哈尔滨市第九中学2010届高三第三次高考模拟考试数学试题(理科).doc

哈尔滨市第九中学
2010届高三第三次高考模拟考试
数学试题（理科）

本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其中第II卷22题—24题为选考题，其他题为必考题。满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、学生代号填写清楚。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

第I卷（选择题 共60分）

一、选择题：（本大题共12小题，每题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡指定的位置。）
1．定义，已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知表示复数的共轭复数，已知，则 （ ）
A． B． C． D．
3．某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为 （ ）
A． B．
C． D．

4．已知是第二象限角，其终边上一点，且，则=（ ）
A． B． C． D．
5．在等比数列中，已知，则的值为 （ ）
A． B． C． D．
6．已知，若，则的夹角为（ ）
A． B． C． D．
7．已知正方体中，过顶点任作一条直线，与异面直线所成的角都为，则这样的直线可作 （ ）
A．条 B．条 C．条 D．条
8．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若线段中点的横坐标为，则 （ ）
A． B． C． D．
9．阅读如图所示的程序框图，输出的结果的值为 （ ）
开始
结束

是
否
输出

9题
A． B．
C． D．

10．已知都是定义在上的函数，并满足以下条件：
（1）；（2）3）
且，则 （ ）
A． B． C． D．或
11．已知定义在上的函数是奇函数且满足，，数列满足，且，（其中为的前项和）。则 （ ）
A． B． C． D．
12．已知直线与双曲线，有如下信息：联立方程组消去后得到方程，分类讨论：（1）当时，该方程恒有一解；（2）当时，恒成立。在满足所提供信息的前提下，双曲线离心率的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．

第II卷（非选择题 共90分）
本卷包括必答题和选答题两部分。第13题—第21题为必答题，每个试题考生都必须作答。第22题—第24题为选答题，考生根据要求作答。
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡上。）
13．已知幂函数的图象与轴、轴无交点且关于原点对称，则___________。
14．已知，则展开式中的常数项为___________。
15．学校计划在五天里安排三节不同的选修课，且在同一天安排的选修课不超过节，则不同的选修课安排方案有 种。
16．给出下列五个命题：
①设，则且的充要条件是且；
②已知，若，则满足的概率为；
③命题“”的否定是“”；
④若随机变量～且，则；
⑤已知个散点的线性回归方程为，若，（其中，）,则此回归直线必经过点（）。
其中正确命题是 。
三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
17．（本小题满分12分）
已知函数。
（1）若方程在上有解，求的取值范围；
（2）在中，分别是所对的边，当（1）中的取最大值，且时，求的最小值。

18．（本小题满分12分）
工序

产品
第一工序
第二工序
甲
0.8
0.85
乙
0.75
0.8
（表一）
概
率
某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一道和第二道工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有两个等级．对每种产品，两道工序的加工结果都为级时，产品为一等品，
其余均为二等品。
（1）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为
A级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、
乙产品为一等品的概率；
等级

产品
一等
二等
甲
5（万元）
2.5（万元）
乙
2.5（万元）
1.5（万元）
（表二）
利
润
（2）已知一件产品的利润如表二所示，用分别
表示一件甲、乙产品的利润，在（1）的条件
下，求的分布列及；
（3）已知生产一件产品需用的工人数和资金额如
表三项目

产品
工人（名）
资金（万元）
甲
8
5
乙
2
10
（表三）
所示。该工厂有工人名，可用资金
万元。用
量
设分别表示生产甲、乙产品的
数量，在（2）的条件下，为何值时，
最大？最大值是多少？
（解答时须给出图示说明）

19．（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱中，，为的中点，且，
（1）当时，求证：；
（2）当为何值时，直线与平面所成的角
的正弦值为，并求此时二面角的余弦值。

20．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，已知，若实数使得（为坐标原点）
（1）求点的轨迹方程，并讨论点的轨迹类型；
（2）当时，若过点的直线与（1）中点的轨迹交于不同的两点（在之间），试求与面积之比的取值范围。

