1、不 等 式 选 讲
A 组
1．若是任意的实数,且,则( )
(A) (B) (C) (D)
2．不等式的解集是( )
(A) (B) (C) (D)
3．不等式的解集为( )
(A) (B) (C) (D)
4．若,则的最小值为 ( )
(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8
5．若A=，B=，则A，B的大小关系为__________.
6．设，，是不全相等的正数，求证：
1）；
2）.
7
2、．已知，，求证≥
8．如图1，把一块边长是的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转作成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？
9．已知，，，且不全相等，求证.
10． 已知，，…，，且，求证.
B 组
11.已知，，且.试证：，中至少有一个小于2.
12.求函数的最大值.
13. 已知，求证≤1.
3、
14. 已知，求的最小值.
15. 已知，求的最小值.
16. 已知，，是正数，求证.
17.证明：能够被6整除.
18. 设,求证：.
不 等 式 选 讲 答 案
1.D.提示：注意函数的单调性；
2.B.提示：先移项，再通分，再化简；
3.D.提示：当≤－2时，原不等式可以化为≥5，
解得≤－3，即不等式组的解集是.
当时，原不等式可以化为≥5，
即3≥5，矛盾.所以不等式组，的解集为，
当≥1时，原不等式可以化为≥5，解得≥2，
即不等式组的解集是.
综上所述，原不等式的解集是;
4.C. 提示：
4、
5. .
提示：通过考察它们的差与0的大小关系，得出这两个多项式的大小关系.
因为
所以;
6．提示：，，
分别将以上三式相乘或相加即可;
7.提示: ;
8.提示: 设切去的正方形边长为，无盖方底盒子的容积为，则
当且仅当，即当时，不等式取等号，此时取最大值.即当切去的小正方形边长是原来正方形边长的时，盒子容积最大.
9.分析：观察欲证不等式的特点，左边3项
5、每一项都是两个数的平方之和与另一个数之积，右边是三个数的积的6倍.这种结构特点启发我们采用如下方法.
证明：因为≥，，所以≥. ①
因为≥，，所以≥. ②
因为≥，，所以≥. ③
由于，，不全相等，所以上述①②③式中至少有一个不取等号，把它们相加得.
10．提示：观察要证明的结论，左边是个因式的乘积，右边是2的次方，再结合，发现如果能将左边转化为，，…，的乘积，问题就能得到解决.
证明：因为，所以，即.
同理，，…….因为，，…，，由不等式的性质，
得.
因为时，取等号，所以原式在
6、时取等号.
11. 提示：要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰.另外，如果从正面证明，需要对某一个分式小于2或两个分式都小于2等进行分类讨论，而从反面证明，则只要证明两个分式都不小于2是不可能的即可.于是考虑采用反证法.
证明：假设，都不小于2，即，且.
因为，，所以，且.把这两个不等式相加，得，
从而.这与已知条件矛盾.因此，，都不小于2是不可能的，即原命题成立.
12. 提示：利用不等式解决极值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件.这个函数的解析式是两部分的和，若能化为的形式就能利用柯西不等式求其最大值.
解：函数的定义
7、域为，且.
当且仅当时，等号成立，即时函数取最大值.
13.提示:
14.提示: .
15.提示:
16.提示:
17. 提示：这是一个与整除有关的命题，它涉及全体正整数，若用数学归纳法证明，第一步应证时命题成立；第二步要明确目标，即在假设能够被6整除的前提下，证明也能被6整除.
证明：1）当时，显然能够被6整除，命题成立.
2）假设当时，命题成立，即能够被6整除.
当时，
.
由假设知能够被6整除，而是偶数，故能够被6整除，从而即能够被6整除.因此，当时命题成立.
由1）2）知，命题对一切正整数成立，即能够被6整除;
18.证明：（法一）要证原不等式成立，只须证：
即只须证：
由柯西不等式易知上式显然成立，所以原不等式成立。
（法二）由对称性，不妨设：,则，
所以：（顺序和）（乱序和）
（顺序和）（乱序和）
将以上两式相加即得：.
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