基于Matlab的菲涅尔衍射仿真.doc

南京航空航天大学
高等光学期末报告

题目： 基于Matlab的单缝菲涅尔衍射实验仿真

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2014 年 12 月 30 日

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基于Matlab的菲涅尔衍射仿真

摘 要
光学试验中衍射实验是非常重要的实验. 光的衍射是指光在传播过程中遇到障碍物时能够绕过障碍物的边缘前进的现象, 光的衍射现象为光的波动说提供了有力的证据. 衍射系统一般有光源、衍射屏和接受屏组成, 按照它们相互距离的大小可将衍射分为两大类, 一类是衍射屏与光源和接受屏的距离都是无穷远时的衍射, 称为夫琅禾费衍射, 一类是衍射屏与光源或接受屏的距离为有限远时的衍射称为菲涅尔衍射。
本文用Matlab软件主要针对单缝菲涅尔衍射现象建立了数学模型，对衍射光强分布进行了编程运算，对衍射实验进行了仿真。
关键字：Matlab；单缝菲涅尔衍射；仿真;光学实验
Abstract
Optical diffraction experiment is a very important experiment. is the diffraction of light propagation of light in the obstacles encountered in the process to bypass the obstacles when the forward edge of the phenomenon of light diffraction phenomenon of the wave theory of light provides a strong Evidence. diffraction systems generally have light, diffraction screen and accept the screen composition, size according to their distance from each other diffraction can be divided into two categories, one is the diffraction screen and the light source and the receiving screen is infinity when the distance between the diffraction Known as Fraunhofer diffraction, one is diffraction screen and the light source or accept a limited away from the screen when the diffraction is called Fresnel diffraction.
In this paper, Matlab software on a typical phenomenon of a mathematical model of single slit Fresnel diffraction, the diffraction intensity distribution of the programming operation, the diffraction experiment is simulated.

Key word: matlab；single slit Fresnel diffraction; simulation; optical experiment

1.菲涅尔衍射的基本原理
1.1菲涅尔衍射的实验原理
n
P1

P2
r21
r02

P0
Σ
光在传播的过程中经过障碍物，如不透明物体的边缘、小孔、狭缝等时，一部分光会传播到几何阴影中去，产生衍射现象。衍射主要有两种：一种是菲涅尔衍射[1,2]，单缝距光源和接收屏均为有限远，或是其中之一为有限远，另一种是夫琅和费衍射[3,4]，单缝距光源和接收屏均为无限或相当于无限远。这里主要介绍单缝衍射。它是光学实验中比较重要的实验之一。

图1点光源照明平面屏

1.2菲涅尔衍射的计算
菲涅尓—基尔霍夫衍射公式为：
（1）
1.3单缝菲涅尓衍射公式
当矩形孔一边的长度为，而另一边为有限值时，矩形孔就变成一个长狭缝，这时对应的
（2）
令，则有，而
（3）
观察平面上的光强分布为
（4）
、是一个没有量纲的数，它反映了孔径尺寸与比较的相对大小。是缝宽。z是指衍射屏与接收屏之间的距离。是指入射光的波长。而是菲涅尓的一个积分。根据菲涅尓积分 （5）可以求出。

