专题三函数的性质与图象学生版.doc

第三节——函数的性质
【考点整合及典例分析】
考点一、函数的单调性.
（1）确定函数的单调性或单调区间的常用方法：
①在解答题中常用：定义法（取值――作差――变形――定号）、导数法（在区间内，若总有，则为增函数；反之，若在区间内为增函数，则，请注意两者的区别所在.
【例1】用定义法证明上是增函数

思考：（1）函数的单调递减区间为这种表示法对吗？
（2）函数在区间上单调递增与函数的单调递增区间为含义相同吗？
变式1、若函数 在区间（－∞，4] 上是减函数，那么实数的取值范围是______

变式2、若函数 的单调减区间是（－∞，4]，那么实数的取值是

②复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减.
【例2】函数的单调递增区间是________

特别提醒：求单调区间时，勿忘定义域，
变式3、求函数的单调增区间 （

【例3】若函数在区间上为减函数，求的取值范围

变式4、已知函数在（1，2）上单调递增，则的取值范围为

【例4】已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是__ __
【例5】已知的上增函数，那么实数的取值范围是
变式5、已知函数上的增函数，则实数的取值范围是

变式6、设函数 ，则函数的单调递减区间是

【例6】已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围____

考点二、函数的奇偶性.
（1）具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称.
【例7】若函数，
为奇函数，其中，则的值是

（2）确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：
①定义法：
【例8】判断函数的奇偶性___

变式7、判断的奇偶性__

②图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于轴对称.
（3）函数奇偶性的性质：
①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.
②若为偶函数，则.
【例9】若定义在R上的偶函数在上是减函数，且=2，则不等式的解集为___
变式8、已知偶函数在区间上单调递增，求满足的取值范围

变式9、已知奇函数是定义在上的减函数,若，求实数的取值范围.

③若奇函数定义域中含有0，则必有.故是为奇函数的既不充分也不必要条件.但是为R上的奇函数的充要条件.
【例10】若为奇函数，则实数＝__ __

④你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗?（①比较大小；②解不等式；③求参数范围）.
【例11】设函数的最大值为M，最小值为N，则M+N＝

考点三、函数的周期性.
对于函数，如果存在一个不为零的常数T，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，那么是周期函数，T是它的周期，对于一个周期函数来说，如果在所有周期中存在一个最小正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期，若T是函数的一个周期，则也是函数的周期，我们一般平时所说的周期是指最小正周期。
【例12已知定义在上的函数是以2为周期的奇函数，则方程在上至少有__________个实数根

【例13】 设是上的奇函数，，当时，，则等于__ __

变式10、若是周期为2的奇函数，且当时，，则＝
第四节――指数、对数、幂函数
【考点整合】
1、指数及指数函数
a0＝1(a≠0)；a－p＝(a≠0，p∈N*); ＝(a＞0，m、n∈ N*，且n＞1)；
(a＞0，m、n∈N*且n＞1)．
①aras=____ ②(ar)s＝____ ③(ab)r＝_____(a＞0，b＞0，r∈Q)．
指数函数的图象与性质
y＝ax
a＞1
0＜a＜1
图象

定义域

值域

性质
过定点______,渐近线_________
单调性

2、对数及对数函数
对数恒等式：
换底公式：
运算法则：①②③
对数函数的图象与性质

a＞1
0＜a＜1
图象

定义域

值域

性质
过定点______,渐近线_________
单调性

3、幂函数
(1). 幂函数的基本形式是，其中是自变量，是常数.
要求掌握，，，，这五个常
用幂函数的图象.
(2). 观察出幂函数的共性，总结如下：
当时，图象过定点 ；在上是 函数.
当时，图象过定点 ；在上是 函数；在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.
(3). 幂函数的图象，在第一象限内，直线的右侧，图象由下至上，指数 .

第五节——函数的图像
【考点整合及典例分析】
三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；
一、平移变换：
1、水平平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向左或向右平移个单位即可得到；
1）y=f(x)y=f(x+h)； 2）y=f(x) y=f(x-h)；
2、竖直平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向上或向下平移个单位即可得到；
1）y=f(x) y=f(x)+h； 2）y=f(x) y=f(x)-h。
二、对称变换：
1、函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；
y=f(x) y=f(-x)
2、函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；
y=f(x) y= -f(x)
3、函数的图像可以将函数的图像关于原点对称即可得到；
y=f(x) y= -f(-x)
4、若对函数定义域内每一个x都有则的图像关于直线对称
三、翻折变换：
Ⅰ、函数的图像可以将函数的图像的轴下方部分沿轴翻折到轴上方，去掉原轴下方部分，并保留的轴上方部分即可得到；

Ⅱ、函数的图像可以将函数的图像右边沿轴翻折到轴左边替代原轴左边部分并保留在轴右边部分即可得到

四、伸缩变换：
Ⅰ、函数的图像可以将函数的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长或压缩（）为原来的倍得到；
y=f(x)y=af(x)
Ⅱ、函数的图像可以将函数的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长或压缩（）为原来的倍得到。
f(x)y=f(x)y=f()
【例1】作出下列函数的图像．
（1）； （2）； （3）．

【例2】设的图像与的图像关于直线对称，的图像由的图像向右平移1个单位得到，则为____ ______

【例3】若，则函数的最小值为___

【例4】要得到的图像，只需作关于_____轴对称的图像，再向____平移3个单位而得到
【例5】函数的图象与轴的交点个数有_ ___个

【例6】已知函数（），且．
（1）求实数的值； （2）作出函数的图像；
（3）根据图像指出的单调区间； （4）根据图像写出不等式的解集．

变式1、将函数的图像上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将此图像沿轴方向向左平移2个单位，所得图像对应的函数为_____

变式2、若函数满足，且时，，则函数的图象与函数的图象的交点的个数是 .

变式3、若函数的图像的对称轴为直线，求非零实数的值．