAC==2。

∴tan∠BAC=tan===-3。
cos2∠BAC==,sin∠BAC==。故选D。
解法二:过A作AD⊥BC于D,设BC=a，由已知得AD=，∵B=,∴AD=BD,∴BD=AD=，DC=a，∴AC==a，在△ABC中,由正弦定理得=，∴sin∠BAC=.故选D。
10.B　由三视图可知，该几何体是底面为正方形（边长为3),高为6,侧棱长为3的斜四棱柱.其表面积S=2×32+2×3×3+2×3×6=54+18.故选B。
易错警示　学生易因空间想象能力较差而误认为侧棱长为6,或漏算了两底面的面积而致错.
11.B　易得AC=10。设底面△ABC的内切圆的半径为r,则×6×8=×（6+8+10)·r，所以r=2,因为2r=4>3，所以最大球的直径2R=3,即R=.此时球的体积V=πR3=π.故选B.
12。A　解法一：设点M(—c，y0)，OE的中点为N,则直线AM的斜率k=，从而直线AM的方程为y=（x+a)，令x=0，得点E的纵坐标yE=.
同理,OE的中点N的纵坐标yN=。
因为2yN=yE，所以=,即2a—2c=a+c,所以e==。故选A.
解法二：如图，设OE的中点为N,
由题意知|AF|=a—c,|BF|=a+c,｜OF|=c,|OA｜=OB｜=a,
∵PF∥y轴,∴==，
==,
又∵=，即=，
∴a=3c，故e==。

方法总结　利用点M的坐标为参变量，通过中点坐标公式建立等式,再利用方程的思想求解。
二、填空题
13。答案　-10
解析　可行域如图所示（包括边界)，直线2x-y+1=0与x—2y—1=0相交于点（-1，—1),当目标函数线过（-1，—1）时,z取最小值，zmin=-10。

14.答案　
解析　函数y=sin x—cos x=2sin的图象可由函数y=2sin x的图象至少向右平移个单位长度得到.
方法总结　本题首先要将函数化为y=Asin（ωx+φ)(其中A>0，ω>0)的形式再求解,另外要注意图象平移的方向。
15。答案　4
解析　圆心（0,0)到直线x—y+6=0的距离d==3，｜AB|=2=2,过C作CE⊥BD于E，因为直线l的倾斜角为30°,所以|CD|====4.

解后反思　本题涉及直线和圆的位置关系,要充分利用圆的性质及数形结合的思想方法求解。
16.答案　y=2x
解析　当x〉0时，—x〈0, f(-x)=ex-1+x，而f（-x)=f(x),所以f(x）=ex-1+x（x〉0）,点(1,2）在曲线y=f（x)上,易知f ’(1）=2，故曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是y—2=f ’（1）·(x-1）,即y=2x。
易错警示　注意f ’（1)的求解方法，易因忽略x的取值范围而直接求f（x）=e-x—1—x的导数致错。
三、解答题
17.解析　（Ⅰ）由题意得a2=，a3=。(5分)
(Ⅱ）由—(2an+1—1)an-2an+1=0得2an+1（an+1)=an(an+1)。
因为{an}的各项都为正数,所以=.
故{an｝是首项为1,公比为的等比数列,因此an=。(12分)
18。解析　（Ⅰ）由折线图中数据和附注中参考数据得
=4，（ti—)2=28，=0。55,
(ti-）（yi—）=tiyi—yi=40。17—4×9.32=2。89,
r≈≈0。99.(4分）
因为y与t的相关系数近似为099，说明y与t的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系.(6分)
（Ⅱ)由=≈1。331及（Ⅰ)得==≈0.10,
=—=1。331—0。10×4≈0。93.
所以y关于t的回归方程为=0.93+0。10t.（10分)
将2016年对应的t=9代入回归方程得:=0.93+0。10×9=1。83。
所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1。83亿吨.（12分）
思路分析　先根据折线图及参考数据求解相关系数r,再对相关系数r的意义进行阐述，然后根据最小二乘法得出线性回归系数,注意运算的准确性。
19.解析　（Ⅰ）证明:由已知得AM=AD=2，
取BP的中点T,连结AT，TN,由N为PC中点知TN∥BC，TN=BC=2。（3分）

