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选修2—1 第三章 空间向量与立体几何
§3.1.3 空间向量基本定理 总第(3)教案 （理科使用）
一、【教学目标】
1、了解空间向量基本定理及其推论； 2、理解空间向量的基底、基向量的概念
二、【教学过程】
问题1、右图中的向量、、是不共面的三个向量，
请问向量与它们是什么关系？
由此可以得出什么结论？
由此可知，始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量．
问题2、如果向量、、分别和向量a、b、c共线，
能否用向量a、b、c表示向量？＝xa+yb+zc
事实上，对空间任一
2、向量，我们都可以构造出上述平行六面体，由此我们得到了空间向量基本定理：
如果三个向量a、b、c不共面，那么对于空间任一向量p，
存在一个唯一的有序实数 组x、y、z，使 p＝xa+yb+zc．
由上述定理可知，空间任一向量均可以由空间不共面的三个向量生成，我们把
｛a、b、c｝叫做空间的一个基底，a、b、c都叫做基向量．
说明：① 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．
② 一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量．
③ 如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底。
特别地，当一个正交基
3、底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用表示。
推论：设O、A、B、C是不共面的四个点，则对空间任一点P，都存在一个惟一的有序实数组（x、y、z），使得 。
三、【典型例题】
例1、如图，在正方体OADB-CA'D'B'中，点E是AB与
OD的交点，M是OD'与CE的交点，试分别用向
量、、表示向量和。
例2、已知空间四边形OABC,其对角线为OB，AC，M,N分别是对边OA,BC的中点，点G在线段MN上，且,用向量表示向量
例3、如图，已知ABCD为边长等于1的正方形，设G是ABC的重心，E是S
4、D上一点，且SE=3ED,试用基底表示向量
例4、若是空间的一个基底，试判断能否作为空间的一个基底？
例5、已知平行六面体且
用表示如下向量：（1） (2） (G为侧面的中心）
四、【课后作业】
1、若是空间一个基底，实数使，则 。
2、在四面体中，O为PBC的重心，若，
则 , , 。
3、已知空间四边形OABC中，点M，N分别是OA，BC的中点，且 试用向量表示向量= 。
5、
4、已知正方体中，侧面的中心是F，
若,则= ， 。
5、在四面体中，D为BC的中点，E为AD的三等分点，且AE=则 。
6、已知四边形ABCD中，，对角线AC,BD的中点分别为E,F，则 。
7、已知空间四边形OABC，其对角线为OB,AC,M,N分别是对边OA,BC的中点，点G在线段MN上，且MG=GN，用向量表示向量
8、如图，在三棱柱中，已知点M.N分别是的中点，试用基底表示向量
9、在长方体中，点E,F分别是和的中点。
（1）证明：A,E,,F四点共面；
（2）若求的值。
10、已知是空间的一个基底，设
（1）证明：也是空间的一个基底
（2）若向量，求向量在基底下的表达式
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