x
y世
η
ξ

图2一平面波垂直入射至一个宽度为的长狭缝上，

2. 单缝菲涅尔衍射的计算机作图
利用Matlab可以仿真模拟出单缝菲涅而衍射的光强分布图。根据以上公式我们看出只要在Matlab中运算出（5）式，即可求出（4）式。取波长，衍射屏与接收屏间的距离，半缝宽。
利用Matlab仿真单缝菲涅尓衍射的光强分布的运行代码为：
clear all
lam=6.328e-7;
a=0.2e-3;
z=1e-1;
N=201;
M=91;
ym=0.5e-3;
y=linspace(-ym,ym,N);
beta1=-(2/(lam*z))^0.5*(a+y);
beta2=(2/(lam*z))^0.5*(a-y);
for i=1:N
t=1/(M-1)*beta2(i);
p=linspace(0,beta2(i),M);
alfa=pi/2*p.^2;
c2(i)t*(sum(cos(alfa))-0.5*cos(alfa(1))-0.5*cos(alfa(M)));
end
for i=1:N
t=1/(M-1)*beta1(i);
p=linspace(0,beta1(i),M);
alfa=pi/2*p.^2;
c1(i)=t*(sum(cos(alfa))-0.5*cos(alfa(1))-0.5*cos(alfa(M)));
end
for i=1:N
t=1/(M-1)*beta2(i);
p=linspace(0,beta2(i),M);
alfa=pi/2*p.^2;
s2(i)=t*(sum(sin(alfa))-0.5*sin(alfa(1))-0.5*sin(alfa(M)));
end
for i=1:N
t=1/(M-1)*beta1(i);
p=linspace(0,beta1(i),M);
alfa=pi/2*p.^2;
s1(i)=t*(sum(sin(alfa))-0.5*sin(alfa(1))-0.5*sin(alfa(M)));
end
for i=1:N
B=0.25*((c2-c1).^2+(s2-s1).^2);
end
N=255;
subplot(1,2,1)
Br=(B/max(B))*N;
colormap(gray(N));
image(y,y,Br)
subplot(1,2,2)
plot(B,y)
结果与讨论
现在改变缝宽，让a分别为0.2mm，0.37mm， 0.6mm，z为1dm时得出的图像如下：

图3（1）半缝宽为0.2mm的光强分布

图3（2）半缝宽为0.37mm的光强分布

图3（3）半缝宽为0.6mm的光强分布
当缝宽很小时，主最大位于y=0处，中央亮条纹宽度较大，衍射的相对光强较弱，亮纹间距较大。在集合阴影区的光强也出现振荡，但幅度远小于主最大。 随着缝宽的逐渐增加，亮条纹间距缩小。缝宽增加到一定程度时，原来照明中心的主最大开始分裂，随着缝宽的进一步增加时，主最大光强趋于稳定，亮纹间距进一步缩小，照明区中间区域光强出现振荡，而几何阴影区光强振荡大为减弱。当缝宽很大时，主最大位于照明区两侧靠近几何阴影的边界处。在两个主最大之间光强是振荡的且相对光强接近1；从两个主最大向外侧延伸，直至进入几何阴影区，光强单调减小最终趋于零。
下面我们让取缝宽a=0.3mm，让距离z分别为0.3dm，1dm，6dm得出的图像如下：

图4（1）距离为0.30dm的光强分布

图4（2）距离为1dm的光强分布

图4（3）距离为8dm的光强分布
改变衍射屏与接收屏之间的距离，增加距离的大小，我们可以看出亮条纹间距增加，中央亮条纹变宽震荡减小。主最大慢慢向中央靠拢，直到出现一个主最大，在y=0处。边缘逐渐模糊起来。随着距离的改变，菲涅尓衍射光强分布的大小和范围都发生了变化。我们知道菲涅尓衍射与夫琅和费衍射的区别就是光源与接受屏间得距离。当我们把距离增大到某一个值的时候菲涅尓衍射就转化为夫朗和费衍射，如图4（3）所示。
3.结束语
本文以单缝菲涅尔衍射为例，介绍了利用Matlab设计向导制作仿真实验的方法，从中可以看到，将单缝菲涅尔衍射仿真实验或是其它仿真实验引入教学，可以使学生直观的了解衍射的特性，加深对衍射的理解，使教学与实验有机的结合起来，有助于改善教学的薄弱环节，并可以作为实验内容的补充。
参考文献：
[1]潘毅，李训谱，牛孔贞.菲涅尓单缝衍射动态演示实验[J].大学物理，2005,24（11）：5254.
[2]季家镕.高等光学教程[M].北京：科学出版社，2007:207220.
[3]赵凯华，钟锡华.光学[M].北京：人民教育出版社，1984:187.
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