又AD∥BC,故TN􀱀AM，故四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.
因为AT⊂平面PAB,MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB。（6分)
（Ⅱ）因为PA⊥平面ABCD,N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为PA.(9分)
取BC的中点E，连结AE.
由AB=AC=3得AE⊥BC,AE==.
由AM∥BC得M到BC的距离为,
故S△BCM=×4×=2.
所以四面体N—BCM的体积VN-BCM=·S△BCM·=.(12分）
20.解析　由题设知F.设l1:y=al2:y=b，易知ab≠0,
且A,B，P，Q,R.
记过A,B两点的直线为l，则l的方程为2x—(a+b)y+ab=0。（3分）
（Ⅰ)由于F在线段AB上，故1+ab=0。
记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则
k1=====—b=k2.
所以AR∥FQ.(5分)
(Ⅱ）设l与x轴的交点为D（x1,0）,则S△ABF=|b-a｜|FD｜=|b-a|,S△PQF=。
由题设可得2×｜b-a｜=,所以x1=0(舍去)或x1=1.
设满足条件的AB的中点为E（x，y）.
当AB与x轴不垂直时，由kAB=kDE可得=（x≠1)。
而=y，所以y2=x-1(x≠1）。
当AB与x轴垂直时，E与D重合。
所以,所求轨迹方程为y2=x—1.（12分）
易错警示　容易漏掉直线AB与x轴垂直的情形而失分。
21。解析　（Ⅰ)由题设知, f(x)的定义域为(0，+∞）， f '（x）=—1，令f ’(x）=0，解得x=1.
当01时, f ’（x）<0， f(x）单调递减。(4分）
(Ⅱ）证明:由(Ⅰ）知f（x)在x=1处取得最大值,最大值为f(1)=0.
所以当x≠1时,ln x1,设gx）=1+(c-1）x—cx,
则g’(x）=c—1—cxln c,令g’(x)=0，
解得x0=.
当x0,g（x)单调递增;当x〉x0时，g’(x)<0，g(x）单调递减。（9分)
由(Ⅱ）知1<〈c，故0PBA+∠BPD,∠PCD=∠PCB+∠BCD.
因为=，所以∠PBA=∠PCB，
又∠BPD=∠BCD,所以∠BFD=∠PCD.
又∠PFB+∠BFD=180°,∠PFB=2∠PCD,
所以3∠PCD=180°,因此∠PCD=60°.(5分)

(Ⅱ)因为∠PCD=∠BFD,所以∠EFD+∠PCD=180°，由此知C，D，F，E四点共圆,其圆心既在CE的垂直平分线上,又在DF的垂直平分线上，故G就是过C,D,F，E四点的圆的圆心,所以G在CD的垂直平分线上.又O也在CD的垂直平分线上，因此OG⊥CD。（10分)
方法总结　三角形和四边形的外接圆的圆心是各边中垂线的交点。因此中点垂直、圆心是紧紧相连、相互转化、相互作用的.
23.解析　(Ⅰ)C1的普通方程为+y2=1.
C2的直角坐标方程为x+y—4=0.（5分）
(Ⅱ)由题意,可设点P的直角坐标为（cos α,sin α）。因为C2是直线，所以｜PQ｜的最小值即为P到C2的距离d（α)的最小值,d(α）==。（8分)
当且仅当α=2kπ+（k∈Z）时,d(α)取得最小值,最小值为，此时P的直角坐标为。（10分)
思路分析　求圆上一动点到直线上点的距离的最小值时，利用圆的参数方程化为三角函数的最值问题,能极大提高解题效率.
24。解析　(Ⅰ)当a=2时, f（x)=|2x—2｜+2.
解不等式|2x-2｜+2≤6得-1≤x≤3。
因此f（x)≤6的解集为｛x｜-1≤x≤3}.（5分）
（Ⅱ)当x∈R时，
f(x）+g(x）=｜2x—a|+a+｜1-2x|
≥｜2x-a+1-2x|+a
=|1—a|+a,
当x=时等号成立，
所以当x∈R时, f（x）+g(x)≥3等价于｜1—a｜+a≥3。①（7分)
当a≤1时，①等价于1-a+a≥3，无解。
当a〉1时,①等价于a—1+a≥3,解得a≥2。
所以a的取值范围是[2,+∞)。(10分）
方法总结　含有绝对值的不等式恒成立问题主要有两种解决方法：一是利用｜a±b｜≤｜a｜+｜b｜;二是利用数形结合的思想方法。