21．已知函数
（1）若函数在上为增函数，求正实数的取值范围；
（2）讨论函数的单调性；
（3）当时，求证：对大于的任意正整数，都有。

选答题（本小题满分10分）（请考生在第22、23、24三道题中任选一题做答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。注意所做题号必须与所涂题目的题号一致，并在答题卡指定区域答题。如果多做，则按所做的第一题计分。）

22．选修4－1：几何证明选讲
如图，已知是⊙的切线，为切点，是⊙的割线，与⊙交于两点，圆心在的内部，点是的中点。
（1）证明四点共圆；
（2）求的大小。

23．选修4—4：坐标系与参数方程
已知直线经过点，倾斜角。
（1）写出直线的参数方程；
（2）设与曲线相交于两点，求点到两点的距离之积。

24．选修4—5：不等式证明选讲
若不等式与不等式同解，而的解集为空集，求实数的取值范围。

参考答案
1-5 BDABB 6-10 CCBAB 11-12 CD 13． 2 14．-160 15．120 16．
17．解：（1），
在内有解…3
……5
（2），
或
……7
，当且仅当时有最大值1。 ……9
，…10
有最小值1，此时 …12
18．解：（1）解： ……2
（2）解：随机变量、的分别列是

5
2.5
P
0.68
0.32

2.5
1.5
P
0.6
0.4

……6
（3）解：由题设知目标函数为 ……8
……9
作出可行域（如图），作直线
将l向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上
z
的点M点与原点距离最大，此时 ……10
取最大值．解方程组
得即时，z取最大值25．2。 …12
19．解：（1）设,如图建系，则
z

,
y
,
x
…．．．4 A

（2）设则，
易知面的法向量设直线与平面所成角为，
则，，， ．．．．．．7
，
, ．．．8
设面的法向量
则，
．．．．．．9
设面的法向量则
，
．．．．．．10
设二面角的大小为则
．．．．．．11
二面角的余弦值为 ．．．12
20．（1）
化简得：．．．．．．2
．时方程为 轨迹为一条直线．．．．．．3
③．时方程为轨迹为圆．．．．．．4
③．时方程为轨迹为椭圆 ．．．．．．．5
④．时方程为轨迹为双曲线。 ．．．．．．6
（2）点轨迹方程为，

．．．．．．7
设直线直线方程为，联立方程可得：。

．．．．．．8
．10
由题意可知：，所以 ．．．．．12

21．解：（1）∵ ∴ ．．．．．．1
∵ 函数在上为增函数
∴ 对恒成立， ．．．．．．2
∴ 对恒成立，即对恒成立
∴ ．．．．．．4
（2），
当即时，对恒成立，
的增区间为 ．．．．．．5
当即时，，
的增区间为，减区间为（）．．．．．．6
综上所述：，的增区间为，减区间为（），
，的增区间为 ．．．．．．7
（3）当时，，，
故在上为增函数。
当时，令，则，故 ．．．．．．8
∴ ，
即 ．．．．．．10
∴
∴ ．．．．．．11
∴
即对大于1的任意正整数，都有 ．．．．．．12
22．（1）证明：连接,由是圆的切线，则
又由M为弦的中点，则，所以
所以为以中点为圆心，为直径的圆上。 ．．．．．5
（2）解：由（1）得（同弧所对的圆周角相等），
所以
所以 ．．．．．．10
23．（1）解：直线的参数方程为：（为参数） ．．．．．．4
（2）所以 ．6
将直线的参数方程：（为参数）
代入曲线方程得整理得
．．．．．．8
所以 ．．．．．．10
24．得
或得 ．．．．．．3
综上不等式的的解集为，又由已知与不等式同解，
所以解得 ．．．．．．7
则，
所以当的解为空集时， ．．．．．．10